高考数学一轮复习讲练测专题53平面向量的数量积及应用举例讲浙江版解析版含解doc.docx
- 文档编号:29250248
- 上传时间:2023-07-21
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:73.08KB
高考数学一轮复习讲练测专题53平面向量的数量积及应用举例讲浙江版解析版含解doc.docx
《高考数学一轮复习讲练测专题53平面向量的数量积及应用举例讲浙江版解析版含解doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习讲练测专题53平面向量的数量积及应用举例讲浙江版解析版含解doc.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学一轮复习讲练测专题53平面向量的数量积及应用举例讲浙江版解析版含解doc
2017年高考数学讲练测【浙江版】【讲】
第五章平面向量,数系的扩充与复数的引入
第三节平面问量的数量枳及应用季例
【最新考纲解读】
内容
要求
备注
A
B
C
平
面向量
平面向量的数量积与向量投影的关系.
V
对知识的考查要求依次分为了解、理解、常握三个层次(在表中分别用A、B、C表示).
了解:
要求对所列知识的含义有初步的,感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关问题中识别和认识它.
理解:
要求对所列知识有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描述说明,用数学语言表达,利用所学的知识内容对有关问题作比较,判断,讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力.
掌握:
要求对所列的知识内容能够推导证明,利用所学知识对问题能够进行分析,研究,讨论,并且加以解决.
平面向量数量积的含义及其物理意义.
V
数量积的坐标表达式;进行平而向暈数量积的运算;运用数量积表示两个向量的夹角;用数量积判断两个平面向量的垂直关系;用向量方法解决某些简单的平面几何问题;用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
【考点深度剖析】
近几年高考试题加大了对平面向量的数量积内容的考查力度,题型依然以选择题、填空题为主,间或与三
角函数、解析几何等相结合,几乎是每年的必考内容.平面向量的高考命题方向,主要侧重以下三点:
(1)
数量积是高考的一个热点,其运算的结果是数量.其关键是要理解数量积的定义,掌握数量积的运算律和数量积的坐标运算,掌握数量积的几何意义及其应用;
(2)求向量的模是高考的重点,其要点是通常将模(长度)问题转化成数量积的计算,即将所求长度用己知向量的数量积表示,这也是高考命题常常出现的题型;
(3)求夹角问题是高考的一个难点,熟练掌握向量的夹角计算公式是关键.从平面向量的应用来看,应特别关注平面向量与平面儿何、与平面解析儿何、与三角函数或三角形的结合.
【课前检测训练】[判一判]
一TT一
1.【安徽卷】MBC是边长为2的等边三角形,已知向量万、b满足AB=2afAC=2云+b,则下列结
论屮正确的是
.(写出所有正确结论得序号)
①万为单位向量;②方为单位向量;③万丄方;®b//BC;⑤(4万+5)丄屁。
答案:
••等边三角形ABC的边长为2迈=2方・•・阿|=2^|=2=>|^|=1•故(HE确;
\AC=AB^BC=2^^BC:
.BC=b=>^=2f故②tg误,④E确;由于AB=^BC=b=>a^b夹
角为12
•••(仍+5)丄BC,故OE确因此,正确的编号是①©⑤
UUUI
2.在四边形ABCD中,AC=(2,4),
ULBI
BD=则该四边形的面积为()•
A.3^5
B.2^5
C.5
D.15
UlUUULUU
答案:
因为在四边形ABCD中,AC=(2,4),BD=(-6,3),AC^BD=O所以四边形ABCD的对角线互相垂直,乂|疋|二2亦,|丽|二3石
该四边形的面积:
-\AC\-\BD\=-x2V5x3a/5=15,故选D.
[练一练]
1.【课本典型习题】设非零向量方亦,满足\a\=\b\=\c\9a+b=c,方与7的夹角为()
A.60
B.90
C.120°
D150°
【答案】八
【解析】由o+S=c得,a=c-b?
两边平方得I祁=|引2+|引2_筋庄0=£|讦,因为冃引斗引,X*
ff
所以b-c=\\b^所以歩与:
的夹角的余弦值工二;,所以5与:
的夹角为60。
,故选A.
2创引2
2.【2016高考新课标2】已知向量a二(1,加)皿二(3,-2),H(a+b)丄忌,则加=()
(A)-8
【答案】D
【解析】
(B)-6
(C)6
(D)8
试题分析:
向量a+b=(4,m-2),由(a+b)丄B得4x3+(m-2)x(-2)=0,解得m=8,故选D.
Uli/1、行UUDF、,1
3.[2016高考新课标3】已知向量84=(丄,—)5C=(-,-),则ZABC=()
2222
(A)30°
⑻45。
(060°
(0)120°
【答案】A
【解析】
1a/3>/31
试题分析:
由题意,得cosZABC=__=—2——2_=亠,所以ZABC=3O°,故选八.
15^||SC|1x12
4.[2016年高考北京理数】设方,乙是向量,则方冃引”是方+忌冃方一引”的()
A.
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
充分而不必要条件
C.充分必要条件
【答案】D
【解析】试题分析:
由|方+引斗厶一引O(2+Z)2=(方一初2。
方£=0o方丄乙,故是既不充分也不必要条件,故选D.
5.【课本典型习题】法向量为(3,5)的直线,其斜率为()
A.--B.-C.-D.--
5533
【答案】A.
【解析】因为法向量为(3,5)的直线,可知耳已知直线垂直的直线的斜率为专,那么可知已知直线的斜率为
3
——,选A.
5
6.已知一物体在共点力Fl=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移£=(21g5,l),则共点力对物体做的功W为.
【答案】2
【解析】人+鬥=(l,21g2),0=(人+场)・s=21g5+21g2=2.
【题根精选精析】
考点1平面向量数量积的运算
【11][[百强校】2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知向量:
=(1,2),^=(1,-1),贝IJ
(a+b)^(a-2b)=()
A.2B.-2C.-3D.4
【答案】A
【解析】
因:
+3=(2,1),:
_2乙=(_1,4),故G+Z)・(:
-2Z)=(-1)x2+1x4=4-2=2,应选A.
【1-2】【【百强校)2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】已知向量方与b的夹角为60°,|刁=2,|引=5,则2a-b在方方向上的投影为()
V35
A.—B.2C.—D.3
22
【答案】A
【解析】
因(SJia,&的夹角为60-,|7|=2,H=5,=则2a-b在:
方向上的投彩为
進遏諾.故应选扎
SI2
[1-31【2016高考天津理数】己知△九加是边长为1的等边三角形,点分别是边AB.BC的中点,连
接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()
51111
(A)一一(B)-(C)-(D)——
8848
【答案】B
【解析】
■f.f■I.Iff■§・-4ff
试题分析:
^BA=a?
BC=b?
:
.DE=-AC=-(b-d),DF=-DE=-(b-d),
2224
‘■♦•3ff5f3f‘•‘‘o5ff3f2531
AF=AD+DF=--a+-(b-a)=--a+-b?
:
.AFBC=—=ab+=b古夂选B・
244444848
••••
【基础知识】
一、两个向量的夹角
1.定义
己知两个非零向量a和肌作OA=a,OB=b,则ZAOB=0叫做向量a与〃的夹角.
2.范围
向量夹角&的范围是0°<^<180oa与方同向时,夹角0=0。
;a与方反向时,夹角0=180。
.
3.向量垂直
如果向量a与〃的夹角是90。
,则a与方垂直,记作a丄力
二、平面向量数量积
1.已知两个非零向量a与方,则数量|a||外cos〃叫做a与“的数量积,记作%即a-b=\a\\b\cos0,其中&是a与〃的夹角.
规定0・a=0.
当a丄方时,0=90。
,这时ab=0.
2.a/的几何意义:
数量积ab等于a的长度|a|与〃在a的方向上的投影|〃|cos0的乘积.
三、向量数量积的性质
1.如果e是单位向量,则a•e=e・a.
2.$丄方U>a•b=0.
3.a•a=|a|2,|a|=Ja・a.
4.cos0=ab.(〃为$与方的夹角)
|a||b|
5.|a•A||a||A|・
四、数量积的运算律
1.交换律:
a•b=b・a.
2.分配律:
(a+A)•c=a•c+b•c.
3.对久UR,久(£•b)=(久$)・b=a•(久b).
五、数量积的坐标运算
设a=(c?
i,az),b=(Z?
i,&),则:
1.a•b=a\b\+a^bz.
2.$丄b0a\b\+azk=O.
3.|a|=^/a?
+^2.
4・cos
()=
|a||b|
砒+a2b2
Jaj+l新+冴
・(〃为$与厶的夹角)
【思想方法】
1.平面向量数量积的计算方法
1已知向量日,b的模及夹角〃,利用公式a•b=\a\|Z>/cos0求解;
2己知向量日,〃的坐标,利用数量积的坐标形式求解.
(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.【温馨提醒】
平面向暈的数暈积计算问题,往往有有两种形式,一是利用数暈积的定义式;二是利用数暈积的坐标运算公式.涉及儿何图形的问题,往往可通过建立适当的平面直角坐标系,起到化繁为简的妙用.
考点2向量的夹角与向量的模
【2-1】【皖南八校高三第一次联考】已知向量必满足丽”卜0,且关于x的函数,
I1I7ii
f(x)=—x+—ax+d・bx+2014在7?
上有极值,则Q与b的夹角&的取值范圉为()
62
4(0,亍][亍,龙]C.(亍刃D.(―,y]
【答案】C
122
【解析】由题意可知广(力=牙<+丽+打=0有解,所叹A=p|_2冋同=(1_2©0疋0,£
1jr所以cos^e(-s^].
23
【2-2】【北京市重点中学高三8月开学测试】已知向量方必的夹角为45°,且|a|=l,|2a-6|=V10,则”
()
A.V2B.2C.2^2D.3V2
【答案】D.
【解析】•••2q—b=V1U,A2a-b=(2a-b)2=4a-4a・b+b=10,
又•:
兀的夹角为45°,且:
=1,・・・4一4-|引-寿-+|讦=10,解得⑹=3血或一血(舍去力
即|S1=3-4.
[2-3]【2016高考新课标1卷】设向量干(/〃,1),Zf(1,2),且\a^b\2=\a\2-^\b\\则nF.
【答案】-2
【解析】
由|a+〃|2=|a|2+|纠2,得°丄方,所以〃2xl+lx2=0,解得m=-2.
【基础知识】
1.a-«=|a|2,|a|=Va-a.
2.cos0=.(0为a与方的夹角)
|a||b|
3.a丄bci\b\4"。
2“2=0・
4.\a-b\<\a\\b\.
【思想方法】
利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向
量的数量积来解决.
【温馨提醒】
1.涉及向量模的计算问题,应用as=|a|2,|a|=VT7.可实现实数运算与向量运算的相互转化;
2.涉及儿何图形问题,灵活应用勾股定理、余弦定理等,有助于模的确定.
考点3平面向量在几何中的应用
【3-1】【【百强校】2016届上海市七宝中学高三模拟】若直线/的一个法向量7=(3,1),则直线/的一个方
向向量d和倾斜角"分别为()
A-d=(1,3);^=arctan3
B.d=(1,-3);a=arctan(-3)
C-d=(1,3);a=^-arctan3
D.d-(1,-3);oc-7i-arctan3
【答案】D
【解析】
由题设可知直线/的一个方向向量是a=(1,-3),其斜率£=-3,即tana=-3,故«=^-arctan3,应选
D.
【3-2】【【百强校】2016届山西省省际名校高三下5月联考押题】M是MBC所在平面上一点,满足
~MA^~MB+~MC=2AB,则亠辿为()
SgBC
A.1:
2B.1:
3C.1:
1D.1:
4
【答案】B
【解析】
因为而+面+就=2石=>而+祈+就=2(屈一而)
=>MB=3MA+MC=>CB=3MA
所咲矜二孝二;选b…
丫2
【3-3][[百强校)2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点M(l,0),力丿是椭圆y+y2=1上的动点,
且而•祈=0,则祐•励的収值范围是()
A・[討]
B.[1,9]
C・即]
【答案】B
【解析】
2I
设A(x0,y0)f因祐.BA=AM-(BM+MA)=AM^=(x0-l)2+y~,冃尤=1一才丘,故—3、—34?
仏•必二才爲—2x°+2(—l51),所以(M4•必)斷=-x--2Xy+2=l,
3
(MA•BA)max=-x4-2(-2)+2=9,故应选B.
【基础知识】
1.平行向量:
方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:
0与任一向量共线.
2.共线向量定理:
向量a(a^)与方共线,当且仅当有唯一一个实数儿使得方=肋.
3.向量共线的充要条件的坐标表示
若a=(xPy(),Z)=(x2,y2),贝ija//b<=>x}y2~x2y}=0.
4.设a=(G],。
2),b=(b、,/?
2)»贝U:
(1)a*b=a\bi+a2b2.
(2)a丄方O0上[+。
2〃2=0.
【思想方法】
共线向量泄理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意否则久可能不存在,也可能有无数个.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
向量共线的充要条件有两种:
(1)a//~boa=Xb(bH0).
(2)若a=(X],y^),b=(x2,y2),贝ija//b<=>xly2~x2yl=0.
当涉及到向量或点的坐标问题时,应用向量共线的充要条件
(2)解题较为方便.
【温馨提醒】
—♦—♦—*—♦
ab=Q0a丄b,因此,
(1)平面向量方与厶的数量积为齐冃训cos&,其中&是方与厶的夹角,要注意夹角的定义和它的取值
范围:
0°<^<180°;
(2)由向量的数量积的性质有冏=>/爲
利用平面向量的数量积可以解决与氏度、角度、垂直等有关的问题.
考点4平面向量在物理中的应用
【4・1】己知三个力fF(-2,-l),f2=(-3,2),fa=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力%则2()
A.(-1,-2)B.(1,-2)
C.(-1,2)D.(1,2)
【答案】D
【解析】物体平衡,则所受合力为0.由物理知识知:
f】+f2+f卅尸0,故f4=-(fi+f2+f3)=(l,2).选D.
[4-2]在水流速度为4km丨h的河流中,有一艘船正沿与水流垂直的方向以Skm/h的速度航行,则船自身航行速度大小为km/h.
【答案】4逅【解析】如下图,药代表水流速度,疋代表船自身航行的的速度,而乔代表实际航行的速度,所以有|走冃丽|=J詞+誚=782+42=懈=佛,所以船自身航行的速度犬小为4厉km!
h・
【基础知识】
平向量的线性运算:
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
a
三角形法则
a
平行四边形法则
(1)交换律:
cr^b^trVa;
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(H-c)
减法
求a与〃的相反向量
―“的和的运算叫做a
与“的差
a
三角形法则
X
【思想方法】
注意准确画出图形,应用平行四边形法则或三角形法则.
【温馨提醒】
涉及力向暈、速度向量问题,利用向量的线性运算法则及夹角公式等求解.
考点5平面向量的综合应用
[5-1]【【百强校】2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】已知抛物线C:
y2=Sx与点M(—2,2),过C的焦
点且斜率为力的直线与C交于两点,若屁•MB=0,则丘=()
【答案】C
/=8x
【解析】由已知,k$0,设直线z/B为y=k(x-2),交点力(州,y),〃(兀2,儿),联立方程
k2x2一(4k2+8)x+4疋=0,则兀]+兀2=缺兀]冷=-=4,北+力=k(x、+x2)-4k
4k2+X-4A:
2«
=—,必力=*~(X]—2)(x2—2)=—16,则rlIMA•MB—(X)+2,北—2)•(x2+2,js—2)
x,x2+2(X[+吃)+4+J7】%一2(北+必)+4=8丘:
16_工_4=0,解得&=2.
【5-2】【【百强校】2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】设函数y=x3+x2+兀+1在点M(l,4)处的x2v2
切线为/,双曲线一-二=1的两条渐近线与/围成的封闭图形的区域为P(包括边界),点/为区域P内
82
的任一点,已知B(4,5),O为坐标原点,则刃•前的最大值为()
2326
A.—B.3C.2D.—
1211
【答案】D
【解析】
因为0=3壬+2兀+1,所以Ay-4=6(x-l):
6x-^-2=0.双曲线TT"的两条渐近线为y=±-M(——)N(—-—)一一
2,交点为1广1『13>13,OA.OB的最大值为向量。
上在向量°月方向上的投影最大,
J仃0伍
111111
此时为质.OB=—x4+—x5=—.选D・
[5-3]在平面直角坐标系中,动点P和点M(-2,0)、N⑵0)满足|顾”耐+顾•丽=0,则动点P(x,y)
的轨迹方程为.
【答案】兀
【解析】本题可用求轨迹方程的基本方法一靑接法來求,把己知条件等式MN•MP\+MN-NP=0用唯标表示出来,4血+2)2+尸+4(兀—2)=0,化简变形即得y2=-8x.
【6-4】【2016届浙江省宇波市“十校”高三联考】在\ABC中,角B,C的对边分别是a,b,c,且向量fn=(5a-4c,4b)与向量=(cosC,cos5)共线.
(1)求cosB;
(2)若/>=V10,c=5,a 【答案】 (1)-; (2)— 53 【解析】 试题分析: (1)根据条件屮的向量共线得到力,B,C满足的一个式子,再进行三角恒等变形即可求解; (2)将已知条件中的式子变形,两边平方利用余弦定理求解. 试题解析: (1)•: m^(4a-5c.5b)与2=共线,•竺土=竺£二迺竺2兰竺, 4bcos54血0 /e4siii5cosC+4cosBsiuC=5sinjicosJ? 4sin(B+C)=A=5smAcosB, .*.cos5=— (2)b=c=5,a 4 a2+c2-2t? ccos5=b2,即^7a+25-2^5—=10,解得a=3或a=5(舍力 ■—*■1—2■・21—4e212■ TAD=2DC,•••BD=“A+土BC,ABD+-5C+2上上R4BC 339933 =—c24-—<72+2-—t7-ccos5,将a=3和q=5flJA得: BD—, 99339 •»施. 3 【基础知识】 1.a-b=\a\\b\cos0f其中&是a与方的夹角. 2.设a=(d],口2),b=(b\,〃2),则a/=ai〃i+。 2力2・ 3.a・a=|af,|a|=Ja・a. 4.cos0=玄巾©为a与〃的夹角) |a||b| 5.a丄方U>aibi+a2b2=0. 【思想方法】 1.涉及三角问题求解方法: (1)去除向量的包装外衣,转化为由三角函数值求对应的角的值; (2)去除向量的包装外衣,转化为形如: y=Asin(cox+(p)^k三角函数最值,但一定要关注自变量x的范闱.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式,处理的结果Z—就是转化为形如: 尹=/sin(0x+0)+2,这一点很重要. 2.涉及平面儿何问题,往往通过平面向量的坐标运算,结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系,应用函数方程思想解题. 【温馨提醒】 在历年的高考题中,向量是高考的必考内容,平面向量往往以“工具”出现,在平面向量与三角函数、解析儿何、函数等知识的交汇点处命题,题目的综合性往往较强,题目的难度屮档或高档均有出现.在复习时应引起高度重视. 【易错问题大揭秘】 易错典例: 如图,在正方形ABCD中,E为AB的屮点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点, 设向量农二ADE+而,则2+“的最小值为 AEB 【易错点】不能结合图形特征,灵活建立直角坐标系,将向量用坐标表示,将问题转化成三角问题求解. 【分析】以力为原点,以力3所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1, 则E(-,0),C(1,1),D(0,1),A(0,0)・ 2 设P(cos。 sin&),・••疋=(1,1).又向量农=兄旋+“乔, 12 所以,2(—,—1)+“(cos0,sin0)=(—+“cos0_2+//sinff), f+“C0S*1 .2sin&-2cos& A=: —— 2cos&+sin&3 •.3+2sin&—2cos&_(-2cos&-sin&)+
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 一轮 复习 讲练测 专题 53 平面 向量 数量 应用 举例 浙江 解析 版含解 doc