集合的概念与运算.docx
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集合的概念与运算
第1讲 集合的概念与运算
基础梳理
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法、区间法.
(4)常用数集:
自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.
(5)集合的分类:
按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:
若A⊆B,且A≠B,则AB(或BA).
(3)空集:
空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即∅⊆A,∅B(B≠∅).
(4)若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有2n-1个.
(5)集合相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.集合的基本运算
(1)并集:
A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(2)交集:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(3)补集:
∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
(4)集合的运算性质
①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B;
②A∩A=A,A∩∅=∅;
③A∪A=A,A∪∅=A;
④A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
一个性质
要注意应用A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.
双基自测
1.设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于( ).
A.{x|3≤x<4}B.{x|x≥3}
C.{x|x>2}D.{x|x≥2}
2.若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( ).
A.P⊆QB.Q⊆PC.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
3.i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( ).
A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD.
∈S
4.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是
( ).
A.(-∞,-1]B.[1,+∞)
C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
5.已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则m=________.
考向一 集合的概念
【例1】►已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
【训练1】设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+2},A∩B={3},则实数a的值为________.
考向二 集合的基本运算
【例2】►已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=
,则集合A∩B=________.
【训练2】若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=
,则A∩B=( ).
A.{x|-1≤x<0}B.{x|0 C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1} 考向三 集合间的基本关系 【例3】►已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 【训练3】设集合A= ,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若A∩B≠∅,则实数m的取值范围是________. 难点突破1——集合问题的命题及求解策略 一、集合与排列组合 【示例】►设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( ). A.57B.56 C.49D.8 二、集合与不等式的解题策略 【示例】►设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于( ). A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3] 三、集合问题中的创新问题 【示例】►设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能的是( ). A.|S|=1且|T|=0B.|S|=1且|T|=1 C.|S|=2且|T|=2D.|S|=2且|T|=3 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 基础梳理 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命 题 表述形式 原命题 若p,则q 逆命题 若q,则p 否命题 若綈p,则綈q 逆否命题 若綈q,则綈p (2)四种命题间的逆否关系 (3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件; (2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件. 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念: ①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法. 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题; (2)互为逆否命题的两个命题同真假. 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法: 直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件. (2)等价法: 利用p⇒q与綈q⇒綈p,q⇒p与綈p⇒綈q,p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)集合法: 若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 双基自测 1.以下三个命题: ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.其中真命题的序号是________. 2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ). \A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b 3对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( ). A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ). A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 5.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为. 考向一 命题正误的判断 【例1】►设集合A、B,有下列四个命题: ①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B; ②A⃘B⇔A∩B=∅; ③A⃘B⇔B⃘A; ④A⃘B⇔存在x∈A,使得x∉B. 其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上). 【训练1】给出如下三个命题: ①四个非零实数a,b,c,d依次成等比数列的充要条件是ad=bc; ②设a,b∈R,且ab≠0,若 <1,则 >1; ③若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数. 其中不正确命题的序号是( ). A.①②③B.①② C.②③D.①③ 考向二 四种命题的真假判断 【例2】►已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ). A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上,h(x)=f(x)·g(x),如果f(x)、g(x)均为奇函数,则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( ). A.0B.1C.2D.3 考向三 充要条件的判断 【例3】►指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p: ∠A=∠B,q: sinA=sinB; (2)对于实数x、y,p: x+y≠8,q: x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中,p: x∈A∪B,q: x∈B; (4)已知x、y∈R,p: (x-1)2+(y-2)2=0, q: (x-1)(y-2)=0. 【训练3】设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的( ). A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 难点突破2——高考中充要条件的求解 从近几年课改区高考试题可以看出,高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查,一般难度不大,属中档题,常与不等式、数列、向量、三角函数、立体几何等内容结合考查.考查形式主要有两种: 一是判断指定的条件与结论之间的关系;二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件. 判断充分、必要条件要从两方面考虑: 一是必须明确哪个是条件,哪个是结论;二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立,该类问题虽然属于容易题,但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分. 一、充要条件与不等式的解题策略 【示例】►设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( ). A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 二、充要条件与方程结合的解题策略 【示例】►设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 三、充要条件与数列结合的解题策略 【示例】►设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 四、充要条件与向量结合的解题策略 【示例】►)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( ). A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 五、充要条件与三角函数结合的解题策略 【示例】►“x=2kπ+ (k∈Z)”是“tanx=1”成立的( ). A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 基础梳理 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表: p q p∧q p∨q ¬p 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有: “任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. (3)全称量词用符号“∀”表示;存在量词用符号“∃”表示. 3.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定为: 非p且非q;p且q的否定为: 非p或非q. 一个关系 逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题. 两类否定 1.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题 全称命题p: ∀x∈M,p(x),它的否定¬p: ∃x0∈M,¬p(x0). (2)特称命题的否定是全称命题 特称命题p: ∃x0∈M,p(x0),它的否定¬p: ∀x∈M,¬p(x). 2.复合命题的否定 (1)綈(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q); (2)綈(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q). 三条规律 (1)对于“p∧q”命题: 一假则假; (2)对“p∨q”命题: 一真则真; (3)对“¬p”命题: 与“p”命题真假相反. 双基自测 1.已知命题p: ∀x∈R,sinx≤1,则( ). A.¬p: ∃x0∈R,sinx0≥1B.¬p: ∀x∈R,sinx≥1 C.¬p: ∃x0∈R,sinx0>1D.¬p: ∀x∈R,sinx>1 2.若p是真命题,q是假命题,则( ). A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题 C.¬p是真命题D.¬q是真命题 3.命题p: 若a,b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q: 函数y= 的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则( ). A.“p或q”为假B.“p且q”为真 C.p真q假D.p假q真 4.设p、q是两个命题,则复合命题“p∨q为真,p∧q为假”的充要条件是 ( ). A.p、q中至少有一个为真B.p、q中至少有一个为假 C.p、q中有且只有一个为真D.p为真、q为假 5.命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________________. 考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 【例1】►已知命题p1: 函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2: 函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1: p1∨p2,q2: p1∧p2,q3: (¬p1)∨p2和q4: p1∧(¬p2)中,真命题是( ). A.q1,q3B.q2,q3 C.q1,q4D.q2,q4 【训练1】已知命题p: ∃x0∈R,使sinx0= ;命题q: ∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论 ①命题“p∧q”是真命题;②命题“¬p∨¬q”是假命题; ③命题“¬p∨q”是真命题;④命题“p∨¬q”是假命题. 其中正确的是( ). A.②③B.②④ C.③④D.①②③ 考向二 全称命题与特称命题 【例2】►写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p: ∀x∈R,x2-x+ ≥0; (2)q: 所有的正方形都是矩形; (3)r: ∃x0∈R,x +2x0+2≤0; (4)s: 至少有一个实数x0,使x +1=0. 【训练2】写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p: ∀x∈R,x不是3x-5=0的根; (2)q: 有些合数是偶数; (3)r: ∃x0∈R,|x0-1|>0. 考向三 根据命题的真假,求参数的取值范围 【例3】►已知命题p: 方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根;命题q: 方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m的取值范围. 【训练3】已知a>0,设命题p: 函数y=ax在R上单调递增;命题q: 不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围. 规范解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题 【问题研究】利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题: 一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围;二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时,一定要注意取值区间端点值的检验,处理不当容易出现漏解或增解的现象., 【解决方案】解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式,然后通过解方程或不等式求得所求问题. 【示例】►已知c>0,且c≠1,设p: 函数y=cx在R上单调递减;q: 函数f(x)=x2-2cx+1在 上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数c的取值范围. 【试一试】设p: 方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q: 方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.求使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围.
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