北师大版九年级下第二章二次函数综合应用大题 专题训练无答案.docx
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北师大版九年级下第二章二次函数综合应用大题专题训练无答案
二次函数综合应用
1.(2018秋•连城县期中)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,C在x轴的正半轴上,已知A(0,8)、C(10,0),作∠AOC的平分线交AB于点D,连接CD,过点D作DE⊥CD交OA于点E.
(1)求点D的坐标;
(2)求证:
△ADE≌△BCD;
(3)抛物线y=
x2+
x+8经过点A、C,连接AC.探索:
若点P是x轴下方抛物线上一动点,过点P作平行于y轴的直线交AC于点M.是否存在点P,使线段MP的长度有最大值?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2018秋•梁子湖区期中)在平面直角坐标系中,抛物线C1:
y=ax2+4x+4a(0<a<2).
(1)当C1与x轴只有一个公共点时,求此时C1的解析式:
(2)如图①,若A(1,yA),B(0,yB),C(-1,yC)三点均在C1上,连接BC,作AE∥BC交抛物线C1于E,求点E到y轴的距离;
(3)若a=1,将抛物线C1先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到抛物线C2,如图②,抛物线C2与x轴相交于点M,N(点M在点N的左侧),抛物线C2的对称轴交x轴于点F,过点F的直线l与抛物线C2相交于点P,Q(点P在第四象限),且S△FMQ-S△FNP=
,求直线l的解析式.
3.(2018秋•微山县期中)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=
x-2经过A,C两点,抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)在直线AC上方的抛物线上存在一点P,使△PAC的面积最大,请直接写出P点坐标
及△PAC面积的最大值;
(3)在y轴上是否存在一点G,使得GD+GB的值最小?
若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2018秋•红旗区校级月考)如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-2,0)、B(4,0)、C(0,-8),与直线y=x-4交于B,D两点
(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标;
(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点,试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)点Q是线段BD上异于B、D的动点,过点Q作QF⊥x轴于点F,交抛物线于点G,当△QDG为直角三角形时,直接写出点Q的坐标.
5.(2018秋•南关区校级月考)如图,已知抛物线y=ax2+
x+4的对称轴是直线x=3,且与轴相交于A、B两点(B点在A点的右侧),与轴交于C点.
(1)A点的坐标是;B点坐标是;
(2)直线BC的解析式是:
;
(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点(不与B、C重合),是否存在点P,使△PBC的面积最大.若存在,请求出△PBC的最大面积,若不存在,试说明理由;
(4)若点M在x轴上,点N在抛物线上,以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M点坐标.
6.(2018秋•思明区校级月考)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(0,-2),并与x轴交于点C,点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M,B,C三点不在同一直线上)
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)若△MCB为直角三角形,请求出点M的坐标;
(3)在抛物线上找出点P,使得以M、C、B、P为顶点的四边形为平行四边形,并直接写出点P的坐标.
7.(2018秋•沙坪坝区校级月考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,点C关于抛物线对称轴的对称点为点D,抛物线顶点为H(1,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点,连接PA,PD.当S△PAD=3,若在x轴上存在一动点Q,使PQ+
QB最小,求此时点Q的坐标及PQ+
QB的最小值;
(3)若点E为抛物线上的动点,点G,F为平面内的点,以BE为边构造以B,E,F,G为顶点的正方形,当顶点F或者G恰好落在y轴上时,求点E的横坐标.
8.(2018秋•襄城区校级月考)抛物线y=x2+mx+n过点(-1,8)和点(4,3)且与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,AD交抛物线于D,交直线BC于点G,且AG=GD,求点D的坐标;
(3)如图2,过点M(3,2)的直线交抛物线于P,Q,AP交y轴于点E,AQ交y轴于点F,求OE•OF的值.
9.(2018•广元)已知抛物线的顶点为(2,-4)并经过点(-2,4),点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为
,抛物线交y轴于点N.如图1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的一点,△ANP为等腰三角形,求点P的坐标;
(3)如图2,点B为直线y=-2上的一个动点,过点B的直线l与AB垂直
①求证:
直线l与抛物线总有两个交点;
②设直线1与抛物线交于点C、D(点C在左侧),分别过点C、D作直线y=-2的垂线,垂足分别为E、F.求EF的长.
10.(2018秋•海安县期中)如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0),B(1,0),C(0,3),点P在抛物线y=ax2+bx+c上,且在x轴的上方,点P的横坐标记为t.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,过点P作y轴的平行线交直线AC于点M,交x轴于点N,若MC平分∠PMO,求t的值;
(3)点D在直线AC上,点E在y轴上,且位于点C的上方,那么在抛物线上是否存在点P,使得以点C,D,E,P为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出该菱形的面积;若不存在,请说明理由.
11.如图,已知抛物线C1:
y=ax2+4ax+4a-5的顶点为P,与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.
(1)求a的值及P的坐标;
(2)如图
(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;
(3)如图
(2),点Q是x正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.
12.(2017秋•盐湖区期末)如图,抛物线y=
x2-
x-
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点B出发,以相同的速度沿线段BC向终点C运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动时间为t秒.
(1)求A、B两点坐标及直线BC的解析式.
(2)设点P关于直线BC的对称点为点D,连接DQ、BD
①当DQ∥x轴时,求证:
PQ=BD.
②求∠PBD的度数.
③用含t的代数式表示D点的坐标,并判断在运动过程中,点D有可能落抛物线y=
上吗?
若能,请求出此时t的值;若不能,请说明理由.
13.(2018•铜梁区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B两点,点A在点B的右侧,交y轴于点C,它顶点的横坐标为
,直线AC的解析式为
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线上位于第一象限内对称轴右侧的一个动点,当S△ABP=5时,在线段AC上有动点Q,当PQ+
QC的值最小时,求PQ+
QC的最小值.
(3)如图2,点F是y轴上一点,且OF=2OB,连接BF,将△BOF沿x轴向右平移,得△B1O1F1,当点F1恰好落在AC上时,连接OF1,将△AOF1绕点F1顺时针旋转α(0°<α<180°),记旋转中的△AOF1为△A1O2F1,在旋转过程中,设直线A1O2分别与x轴、直线AC交于点M、N,当△AMN是等腰三角形时,求AN的值.
14.(2018•惠山区校级二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是第一象限抛物线上的一点,抛物线对称轴交x轴于点F,交直线AP于点E,AE:
EP=1:
2.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)直线AP交y轴于点G,若CG=
,求此抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,若点D是射线AP上一动点,沿着DF翻折△ADF得到△A′DF(点A的对应点为A′),△A′DF与△ADB重叠部分的面积为△ADB的
,求此时△ADB的面积.
15.(2018春•沙坪坝区校级期中)如图1,抛物线
与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,连接AD、BD.
(1)求△ABD的面积;
(2)如图2,连接AC、BC,若点P是直线AC上方抛物线上一动点,过P作PE∥BC交AC于点E,作PQ∥y轴交AC于点Q,当△PQE周长最大时,将△PQE沿着直线AC平移,记移动中的△PQE为△P′Q′E′,连接CP′,求△PQE的周长的最大值及CP′+P′E′+
AE′的最小值;
(3)如图3,点G为x轴正半轴上一点,且OG=OC,连接CG,过G作GH⊥AC于点H,将△CGH绕点O顺时针旋转α(0°<α<180°),记旋转中的△CGH为△C′G′H′,在旋转过程中,直线C′G′,G′H′分别与直线AC交于点M,N,△G′MN能否成为等腰三角形?
若能直接写出所有满足条件的α的值;若不能,请说明理由.
16.(2018•沙坪坝区校级一模)如图1,已知抛物线
与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D,点C′是点C关于对称轴的对称点,连接DC,过点D作DG⊥x轴交x轴于点G.
(1)设DG交线段AC于点E,求△DCE的周长;
(2)如图2,点P是线段AC上方抛物线上的一点,过P作PH⊥x轴交x轴于点H,交线段AC于点Q,当四边形PCQC′的面积最大时,在线段PH上有一动点M,在线段DG上有一动点N,在y轴上有一动点F,且满足MN⊥PH,连接AM,MN,NF,DF,求AM+MN+NF+DF的最小值;
(3)如图3,将抛物线沿直线AC进行平移,平移过程中的点D记为D′,点C记为C′,连接D′C′所形成的直线与x轴相交于点G,请问是否存在这样的点G,使得△D′OG为等腰三角形?
若存在,求出此时OG的长度,若不存在,请说明理由.
17.(2018•岳麓区校级一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2的对称轴绕着点P(0,2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A,B两点,点Q是该抛物线上的一点.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)如图①,若点Q在直线AB的下方,求点Q到直线AB的距离的最大值;
(3)如图②,若点Q在y轴左侧,且点T(0,t)(t<2)是直线PO上一点,当以P,B,Q为顶点的三角形与△PAT相似时,求所有满足条件的t的值.
18.(2018•包头一模)如图,抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)的顶点是M,且经过点(-1,10),(4,5),过点P(0,n)作y轴的垂线l,直线l与抛物线有公共点A,B(点A,B不重合时,点A在点B左边),连接AM,直线y=
nx-n与x轴交于点C,与y轴的交点为D,与直线l交于点E.
(1)求该抛物线的解析式及其顶点M的坐标;
(2)当n=2时,求∠MAB的度数;
(3)∠求点C的坐标;n为何值时,PA=
PE;
(4)如果线段PE与抛物线有公共点,求n的取值范围.
19.(2018•金水区校级四模)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(
,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)在第四象限内的拋物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;
(3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,
①求点M的坐标;
②在
(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(2018•滨海新区二模)已知在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-4x+c(c是常数)经过点A(4,0).
(Ⅰ)求该抛物线的解析式及对称轴;
(Ⅱ)P为抛物线上的一个动点,过点P的直线y=x+m与该抛物线的对称轴交于点Q,与x轴交于点B.
①当点B在线段OA上且两个三角形的面积满足S△PAQ=3S△POQ时,求m的值;
②设动点P的横坐标为t,0<t<4,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求线段PD+DQ的最大值.
21.(2018•高新区模拟)如图①,已知抛物线
与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AD交BC于点D,交第一象限的抛物线于点E.
(1)求a的值;
(2)如图①,抛物线上两点C、E间的一动点F关于AD的对称点F'恰好落在线段BD上,求F点坐标;
(3)若动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:
抛物线上是否存在点Q,使得△PQN的面积是△APM面积的2倍,且线段NQ的长度最小?
如果存在,求出点Q的坐标:
如果不存在,说明理由.
22.(2018•天桥区三模)抛物线y=ax2+bx-5过A(2,3)、B(4,3)、C(6,-5)三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,抛物线上一点D在线段AC的上方,DE⊥AB,交AC于点E,若满足
,求点D的坐标;
(3)如图②,F为抛物线顶点,过A作直线l⊥AB,若点P在直线l上运动,点Q在x轴上动,是否存在这样的点P、Q,使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似?
若存在,求P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.
23.(2018•历下区三模)如图,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点(-1,0),与BC交于点C,连接AC、BC,已知∠ACB=90°.
(1)求点B的坐标及抛物线的解析式;
(2)点P是线段BC上的动点(点P不与B、C重合),连接并延长AP交抛物线于另一点Q,设点Q的横坐标为x.
①记△BCQ的面积为S,求S关于x的函数表达式并求出当S=4时x的值;
②记点P的运动过程中,
是否存在最大值?
若存在,求出
的最大值;若不存在,请说明理由.
24.(2018•济南二模)如图,已知点A(1,0),B(0,3),将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到Rt△COD,CD的延长线,交AB于点E,连接BC,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是线段BC上方抛物线上的一个动点,当∠PBC=75°时,求点P的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点F,在抛物线的对称轴上,是否存在一点Q,使得以点Q、O、F为顶点的三角形,与△BDE相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
25.(2018•济南一模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0,a、b、c为常数)与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点,A(-6,0),C(1,0),B(0,
).
(1)求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式;
(2)已知点M(m,0)是线段OA上的一个动点,过点M作x轴的垂线l,分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,当m为何值时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形?
(3)在
(2)问条件下,当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰二角形时,动点M相应位置记为点M′,将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间);
i:
探究:
线段OB上是否存在定点P(P不与O、B重合),无论ON如何旋转,
始终保持不变,若存在,试求出P点坐标:
若不存在,请说明理由;
ii:
试求出此旋转过程中,(NA+
NB)的最小值.
26.(2018•历城区一模)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(6,0)、B(8,8)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在
(2)的条件下,在坐标平面内有点P,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
27.(2017秋•商河县期末)如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,是否存在这样的点P,使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
28.(2017秋•历城区期末)如图,抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于点E.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=kx+3过点C,交y轴于D点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
29.(2017秋•长清区期末)如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点的坐标为M(1,-4).
(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=
S△MAB?
若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在y轴上是否存在一点Q,使得QM+QB的和最小,若存在,求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.
30.(2017秋•天桥区期末)如图,O是坐标原点,过点A(-1,0)的抛物线y=x2-bx-3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点C,其顶点为D点.
(1)求b的值以及点D的坐标;
(2)连接BC、BD、CD,在x轴上是否存在点P,使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)动点Q的坐标为(m,1).
①当△BCQ是以BC为直角边的直角三角形时,求m的值;
②连接OQ、CQ,求△CQO的外接圆半径的最小值,并求出此时点Q的坐标.
31.(2018•市中区二模)如图1,抛物线y=ax2+bx+
经过A(1,0),B(7,0)两点,交y轴于D点,以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点M,是S△ABM=
S△ABC?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,E是线段AC上的动点,F是线段BC上的动点,AF与BE相交于点P.
①若CE=BF,试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数,并说明理由;
②若AF=BE,当点E由A运动到C时,请直接写出点P经过的路径长.
32.(2018•槐荫区二模)如图,抛物线y=a(x+2)2+k与x轴交于A,0两点,将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线,它的顶点在x轴上,新抛物线上的D,E两点分别是A,O两点平移后的对应点.设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S.P(m,n)是新抛物线上一个动点,且满足2m2+2m-n-w=0.
(1)求新抛物线的解析式.
(2)当m=-2时,点F的坐标为(-2w,w-4),试判断直线DF与AE的位置关系,并说明理由.
(3)当w的值最小时,求△AEP的面积与S的数量关系.
33.(2017•葫芦岛)如图,抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点,已知点A(-2,0),点C(0,-8),点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;
(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点,点N是平面内一点,当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标.
34.(2016秋•历下区期末)如图,已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,-1),点C(0,-4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴与点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2)若将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包含△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)点P时直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
35.(2017•历城区一模)如图,在平面直角坐标系中,直线y=
x-
与抛物线
交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为m,点P的横坐标为x,当△PDE周长m最大时,求点P的坐标,并求出m的最大值;
②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG(逆时针方向作正方形APFG),随着点P的运动,正方形的大小,位置也随之改变,当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.
36.(2017•历下区一模)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A、点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,已知点A、点B的坐标分别为A(-1,0)、B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上找一点P,使△PBC的面积最大,求P点的坐标;
(3)如图2,连接BD、CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E,过抛物线上一点M作MN⊥CD,交直线CD于点N,求当∠CMN=∠BDE时点M的坐标.
37.(2016•济南)如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若
,求m的值;
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+
E′B的最小值.
38.(2016•天桥区二模)如图1,抛物线经过A(1,0),B(7,0),D(0,
)三点,以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线x轴上方是否存在点M,使
S△ABC?
若存在,请求出点M坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,E是线段AC上的动点,F是线段BC上的动点,AF与BE相交于点P.
①若CE=BF,试猜想AF与BE的数量关系,请说明
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