创新设计一轮复习 第四章教材高考审题答题二.docx
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创新设计一轮复习第四章教材高考审题答题二
热点预测
真题印证
核心素养
三角函数的图象与性质
2018·全国Ⅱ,10;2018·全国Ⅰ,8;2018·全国Ⅲ,6;2017·浙江,17;2017·山东,16;2017·全国Ⅱ,14
直观想象、
逻辑推理
三角恒等变换
2018·浙江,18;2018·江苏,16;2018·全国Ⅱ,15;2018·全国Ⅲ,4;2017·全国Ⅰ,15;2016·全国Ⅰ,14
逻辑推理、
数学运算
解三角形
2018·全国Ⅰ,17;2018·全国Ⅱ,6,2017·全国Ⅰ,17;2018·北京,15;2018·天津,15;2016·全国Ⅰ,17
逻辑推理、
数学运算
教材链接高考——三角函数的图象与性质
[教材探究](必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)
题目9 已知函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x.
(1)求函数的递减区间;
(2)求函数的最大值和最小值.
题目10 已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈时,求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.
[试题评析] 两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质,题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后利用三角函数的性质求解.
【教材拓展】已知函数f(x)=4tanxsin·cos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解
(1)f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z},
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x-cos2x
=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
设A=,B=,易知A∩B=.
所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
探究提高 1.将f(x)变形为f(x)=2sin是求解的关键,
(1)利用商数关系统一函数名称;
(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.
2.把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
【链接高考】(2017·山东卷)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3,已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
解
(1)因为f(x)=sin+sin,
所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx
=sinωx-cosωx=
=sin.
由题设知f=0,
所以-=kπ(k∈Z),
故ω=6k+2(k∈Z).
又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由
(1)得f(x)=sin,
所以g(x)=sin=sin.
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
教你如何审题——三角变换、三角函数与平面向量的交汇
【例题】(2019·青岛质检)已知向量m=(2sinωx,cos2ωx-sin2ωx),n=(cosωx,1),其中ω>0,x∈R.若函数f(x)=m·n的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sinB=sinA,求·的值.
[审题路线]
[自主解答]
解
(1)f(x)=m·n=2sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin.
因为f(x)的最小正周期为π,所以T==π.
又ω>0,所以ω=1.
(2)由
(1)知f(x)=2sin.
设△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
因为f(B)=-2,所以2sin=-2,
即sin=-1,由于0
因为BC=,即a=,又sinB=sinA,
所以b=a,故b=3.
由正弦定理,有=,解得sinA=.
由于0<A<,解得A=.
所以C=,所以c=a=.
所以·=cacosB=××cos=-.
探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”,即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”;然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”;再活用正、余弦定理,对三角形的边、角进行互化.
2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数的相关知识进行求解.
【尝试训练】已知函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,-sin2x),b=(cosx,1),x∈R.
(1)求函数y=f(x)的单调递减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=,且向量m=(3,sinB)与n=(2,sinC)共线,求边长b和c的值.
解
(1)f(x)=2cos2x-sin2x=1+cos2x-sin2x=1+2cos,
令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴函数y=f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)∵f(A)=1+2cos=-1,
∴cos=-1,又<2A+<,
∴2A+=π,即A=.
∵a=,∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=7.①
∵向量m=(3,sinB)与n=(2,sinC)共线,
∴2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c,②
由①②得b=3,c=2.
满分答题示范——解三角形
【例题】(12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
[规范解答]
[高考状元满分心得]
❶写全得分步骤:
对于解题过程中是得分点的步骤有则给分,无则没分,所以得分点步骤一定要写全,如第
(1)问中只要写出acsinB=就有分,第
(2)问中求出cosBcosC-sinBsinC=-就有分.
❷写明得分关键:
对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所以在答题时要写清得分关键点,如第
(1)问中由正弦定理得sinCsinB=;第
(2)问由余弦定理得b2+c2-bc=9.
❸计算正确是得分保证:
解题过程中计算准确,是得满分的根本保证,如cosBcosC-sinBsinC=-化简如果出现错误,本题的第
(2)问就全错了,不能得分.
[构建模板]
【规范训练】(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
解
(1)在△ABD中,由正弦定理得=,即=,所以sin∠ADB=.
由题设知,∠ADB<90°,
所以cos∠ADB==.
(2)由题设及
(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理得
BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC
=25+8-2×5×2×=25.
所以BC=5.
1.已知函数f(x)=sinx-2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
解
(1)因为f(x)=sinx+cosx-
=2sin-,
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π.
当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间上的最小值为f=-.
2.(2019·济南调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).
(1)求cosA的值;
(2)求sin(2B-A)的值.
解
(1)由asinA=4bsinB,及=,得a=2b.
由ac=(a2-b2-c2),
及余弦定理,得cosA===-.
(2)由
(1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB,
得sinB==.
由
(1)知,A为钝角,所以cosB==.
于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,
故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA
=×-×=-.
3.已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2sinxcosx(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=2,c=5,cosB=,求△ABC中线AD的长.
解
(1)f(x)=-cos2x+sin2x=2sin.
∴T==π.∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由
(1)知f(x)=2sin,
∵在△ABC中f(A)=2,∴sin=1,
∴2A-=,∴A=.又cosB=,∴sinB=,
∴sinC=sin(A+B)=×+×=,
在△ABC中,由正弦定理=,得=,
∴a=7,∴BD=.
在△ABD中,由余弦定理得,
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB
=52+-2×5××=,
因此△ABC的中线AD=.
4.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)=cosx(cosx+sinx).
(1)求f(x)的最小值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若f(C)=1,S△ABC=,c=,求△ABC的周长.
解
(1)f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin.
当sin=-1时,f(x)取得最小值-.
(2)f(C)=+sin=1,∴sin=,
∵C∈(0,π),2C+∈,∴2C+=,∴C=.
∵S△ABC=absinC=,∴ab=3.
又(a+b)2-2abcos=7+2ab,
∴(a+b)2=16,即a+b=4,∴a+b+c=4+,
故△ABC的周长为4+.
5.已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,-),n=(cos2B,2cos2-1),B为锐角且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.
解
(1)∵m∥n,
∴2sinB=-cos2B,
∴sin2B=-cos2B,即tan2B=-.
又∵B为锐角,∴2B∈(0,π),
∴2B=,∴B=.
(2)∵B=,b=2,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得a2+c2-ac-4=0.
又a2+c2≥2ac,代入上式,得ac≤4,
故S△ABC=acsinB=ac≤,
当且仅当a=c=2时等号成立,
即S△ABC的最大值为.
6.(2019·上海徐汇区二模)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.
(1)求角A的大小;
(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+cosBcosC的最大值.
解
(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC,
∴根据正弦定理,知(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.
∴由余弦定理,得cosA==-.
又A∈(0,π),所以A=π.
(2)根据a=,A=π及正弦定理
得====2,
∴b=2sinB,c=2sinC.
∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC.
∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC
=cos(B-C).
故当B=C=时,S+cosBcosC取得最大值.
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