常微分方程第三版答案43.docx
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常微分方程第三版答案43
常微分方程第三版答案4.3
【篇一:
常微分方程4】
>[教学目标]
1.理解高阶线性微分方程的一般理论,n阶齐次(非齐次)线性微分方程解的性质和结构,熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法,理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和laplce变换法。
3.熟练欧拉方程和高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的使用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质和结构,高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法]讲授,实践。
[教学时间]16学时
[教学内容]线性微分方程的一般理论,齐次(非齐次)线性微分方程解的性质和结构,非齐次线性微分方程的常数变量易法;常系数线性方程和欧拉方程的解法,非齐线性方程的比较系数法和拉氏变换法;高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的使用。
[考核目标]
1.理解高阶线性微分方程的一般理论,能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的使用。
4.1线性微分方程的一般理论
4.1.1引言
讨论n阶线性微分方程
dxdt
nn
?
a1(t)
d
n?
1
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dxdt
?
an(t)x?
f(t)(4.1)
其中ai(t)(i?
1,2,?
n)及f(t)都是区间a?
t?
b上的连续函数如果f(t)?
0,则方程(4.1)变为:
dxdt
nn
?
a1(t)
d
n?
1
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dxdt
?
an(t)x?
0(4.2)
称它为n阶齐线性微分方程,而称一般的方程(4.1)为n阶非齐线性微分方程,并且通常把方程(4.2)
叫对应于方程(4.1)的齐线性方程。
,n及)f(t)都是区间a?
t?
b上的连续函数,则对于任一t0?
?
a,b?
定理1如果ai(t)(i?
1,2?
x0,x0,?
x0
(1)
(n?
1)
,方程(4.1)存在唯一解x?
?
(t),定义于区间a?
t?
b上,且满足初始条件:
d?
(t0)dt
d
n?
1
?
(t0)?
x0,
?
x
(1)
?
?
(t0)
n?
1
dt
?
x0
n?
(
(4.3)
1)
从这个定理可以看出,初始条件唯一地确定了方程(4.1)的解,而且这个解在所有
ai(t)(i?
1,2,?
n)及f(t)连续的整个区间a?
t?
b上有定义。
4.1.2齐线性方程的解的性质和结构讨论齐线性方程
dxdt
nn
?
a1(t)
d
n?
1
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dxdt
?
an(t)x?
0(4.2)
定理2(叠加原理)如果x1(t),x2(t),?
xk(t)是方程(4.2)的k个解,则它们的线性组合
c1x1(t)?
c2x2(t)?
?
?
ckxk(t)也是(4.2)的解,这里c1,c2,?
ck是任意常数。
特别地,当k?
n时,即方程(4.2)有解
x?
c1x1(t)?
c2x2(t)?
?
?
cnxn(t)(4.4)
它含有n个任意常数。
在什么条件下,表达式(4.4)能够成为n阶齐线性方程(4.2)的通解?
为了讨论的需要,引进函数线性相关和线性无关及伏朗斯基(wronsky)行列式等概念。
设x1(t),x2(t),?
xk(t)是定义在区间a?
t?
b上的函数,如果存在不全为零的常数c1,c2,?
ck,使得恒等式
c1x1(t)?
cx2
2
t(?
)?
?
ckxkt(?
)0
对于所有t?
?
a,b?
都成立,称这些函数是线性相关的,否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当c1?
c2?
?
?
ck?
0时,上述恒等式才成立,称这些函数在所给区间上线性无关。
由此定义不难推出如下的两个结论:
1)在函数组y1,y2,?
yn中如果有一个函数为零,则y1,y2,?
yn在(a,b)上线性相关.2)如果两个函数y1,y2之比
(a,b)上不恒等于常数.
y1y2
在(a,b)有定义,则它们在(a,b)上线性无关等价于比式
y1y2
在
例1函数组y1?
e,y?
e解比式
y1y2
x?
x
在任意区间上都是线性无关的.
=
ee
x
?
x
?
e
2x
不恒等于常数在任意区间上成立:
例2函数组y1?
sin
2
x,y2?
cos
2
x,y3?
1在区间(?
?
?
?
)上线性相关.
2
解若取c1?
1,c2?
1,c3?
?
1则1?
sin性相关.
x?
1?
cos
2
x?
(?
1)1?
0故已知函数组在(?
?
?
?
)上线
设函数x1(t),x2(t),?
xk(t)在区间a?
t?
b上均有k?
1阶导数,行列式
x1(t)
x2(t)x2(t)?
(t)
x2
(k?
1)
?
?
?
xk(t)xk(t)?
xk
(k?
1)
w?
x1(t),x2(t),?
xk(t)?
?
w(t)?
x1(t)?
x1
(k?
1)
(t)?
(t)
称为这些函数的伏朗斯基行列式。
定理3若函数x1(t),x2(t),?
xn(t)在区间a?
t?
b上线性相关,则在?
a,b?
上它们的伏朗斯基行列式
w(t)?
0。
证明:
由假设,即知存在一组不全为零的常数c1,c2,?
cn,使得c1x1(t)?
cx2依次对t微分此恒等式,得到
?
c1x1(t)?
cxt(?
)?
?
cxt(?
)022nn?
t(?
)?
?
cnxnt(?
)0?
c1x1(t)?
cx22
?
(4.7)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(1)n?
(1)?
cx(n?
1()t)?
cxn?
t(?
)?
?
cxt(?
)01122nn?
2
t(?
)?
?
cnxnt(?
)
a,?
t?
b(4.6)0
把(4.6)和(4.7)看成关于c1,c2,?
cn的齐次线性代数方程组,它的系数行列式就是w
?
x1(t),x2(t),?
xn(t)?
,由线性代数的理论知道,要此方程组存在非零解,则它的系数行列式
必须为零,即w(t)?
0(a?
t?
b)。
反之,其逆定理一般不成立。
例如函数
0?
t2?
?
0?
?
t1?
?
1t?
0
x1(t)?
?
和x1(t)?
?
2
?
00?
t?
1?
t0?
t?
1
在区间?
1?
t?
1上,w[x1(t),x2(t)]?
0,但在此区间上却是线性无关的。
因为,假设存在恒等式
c1x1(t)?
cx()t?
22
0?
?
t?
11(4.8)
则当?
1?
t?
0时,可知c1?
0;当0?
t?
1时,可知c2?
0.即当且仅当c1?
c2?
0时,(4.8)式对一切?
1?
t?
1成立.故x1(t),x2(t)是线性无关的.
推论1如果函数组x1(t),x2(t),?
xn(t)的朗斯基行列式w(t)在区间[a,b]上某一点x0处不等于
零,即w(x0)?
0,则该函数组在[a,b]上线性无关.
但是,如果x1(t),x2(t),?
xn(t)是齐线性方程(4.2)的解,那么就有下面的定理:
定理4如果方程(4.2)的解x1(t),x2(t),?
xn(t)在区间a?
t?
b上线性无关,则w
?
x1(t),x2(t),?
xn(t)?
在这个区间的任何点上都不等于零,即w(t)?
0
(a?
t?
b)。
证明:
采用反证法。
设有某个t0,a?
t0?
b,使得w(t0)?
0。
考虑关于c1,c2,?
cn的齐次线性代数方程组
?
)?
?
cnxnt(?
0)?
c1x1(t0)?
cx2t(20
?
c1x1(t0)?
cx2t(?
)?
?
cnxnt(?
0)?
20
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(1)n?
?
cx(n?
1()t)?
cxn?
t(?
)?
?
cnxn
0220?
11
00
(4.9)
1)
(
t(?
0)
其系数行列式w(t0)?
0,故(4.9)有非零解c1,c2,?
cn。
现以这组常数构造函数
x(t)?
c1x1(t)?
c2x2(t)?
?
?
cnxn(t)a?
t?
b
根据叠加原理,x(t)是方程(4.2)的解。
注意到(4.9),知道这个解x(t)满足初始条件
x(t0)?
x(t0)?
?
?
x
(n?
1)
(t0)?
0(4.10)
但是x?
0显然也是方程(4.2)的满足初始条件(4.10)的解。
由解的唯一性,即知x(t)?
0
(a?
t?
b),即
c1x1(t)?
c2x2(t)?
?
?
cnxn(t)?
0a?
t?
b
因为c1,c2,?
cn不全为0,这就和x1(t),x2(t),?
xn(t)线性无关的假设矛盾,定理得证。
推论2设x1(t),x2(t),?
xn(t)是方程(4.2)定义在[a,b]上的n个解,如果存在x0?
[a,b],使得它的朗斯基行列式w(x0)?
0,则该解组在[a,b]上线性相关.
推论3方程(4.2)的n个解x1(t),x2(t),?
xn(t)在其定义区间[a,b]上线性无关的充要条件是,存在x0?
[a,b],使得它的朗斯基行列式w(x0)?
0.定理5n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。
定理6(通解结构定理)如果x1(t),x2(t),?
xn(t)是方程(4.2)的n个线性无关的解,则方程(4.2)的通解可表为x?
c1x1(t)?
cx2
2
t(?
)?
?
cnxnt()(4.11)
其中,c1,c2,?
cn是任意常数,且通解(4.11)包括了方程(4.2)的所有解。
证明:
由叠加原理知道(4.11)是(4.2)的解,它包含有n个任意常数。
这些常数是彼此独立的。
事实上,
?
x?
c1?
x
?
x?
c2?
x?
?
c2?
?
x
(n?
1)
?
?
x?
cn?
x?
?
cn?
?
x
(n?
1)
?
c1?
?
x
(n?
1)
?
?
?
?
w?
x1(t),x2(t),?
xn(t)?
?
0(a?
t?
b)
?
c1?
c2?
cn
因此,(4.11)为方程(4.2)的通解;现在,我们证明它包括不方程的所有解。
由定理1,方程的解唯一地决定于初始条件,因此,只需证明:
任给一初始条件
x(t0)?
x0,x?
(t0)?
x0,?
x
(1)
(n?
1)
(t0)?
x0
(n?
1)
(4.12)
能够确定(4.11)中的常数c1,c2,?
cn的值,使(4.11)满足(4.12)。
现令(4.11)满足条件(4.12),得到如下关于c1,c2,?
cn的线性代数方程组:
?
)?
?
cnxnt(?
0)x?
c1x1(t0)?
cx2t(200
?
?
t(?
0)x
(1)0c1x?
1(t0)?
cx2?
t(?
)?
?
cnxn?
20
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(1)n?
(1)?
cx(n?
1()t)?
cxn?
t(?
)?
?
cnxnt(?
0)x0220?
11
(4.13)
n?
0(
1)
它的系数行列式就是w(t0),由定理4知w(t0)?
0。
根据线性代数方程组的理论,方程(4.13)有
?
1,c?
2,?
c?
n唯一解c
。
因
?
1,c?
2,?
c?
n,则它就满足条件(4.12)4.11)中常数取为c,
理得证。
推论方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n。
因此可得结论:
n阶齐线性方程的所有解构成一个
n维线性空间。
方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组。
4.1.3非齐线性方程和常数变易法
性质1如果(t)是方程(4.1)的解,而x(t)是方程(4.2)的解,则(t)?
x(t)也是方程(4.1)的解。
性质2方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解。
定理7设x1(t),x2(t),?
xn(t)为方程(4.2)的基本解组,而(t)是方程(4.1)的某一解,则方程(4.1)的通解可表为
x?
c1x1(t)?
c2x2(t)?
?
?
cnxn(t)?
(t)(4.14)
其中c1,c2,?
cn为任意常数。
而且这个通解(4.14)包括了方程(4.1)的所有解。
【篇二:
上机四常微分方程和级数】
xt>i.实验目的:
1.学习用matlab求解微分方程命令dsolve.
2.学习matlab泰勒级数展开命令.
3.巩固幂级数的收敛半径、和等概念.
ii实验学时2
iii实验内容:
1.学习matlab命令.
?
matlab求解微分方程命令dsolve,调用格式为:
dsolve(‘微分方程’)给出微分方程的分析解,表示为t的函数.
dsolve(‘微分方程’,‘初始条件’)给出微分方程初值问题的解,表示为t的函数.dsolve(‘微分方程’,‘变量x’)给出微分方程的分析解,表示为x的函数.
dsolve(‘微分方程’,‘初始条件’,‘变量x’)给出微分方程初值问题的解,表示为x的函数.
?
求已知函数的taylor展开式taylor命令,调用格式为:
taylor(函数f(x))f(x)的5次taylor多项式.
taylor(函数f(x),n)f(x)的n-1次taylor多项式.
taylor(函数f(x),a)f(x)在a点的taylor多项式.
?
求级数的和命令symsum调用格式为:
symsum(s,n),求?
s
k?
mnsymsum(s,k,m,n),求?
sn
?
matlab求极限命令limit调用格式为:
limit(函数f(x),变量x,自变量的趋向值)
2.求解一阶微分方程.
微分方程在输入时,y应输入dy,y应输入d2y等,d应大写.
例1:
求微分方程2dy?
2xy?
xe?
x的通解.dx
解:
输入命令:
dsolve(dy+2*x*y=x*exp(-x^2))
ans=
1/2*(1+2*exp(-2*x*t)*c1*exp(x^2))/exp(x^2)
系统默认的自变量是t,显然系统把x当作常数,把y当作t的函数求解.输入命令:
dsolve(dy+2*x*y=x*exp(-x^2),x)
ans=
1/2*(x^2+2*c1)/exp(x^2)
x例2:
求微分方程xy?
?
y?
e?
0在初始条件yx?
1?
2e下的特解.
解:
输入命令:
dsolve(x*dy+y-exp(x)=0,y
(1)=2*exp
(1),x)
ans=
1/x*(exp(x)+exp
(1))
3.求解二阶微分方程.
例3:
求y?
?
?
3y?
?
e?
0的通解.
解:
输入命令:
dsolve(d2y+3*dy+exp(x)=0,x)x
-1/4*exp(x)+c1+c2*exp(-3*x)
4.taylor展开式.
例4:
求函数y=cosx在x=0点处的5阶taylor展开式及在x?
?
3处的6阶taylor展开式.
解:
输入命令:
symsx;taylor(cos(x))
ans=
1-1/2*x^2+1/24*x^4
输入命令:
taylor(cos(x),pi/3,7)
ans=
1/2-1/2*3^(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)^2+1/12*3^(1/2)*(x-
1/3*pi)^3+1/48*(x-1/3*pi)^4-1/240*3^(1/2)*(x-1/3*pi)^5-1/1440*(x-1/3*pi)^6
5.级数求和.
例5:
求1.?
n2n?
1?
解:
输入命令:
symsn;symsum(1/2^n,1,inf)
ans=
1
xn
例6:
求幂级数?
的和函数.nn?
2n?
1?
解:
输入命令:
symsum(x^n/(n*2^n),n,1,inf)
ans=
-log(1-1/2*x)
6.判别级数敛散性.
例7:
判断数项级数1的收敛性.?
n?
1n(n?
1)?
解:
输入求和命令:
symsum(1/(n*(n+1)),n,1,inf)
ans=
1
求和得是1,说明该级数收敛.
例8:
判别级数?
sin
n?
1?
?
n(n?
1)的敛散性.
解:
输入命令:
symsum(sin(pi/(n*(n+1))),1,inf)
ans=
sum(sin(pi/n/(n+1)),pi=1..inf)
由执行结果看出仍含有sum,说明用matlab不能求出其和,可采用比较判别法,取比较级数为p级数1,取二者通项比值的极限.?
2n?
1n?
输入命令:
limit(sin(pi/(n*(n+1)))/(1/n^2),n,inf)
ans=
得值为pi,由所取p级数收敛,得知所要判别的级数也收敛.
?
3?
例9:
判别级数?
n?
?
的敛散性.
n?
1?
4?
解:
用比值判别法,输入命令:
limit((n+1)*(3/4)^(n+1)/(n*(3/4)^n),n,inf)
ans=
3/4
极限值小于1,由比值判别法知级数收敛.实际上输入求和命令:
symsum(n*(3/4)^n,n,1,inf)
ans=
12
iv练习
4.1求
(1)-(4)题微分方程的通解
(1)2x2yy?
?
y2?
1
(2)(xcosy?
sin2y)y?
?
1
(3)y?
?
?
3y?
?
y?
excos2x(4)y?
?
?
4y?
x?
1?
sinx
4.2求解下列初值问题?
n
?
d2xdx2?
2n?
ax?
0?
2222dy?
2x?
2xy?
y?
(y?
2xy?
x)?
0dt?
?
dt
(1)?
(2)?
dxdx?
x?
x,?
yx?
1?
1t?
00t?
0?
v0?
?
dt?
4.3给出函数f(x)?
exsinx?
2xcosx在点x?
0的7阶taylor展开式以及在x=1处的5阶taylor展开式.
4.4用软件求解5.1传染病模中的相关模型。
一、si模型
假设1)总人数n不变,t时刻病人和健康人的比例分别为i(t),s(t);
2)每个病人每天有效接触人数为?
,且使接触的健康人致病
则可以建立如下模型
?
di?
?
?
i(1?
i)?
dt?
?
i(0)?
i0
二、sis模型
若传染病无免疫性——病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染。
增加假设3)病人每天治愈的比例为?
。
则可以建立如下模型
?
di?
?
?
i(1?
i)?
?
i?
dt?
?
i(0)?
i0
?
?
?
/?
~一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数,即
1?
di?
?
?
i[i?
(1?
)]?
?
?
dt?
?
i(0)?
i0
【篇三:
常微分方程的数值求解及其使用】
微分方程的数值求解及其使用
一、设计目的..........................................2二、任务简介..........................................2三、理论基础..........................................3
四、案例的运算结果...................................10
4.1案例一运算结果...............................104.2案例二运算结果...............................11
五、数值分析设计的gui界面...........................12六、结果分析.........................................13七、设计心得.........................................13八、附录.............................................13
一、设计目的
在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合龙格-库塔法、亚当姆斯方法的理论基础对常微分方程组问题进行求解,在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。
并利用界面将所得结果表示出来。
二、任务简介
用熟悉的计算机语言编程上机完成用二阶龙格-库塔法、三阶龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法、二阶亚当姆斯方法、三阶亚当姆斯方法、四阶亚当姆斯方法、亚当姆斯预报--校正系统求解常微分方程组。
设计统一界面的相关算法。
建立模型用数值和分析两种方法解决使用型问题。
需解决的案例如下:
?
z1?
z2
?
案例一:
求解微分方程组?
z2?
z3在区间h?
[0.1,60]上满足条
?
?
1?
2?
33
?
z3?
xz3?
3xz2?
2xz1?
9xsinx
件:
x?
0.1时,z1?
z2?
z3?
1的特解,画出数值解的图像,进行比较。
案例二:
放射性废物的处理
美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法,一直是把它们装入密封的圆桶里,然后扔到水深为90多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心,怕圆桶下沉到海底时和海底碰撞而发生破裂,从而造成核污染。
原子能委员会分辨说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验,发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s和海底相撞时,圆桶就可能发生碰裂。
这样为避免圆桶碰裂,需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少?
这时已知圆桶重量为239.46kg,体积为0.2058m3,海水密度为1035.71kg/m3。
如果圆桶速度小于12.2m/s,就说明这种方法是安全可靠的,否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。
假设水的阻力和速度大小成正比例,其正比例常数k=0.6。
(1)建立解决上述问题的微分方程数学模型。
(2)用数值和分析两种方法求解微分方程,并回答是否要禁止用这种方法来处理放射性废料。
三、理论基础
3.1二阶龙格-库塔方法
?
yn?
1?
yn?
h[(1?
?
)k1?
?
k2]?
?
k1?
f(xn,yn)
?
k?
f(x,y?
phk)
n?
pn1?
2
只要成立?
p?
1/2,满足这一条件的格式统称为二阶龙格-库塔格式。
在本题中
?
?
1/2,p?
1
当?
?
1/2,p?
1时,该式为改进的欧拉格式。
当?
?
1,p?
1/2时,该式为变形的欧拉格式。
二阶龙格库塔-算法流程图:
图3.1二阶经典的龙格-库塔方法
3.2三阶龙格-库塔方法
类似前面改进的欧拉方法公式的推导,将yn?
1在(xn,yn)处作taylor展开,然后再将y(xn?
1)
4x?
xy(x)?
y?
o(h)。
于是得nn?
1n?
1在处作taylor展开,只要将两个展开式前四项相同便有
到三阶龙格-库塔公式为:
?
yn?
1?
yn?
h/6?
(k1?
4k2?
k3)?
k?
f(x,y)?
1nn
?
k?
f(x,y?
h/2?
k)n?
1/2n1?
2?
?
k3?
f(xn?
1,yn?
h(?
k1?
2?
k2))
三阶龙格库塔-算法流程图:
图3.2三阶经典的龙格-库塔方法
3.3四阶龙格-库塔方法
类似前面三阶龙格-库塔的推导方法,如果每步计算四次函数f(
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