第一章 一元二次方程真题训练解析版.docx
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第一章一元二次方程真题训练解析版
人教版2020年第一单元《一元二次方程》真题再现
一.一元二次方程的解(共2小题)
1.(2019•兰州)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( )
A.﹣2B.﹣3C.﹣1D.﹣6
【分析】先把x=1代入方程x2+ax+2b=0得a+2b=﹣1,然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值.
【解答】解:
把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0,
所以a+2b=﹣1,
所以2a+4b=2(a+2b)=2×(﹣1)=﹣2.
故选:
A.
2.(2016•攀枝花)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+
ax﹣a2=0的一个根,则a的值为( )
A.﹣1或4B.﹣1或﹣4C.1或﹣4D.1或4
【分析】把x=﹣2代入已知方程,列出关于a的新方程,通过解新方程可以求得a的值.
【解答】解:
根据题意,将x=﹣2代入方程x2+
ax﹣a2=0,得:
4﹣3a﹣a2=0,即a2+3a﹣4=0,
左边因式分解得:
(a﹣1)(a+4)=0,
∴a﹣1=0,或a+4=0,
解得:
a=1或﹣4,
故选:
C.
二.解一元二次方程-配方法(共1小题)
3.(2019•南通)用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=﹣9B.(x+4)2=﹣7C.(x+4)2=25D.(x+4)2=7
【分析】方程移项后,利用完全平方公式配方即可得到结果.
【解答】解:
方程x2+8x+9=0,整理得:
x2+8x=﹣9,
配方得:
x2+8x+16=7,即(x+4)2=7,
故选:
D.
三.根的判别式(共5小题)
4.(2020•自贡)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根,则a的值为( )
A.
B.﹣
C.1D.﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△=0,即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程,解之即可得出a的值.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根,
∴
,
∴a=
.
故选:
A.
5.(2020•湖州)已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0,则下列关于该方程根的判断,正确的是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值,再根据非负数的性质判断△>0,然后利用判别式的意义对各选项进行判断.
【解答】解:
∵△=b2﹣4×(﹣1)=b2+4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:
A.
6.(2020•铜仁市)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2=0的两个根,则k的值等于( )
A.7B.7或6C.6或﹣7D.6
【分析】当m=4或n=4时,即x=4,代入方程即可得到结论,当m=n时,即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0,解方程即可得到结论.
【解答】解:
当m=4或n=4时,即x=4,
∴方程为42﹣6×4+k+2=0,
解得:
k=6,
当m=n时,即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0,
解得:
k=7,
综上所述,k的值等于6或7,
故选:
B.
7.(2020•黔西南州)已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m<2B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2x+1=0有实数根,
∴
,
解得:
m≤2且m≠1.
故选:
D.
8.(2018•鄂州)已知关于x的方程x2﹣(3k+3)x+2k2+4k+2=0
(1)求证:
无论k为何值,原方程都有实数根;
(2)若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长,且x1x2+2x1+2x2=36,求k值及该菱形的面积.
【分析】
(1)根据根的判别式的意义得到当△=[﹣(3k+3)]2﹣4(4k+2)≥0时,方程有实数根;
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=3k+3,x1x2=4k+2,则代入所求的代数式进行求值;然后根据菱形的面积公式进行计算即可.
【解答】
(1)证明:
根据题意得:
△=[﹣(3k+3)]2﹣4(2k2+4k+2)=(k+1)2.
∵无论k为何值,总有(k+1)2≥0,
∴无论k为何值,原方程都有实数根;
(2)∵关于x的方程x2﹣(3k+3)x+2k2+4k+2=0的两实数根是x1、x2,
∴x1+x2=3k+3,x1x2=2k2+4k+2,
∴由x1x2+2x1+2x2=36,得2k2+4k+2+2(3k+3)=36,
整理,得(k+7)(k﹣2)=0.
解得k1=﹣7(舍去),k2=2.∴
x1x2=
×2(k+1)2=(2+1)2=9.
即菱形的面积是9.
四.根与系数的关系(共5小题)
9.(2020•黔东南州)已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2,则另一个根是( )
A.﹣7B.7C.3D.﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:
设另一个根为x,则
x+2=﹣5,
解得x=﹣7.
故选:
A.
10.(2020•遵义)已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根,则x12+x22的值为( )
A.5B.10C.11D.13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3,x1x2=﹣2,再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:
根据题意得x1+x2=3,x1x2=﹣2,
所以x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×(﹣2)=13.
故选:
D.
11.(2019•遵义)一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2﹣2的值是( )
A.10B.9C.8D.7
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1﹣1,则x12+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3,接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3,x1x2=1,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:
∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1=0的根,
∴x12﹣3x1+1=0,
∴x12=3x1﹣1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3,
根据题意得x1+x2=3,x1x2=1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3×3+1﹣3=7.
故选:
D.
12.(2019•绥化)已知关于x的方程kx2﹣3x+1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.
【分析】
(1)分k=0及k≠0两种情况考虑:
当k=0时,原方程为一元一次方程,通过解方程可求出方程的解,进而可得出k=0符合题意;当k≠0时,由根的判别式△≥0可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出k的取值范围.综上,此问得解;
(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=
,x1x2=
,结合x1+x2+x1x2=4可得出关于k的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
【解答】解:
(1)当k=0时,原方程为﹣3x+1=0,
解得:
x=
,
∴k=0符合题意;
当k≠0时,原方程为一元二次方程,
∵该一元二次方程有实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×k×1≥0,
解得:
k≤
.
综上所述,k的取值范围为k≤
.
(2)∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1=0的两个根,
x1+x2=
,x1x2=
.
∵x1+x2+x1x2=4,
∴
+
=4,
解得:
k=1,
经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意.
∴k的值为1.
13.(2019•巴中)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有两不相等的实数根.
①求m的取值范围.
②设x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17=0,求m的值.
【分析】①根据“关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有两不相等的实数根”,结合判别式公式,得到关于m的不等式,解之即可,
②根据“x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17=0”,结合根与系数的关系,列出关于m的一元二次方程,解之,结合
(1)的结果,即可得到答案.
【解答】解:
①根据题意得:
△=(2m+1)2﹣4(m2﹣1)>0,
解得:
,
②根据题意得:
x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2﹣1,
x12+x22+x1x2﹣17
解得:
m1=
,m2=﹣3(不合题意,舍去),
∴m的值为
.
五.由实际问题抽象出一元二次方程(共3小题)
14.(2020•衢州)某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程( )
A.180(1﹣x)2=461B.180(1+x)2=461
C.368(1﹣x)2=442D.368(1+x)2=442
【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设这个增长率为x,根据“2月份的180万只,4月份的利润将达到461万只”,即可得出方程.
【解答】解:
从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程:
180(1+x)2=461,
故选:
B.
15.(2020•遵义)如图,把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2,设剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为( )
A.(30﹣2x)(40﹣x)=600B.(30﹣x)(40﹣x)=600
C.(30﹣x)(40﹣2x)=600D.(30﹣2x)(40﹣2x)=600
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm,则纸盒底面的长为(40﹣2x)cm,宽为(30﹣2x)cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:
设剪去小正方形的边长是xcm,则纸盒底面的长为(40﹣2x)cm,宽为(30﹣2x)cm,
根据题意得:
(30﹣2x)(40﹣2x)=600.
故选:
D.
16.(2019•日照)某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x,那么可列出的方程是( )
A.1000(1+x)2=3990
B.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990
C.1000(1+2x)=3990
D.1000+1000(1+x)+1000(1+2x)=3990
【分析】设月平均增长的百分率是x,则该超市二月份的营业额为1000(1+x)万元,三月份的营业额为1000(1+x)2万元,根据该超市第一季度的总营业额是3990万元,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:
设月平均增长的百分率是x,则该超市二月份的营业额为1000(1+x)万元,三月份的营业额为1000(1+x)2万元,
依题意,得1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990.
故选:
B.
六.一元二次方程的应用(共3小题)
17.(2019•徐州)如图,有一块矩形硬纸板,长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2?
【分析】设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30﹣2x)cm,宽为(20﹣2x)cm,高为xcm,根据长方体盒子的侧面积为200cm2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解答】解:
设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30﹣2x)cm,宽为(20﹣2x)cm,高为xcm,
依题意,得:
2×[(30﹣2x)+(20﹣2x)]x=200,
整理,得:
2x2﹣25x+50=0,
解得:
x1=
,x2=10.
当x=10时,20﹣2x=0,不合题意,舍去.
答:
当剪去正方形的边长为
cm时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2.
18.(2019•东营)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:
这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?
【分析】设降价后的销售单价为x元,则降价后每天可售出[300+5(200﹣x)]个,根据总利润=每个产品的利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:
设降价后的销售单价为x元,则降价后每天可售出[300+5(200﹣x)]个,
依题意,得:
(x﹣100)[300+5(200﹣x)]=32000,
整理,得:
x2﹣360x+32400=0,
解得:
x1=x2=180.180<200,符合题意.
答:
这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.
19.(2019•广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.
(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?
(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率.
【分析】
(1)2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4,即可求出结论;
(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,根据2020年底及2022年底全省5G基站数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:
(1)1.5×4=6(万座).
答:
计划到2020年底,全省5G基站的数量是6万座.
(2)设2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x,
依题意,得:
6(1+x)2=17.34,
解得:
x1=0.7=70%,x2=﹣2.7(舍去).
答:
2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
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