最新人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案docx.docx
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人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习(含答案)
24.1.1圆
知识点一圆的定义
圆的定义:
第一种:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆.固定的端点O叫作
圆心,线段OA叫作半径.第二种:
圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
比较圆的两种定义可知:
第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就
确定了圆.
知识点二圆的相关概念
(1)弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径.
(2)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.(3)等
圆:
等够重合的两个圆叫做等圆.
(4)等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧.
24.1.2垂直于弦的直径
知识点一圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.知
识点二垂径定理
(1)垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.如图所示,直径为CD,AB是弦,且CD⊥AB,
AM=BM
垂足为MAC=BC
AD=BD
C
M
AB
D
垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如
上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M,
CD⊥ABAM=BM
AC=BCAD=BD
注意:
因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立.
1/9
24.1.3弧、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系
(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相
等,所对的弦也相等.
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等.
(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等.
24.1.4圆周角
知识点一圆周角定理
(1)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
(2)圆周角定理的推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径.
(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系.“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否则就不成立了,
因为一条弦所对的圆周角有两类.
知识点二圆内接四边形及其性质
圆内接多边形:
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内
接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补.
24.2点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系
知识点一点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有:
点在圆外,点在圆上,点在圆内三种.
(2)用数量关系表示:
若设⊙O的半径是r,点P到圆的距离OP=d,则有:
点P在圆外d>r;点p在圆上d=r;点p在圆内d<r.
知识点二过已知点作圆
(1)经过一
个点的圆(如点A)
以点A外的任意一点(如点O)为圆心,以OA为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作无数个.
·O1
A·O2
·O3
2/9
(2)经过两点的圆(如点A、B)
以线段AB的垂直平分线上的任意一点(如点O)为圆心,以OA(或OB)为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作无数个.
A
B
(3)
经过三点的圆
①
经过在同一条直线上的三个点不能作圆
②
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆
且只能作一个圆.如经过不在同一条直线上的三
个点A、B、C作圆,作法:
连接AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点
O,以点O为圆
心,以OA(或OB、OC)的长为半径作圆即可,如图,这样的圆只能作一个.
③
A
O
B
C
知识点三
三角形的外接圆与外心(
1)经过三角形三个顶点可以作一个圆
这
个圆叫做三角形的外接圆.
(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点
叫做这个三角形的外心.知识点
四反证法
(1)
反证法:
假设命题的结论不成立
经过推理得出矛盾
由矛盾断定所作假设不正确
从而得到原命题成立,这种证明命题的方
法叫做反证法.
(2)
反证法的一般步骤:
①
假设命题的结论不成立;
②从假设出发,经过逻辑推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相矛盾的结论;
③由矛盾判定假设不正确,从而得出原命题正确.
24.2.2直线和圆的位置关系
知识点一
直线与圆的位置关系
(1)
直线与圆的位置关系有:
相交、相切、相离三种.
(2)
直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径是r,直线l
与圆心0的距离为d,则有:
直线l和⊙O相交d<r;
直线l和⊙O相切d=r;
直线l
和⊙O相离d>r.
知识点二
切线的判定和性质
(1)
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
.
(2)
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
(3)切线的其他性质:
切线与圆只有一个公共点;切线到圆心的距离等于半径;经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;必过切点
3/9
且垂直于切线的直线必经过圆心.
知识点三
切线长定理
(1)
切线长的定义:
经过园外一点作圆的切线
这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
(2)
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线
它们的切线长相等
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
(3)
注意:
切线和切线长是两个完全不同的概念
必须弄清楚切线是直线,是不能度量的;切线长是一条线段的长
这条线段的两
个端点一个是在圆外一点,另一个是切点.
知识点四
三角形的内切圆和内心
(1)
三角形的内切圆定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
.这个三角形叫做圆的外切三角形.
(2)
三角形的内心:
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
(3)注意:
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已知时,过三角形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角.
24.2.3圆和圆的位置关系
知识点一圆与圆的位置关系
(1)圆
与圆的位置关系有五种:
①如果两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种;
②如果两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种;
③如果两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交.
(2)圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示:
若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是r1r2,且r1<r2,则有
两圆外离d>r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交2-r1<d<r1+r2两圆内切d=r2-r1两圆内含d<r2-r1
24.3正多边形和圆
知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切,把圆分成n(n是大于2的自然数)等份,顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个
圆就是这个正多边形的外接圆.
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.正
多边形的半径:
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角:
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正
多边形的边心距:
中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
知识点二正多边形的性质
(1)正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形.
(2)所有的正多边形都是轴对称图形,每个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都经过正n边形的中心;当正n边形的边数为偶
数时,这个正n边形也是中心对称图形,正n边形的中心就是对称中心.
4/9
(3)
正n
边形的每一个内角等于(n
2)180,中心角和外角相等,等于
360.
n
n
24.4
弧长和扇形面积
nR
知识点一
弧长公式l=
180
n
nR
在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR,所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=
360×2πR=180
.
知识点二
扇形面积公式
nR2
在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积
S=πR2,所以圆心角为
n°的扇形的面积为S扇形=
360
.
比较扇形的弧长公式和面积公式发现:
nR2
nR
1
1
1
lR,
所以
s扇形
S扇形=360
180
2R
2
2lR
知识点三
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积是曲面,沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开
容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形
.设圆锥的母线长为
l,
底面圆的半径为
r,
1
那么这个扇形的半径为
l,扇形的弧长为2πr,
因此圆锥的侧面积
s圆锥侧22
rl
rl.圆锥的全面积为
s圆锥全
s圆锥侧
s底
rl
r2.
练习:
一.选择题(共10小题)
1.下列说法,正确的是(
)
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.半圆是弧
D.过圆心的线段是直径
2.如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=(
)
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
(2题图)(3题图)(4题图)(5题图)(8题图)
3.一个隧道的横截面如图所示,它的形状是以点O为圆心,5为半径的圆的一部分,M是⊙O中弦CD的中点,EM经过圆
心O交⊙O于点E.若CD=6,则隧道的高(ME的长)为()
A.4B.6C.8D.9
4.如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是()
5/9
A.51°
B.56°
C.68°
D.78°
5.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB
的度数为(
)
A.25°
B.50°
C.60°
D.30°
6.⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与圆O的位置关系为(
)
A.点A在圆上
B.
点A在圆内
C.点A在圆外
D.
无法确定
7.已知⊙O的直径是
10,圆心O到直线l的距离是5,则直线l和⊙O的位置关系是(
)
A.相离
B.相交
C.相切
D.外切
8.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距
OM和
的长分别为(
)
A.2,
B.2,π
C.,
D.2
9.如图,四边形ABCD
是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为
2,∠B=135°,则
的长(
)
A.2π
B.π
C.
D.
10.如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是(
)
A.12π
B.24π
C.6π
D.36π
二.填空题(共10小题)
11.如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为
.
(9题图)(10题图)(11题图)(12题图)
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数
为.
13.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为的中点.若∠A=40°,则∠B=度.
(13题图)(14题图)(15题图)(17题图)
14.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(﹣3,0),将⊙P沿x轴正方向平移,使⊙P
与y轴相切,则平移的距离为.
15.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,则∠BAO的度数为.
16.已知一条圆弧所在圆半径为9,弧长为π,则这条弧所对的圆心角是.
6/9
17.如图,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD的长为半径画弧,再以AB边的中点为圆心,AB长的一半
为半径画弧,则两弧之间的阴影部分面积是(结果保留π).
18.已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为5,则圆锥的全面积是.
19.如果圆柱的母线长为5cm,底面半径为2cm,那么这个圆柱的侧面积是.
20.半径为R的圆中,有一弦恰好等于半径,则弦所对的圆心角为.
三.解答题(共5小题)
21.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)请证明:
E是OB的中点;
(2)若AB=8,求CD的长.
22.已知:
如图,C,D是以AB为直径的⊙O上的两点,且OD∥BC.求证:
AD=DC.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:
DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
24.如图,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
25.一个几何体的三视图如图所示,根据图示的数据计算出该几何体的表面积.
7/9
新人教版九年级数学上册第二十四章圆单元试题参考答案
一.选择题(共10小题)
1.C
2.B3.D
4.A5.A6.B7.C8.D9.B10.B
二.填空题(共10小题)
11.
12.50°13.70
14.1或515.54°16.50°17.2π
2
18.24π19.20πcm20.60°
三.解答题(共5小题)
21.
(1)证明:
连接AC,如图∵直径AB垂直于弦CD于点E,∴,∴AC=AD,
∵过圆心O的线CF⊥AD,∴AF=DF,即CF是AD的中垂线,∴AC=CD,
∴AC=AD=CD.即:
△ACD是等边三角形,∴∠FCD=30°,
在Rt△COE中,,∴,∴点E为OB的中点;
(2)解:
在Rt△OCE中,AB=8,∴,
又∵BE=OE,∴OE=2,∴,∴.
(21题图)(22题图)(23题图)(24题图)
22.证明:
连结OC,如图,
∵OD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3,又∵OB=OC,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,∴AD=DC.
23.
(1)证明:
连接OD,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC,
∵DF是⊙O的切线,∴DF⊥OD,∴DF⊥AC.
(2)解:
连接OE,∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°,∴∠BAC=45°,
∵OA=OE,∴∠AOE=90°,∵⊙O的半径为4,∴S扇形
AOE
=4π,S
∴S
阴影=4π﹣8.
△AOE=8
24.解:
连接OC,∵AB与圆O相切,∴OC⊥AB,
∵OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,∠A=∠B=30°,
8/9
在Rt△AOC中,∠A=30°,OA=4,∴OC=
OA=2,∠AOC=60°,
∴∠AOB=120°,AC=
=2
即AB=2AC=4
则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4
×2﹣
=4﹣
.故阴影部分面积
4﹣.
25.解:
由三视图可知该几何体是圆锥
圆锥的高为12,圆锥的底面圆的半径为
5,
所以圆锥的母线长=
=13,
所以圆锥的表面积
2
π?
5?
13=90.π
=π?
5+?
2
9/9
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