GeoGebra+数学绘图教室3+函数及方程式详全文.docx

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GeoGebra+数学绘图教室3+函数及方程式详全文

GeoGebra数学绘图教室（3）函数及方程式

台北县立锦和高中陈禾凯

与GSP比较起来，GeoGebra多了输入字段，直接输入函数或方程式便立即可看到其对应图形，真是方便极了，也可如同实验一般，试着改变函数的某个参数来观察对应图形的变化，若能配合数值滑杆或其他指令，便能创造出更多的图形.。

1．直线方程式y=mx+k

2．

（1）设定两个数值滑杆，名称分别为m,k

3．

（2）输入y=m*x+k（或y=mx+k注意mk之间空一格表示相乘）

4．（3）以鼠标分别拉动滑杆m,k观察图形的变化

5．

6．参数式

7．虽然直接在输入字段输入函数关系就立即可看到图形，但以参数式形式输入更能体会到函数中自变量及应变量的关系。

8．甲.以

为例

9．

（1）在X轴上任取一点A

10．

（2）输入t=x（A）

11．（3）输入P=（t,t^3-3t-1）在绘图区会显示P点

12．将光标移至P点，然后按鼠标右键，点选显示移动踪迹

13．（5）拉动X轴上A点，观察P点轨迹的变化

14．

乙.利用Curve指令来输入圆锥曲线的参数式

15．以椭圆为例

的参数式为

16．设定两个角度滑杆名称分别为α,β数值最小０，最大2pi

17．输入Curve[3cos（t）,2sin（t）,t,α,β]调整滑杆α,β的大小，即可看到以α,β为范围的椭圆弧线。

18．

19．Sequence指令的应用

20．

（1）在某个区间内把X轴的取样点从少变多,再画出（x,f（x））的描点图,

21．如此让学生对于函数图形有更深刻的印象

22．以

为例

23．设定数值滑杆t最小:

0最大:

40,增量:

1

24．输入Sequence[（a,sin（a））,a,-2pi,2pi,2pi/t]

25．再拉动滑杆观察图形的变化

26．

（2）若想把上例所出现的取样点由左而右依序出现，再加上两个步骤：

27．新增数值滑杆n，最小0，最大50，增量1，并将sequence改为

28．Sequence[（a,sin（a））,a,-2pi,-2pi+4pi*n/50,2pi/t]，当拉动滑杆n时，函数图形由左而右一点一点描绘出来。

29．

30．对数函数及指数函数的图形

31．GeoGebra的对数函数符号和国内目前所使用的有所差异，如下表：

32．

自然对数

常用对数（底数为10）

国内教科书

y=ln（x）

y=log（x）

GeoGebra

y=log（x）或y=ln（x）

y=lg（x）

在GeoGebra之中若输入y=log（x）是代表的是自然对数，而常用对数是输入　y=lg（x），若底数为其他正数则要用换底公式

，即输入y=log（x）/log

（2）来表示　

（1）画出

四个函数图

　　把这四个函数画在一起，前两个对称于Ｘ轴，后两个对称于Ｙ轴，又第一个和第三个以及第二个和第四个有反函数关系，两两对称于y=x。

绘图步骤

设定数值滑杆a最小:

0.01最大:

10,增量:

0.01

输入y=log（x）/log（a）

输入y=log（x）/log（1/a）

输入y=a^x

输入y=（1/a）^x

利用

在y=log（x）/log（a）上画出一点A，再用

对称钮找出在另三个图形上的点A’,A’’,A’1，拉动滑杆看看图形的变化

（2）观察y=loga（x）及y=ax两图形交点的个数

一般人很容易以纸笔手动方式画出此二函数交于两点及一点的图形，但要画出交于三点的情形则远超出人类描绘的能力，在GeoGebra中可用数值滑杆来设定底数a的范围以方便观察此二函数相交情形。

绘图步骤

设定数值滑杆a

最小:

0.0０1最大:

0.5,增量:

0.01

输入f（x）=log（x）/log（a）

输入g（x）=a^x

另外输入h（x）=f（x）-g（x）

观察当h（x）和X轴有３个交点时，即此两函数图形交于３点

33．利撒求（Lissajous）图形

这是由两个振动所形成的二维图形，每个振动均为一个正弦波所代表的简谐运动，即

的轨迹图形

其中a,b表振幅，w1,w2表角速度，

1,

2代表相差，t为时间

绘图步骤

首先设定６个数值滑杆，名称分别为a,b,w_1,w_2,Φ_1,Φ_2

作线段BC（长度适当即可）,在上任取一点Ｄ

输入t=6pi*Distance[B,D]/Distance[B,C]

（以D在BC上的位置来表示0-6π间的数字，范围可根据需要而自行调整）

输入A=（a*sin（w_1*t+Φ_1）,b*sin（w_2*t+Φ_2））

单击

按钮，点选要显示的轨迹点Ａ，然后再点选控制点Ｐ，即可画出Lissajous图形。

Lissajous图形变化多端，可先从简单的图形开始观察。

以下为

的情形，图形为圆、椭圆及线段。

数据源：

rve

当w２=2w1时，以w1=3,w２=6为例，固定

而变动

到接近

，图形的左右两扇区域逐渐缩小，形成抛物线，这可由以下算式看出来

w1=3,w２=6,

w1=3,w２=6,

w1=3,w２=6,

接着可观察

的情形，可设定滑杆w1最小０，最大12，增量为2，滑杆w２最小1，最大13，增量为2，

。

w1=1,w２=2

w1=1,w２=4

w1=1,w２=6

w1=3,w２=2

w1=3,w２=4

w1=3,w２=6

w1=5,w２=2

w1=5,w２=4

w1=5,w２=6

经由以上的观察可以发现Lissajous的图形为限制在2a×2b的矩形之中，w1,w2皆为整数的情形下曲线不管多复杂，轨迹会重复出现。

由于Lissajous图形在学术上的应用广泛，因此有不少研究机构用来作为Logo，右图为美国麻省理工学院林肯实验室的首页，其中的Lissajous图形为w1=３,w２=４,

1=

2=0的情形。

六．附录：

常用的函数、方程式以及在GeoGebra中的输入形式

函数名称及一般式

例

输入

备注

一次函数y=ax+b

y=3x+2

y=3x+2

国中

一次方程式ax+by=c

5x+2y=1

5x+2y=1

国中

二次函数y=ax2+bx+c

y=2x2-3x+1

y=2x^2-3x+1

国中,高一下

高斯函数

y=[x]

y=ceil（x）

高一下

根式函数

y=sqrt（x）

y=cbrt（x）

或以指数函数方式输入,如y=x^（1/2）

高一下

指数函数y=ax+b

y=2x

y=2^x

高一下

绝对值函数y=|ax|+b

y=||x|+1|+2

y=abs（abs（x）+1）+2

高一上

三角函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx

y=sin（x）

y=cos（x）

y=tan（x）

y=1/tan（x）

y=1/cos（x）

y=1/sin（x）

高一下

其中有三个要以倒数关系表示

三角函数的迭合

y=Acosx+Bsinx

y=3sinx+4cosx

y=3sin（x）+4cos（x）

高一下

反三角函数

y=asin（x）

y=acos（x）

y=atan（x）

高一下

对数函数：

常用对数

底数为１０

y=logx

y=lg（x）或

y=log（x）/log（10）

高一下

对数函数：

自然对数

底数为e=2.71828……

y=lnx

y=log（x）或

y=ln（x）

大学微积分

抛物线

y2=4cx,x2=4cy

y2=4x

y^2=4x

高二下

圆x2+y2=r2

x2+y2=4

x^2+y^2=4

高二上

双曲线

x^2/16-y^2/25=1

高二下

圆锥曲线方程式

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

x2+xy+y2=1

x^2+xy+y^2=1

（xy,之间空一格或　x*y表示相乘）

高二下

七、参考数据

1.李政丰、颜贻隆、蔡敏娟、陈明君：

函数y=ax与y=logax的图形交点个数的探索数学传播季刊　第28卷第4期

2.左台益、许舜渊、彭建勋、吕凤琳、胡政德、罗骥韡等译:

　GeoGebra使用说明3.2

3.EliMaor着　胡守仁译：

毛起来说三角　天下远见出版

4.麻省理工学院的林肯实验室首页：

5.维基百科：

6.