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壳定理讲解学习
壳定理
牛頓的萬有引力定律:
,
這個定律只能適用於『質點』嗎?
如果m1、m2不是質點,而是有實際大小的物體(如長棒、圓球等等),那怎麼算呢?
我們先來計算由一個具有相當大小的物體對於在P點質量Mp的質點所造成的重力F。
將此物體分割成許多無限小的質量素dm,如圖,每一質量素dm所提供的重力:
現在要計算在P點的總重力,因此要把所有的dm積分,
,不同位置的dm,所對應的r是不一樣的,因此要積分需先將dm以長度(r)表示,這和求質心及轉動慣量的方法是一樣的。
我們現在來算在P點每單位質量所受的萬有引力,也就是計算這一大塊質量在P點產生的重力場
例題1
質量M長度L的薄長棒在P點(相距d,如圖)所造成的萬有引力場是多少?
解:
將dm以長度x(在這裡,我們將代表長度的r換成x)表示,令dm=λdx,λ是線密度(單位長度的質量,λ=M/L),每個質量素dm所提供的萬有引力場為:
因此總力場:
由上可知,將一個質量為Mp的質點放在P點處,質點所受到長棒的萬有引力為:
⊙想一想⊙
長棒的重心,不是應該在棒子的中心(即距離P點d+L/2的地方)嗎?
那為什麼算出來的萬有引力是
,而不是
呢?
☆類題1★(解答在此份講義的最後面)
設質量M、半徑R之半圓環的線密度為λ(單位:
kg/m),求圓心位置處之重力場強度。
長棒的重心不是在長棒的中心(質心),那圓球的重心是在球心位置嗎?
蘋果和地球之間的萬有引力,可以將地球的萬有引力視為質量集中在地心處嗎?
牛頓先生用微積分解決了這個問題。
牛頓先生提出一個『殼層定理』(shelltheorem),內容是說:
『由物質構成的均勻球殼對球殼外一質點的吸引力,可以視為球殼質量集中於球心時對該質點的吸引力。
』。
一層一層的球殼疊起來就是一個球,因此這個定理可以延伸為點質量定理(pointmasstheorem),也就是:
「質量均勻分佈的球對外部質點的吸引力,看起來像所有質量都集中在球心一樣」。
現在我們就來做下面的例題:
例題2
球殼半徑為R,面密度σ(單位:
kg/m2),試求出均勻球殼作用在一質點(質量m)上的力,以證明牛頓先生的『殼層定理』
解:
因球殼上各點的作用力方向大小均不一致,故上面所說的定理並非顯而易見。
事實上,它給牛頓帶來許多困擾。
我們先求一個質量M,半徑為a的環在P點產生的重力場。
環上的每一個質量素dm在P點產生的萬有引力是一個向量,分為x方向和y方向,而且每一個y座標為+y的質點所產生的重力場,均會有一對應之質量素,其y座標為-y,提供另一反方向的場將之抵銷。
由對稱性可知,圓環在P點位置產生的萬有引力並無y分量只有x分量。
我們現在來算圓環在P點處所產生的力場:
我們來找ψ、s、x這幾個變數之間的關係:
,其中s、x這二個變數和積分無關,可以提到積分符號外,
因此,
(方向:
x方向)
☆類題2★
上式中
,因此上式也可以寫成
請利用這個結果,將一個個圓環積分,證明質量M、半徑R的圓盤,在距離盤心x的地方所產生的重力場
。
(推導過程請參考Halliday,FundamentalsofPhysics,6th,§22-7)
(上面二個圖是從§22-7copy過來的,有一個小小錯誤,老師沒給它改過來,萬有引力是吸引力,所以圖上的力的方向畫反了。
你會自己改過來吧?
!
)
現在我們將這些環積分,積成一個球殼,
在這個積分式裡,dm=σ2πr(Rdθ)=σ2π(Rsinθ)(Rdθ),σ是球殼的面積密度,r會隨著θ改變,r=Rsinθ。
所以,
積分裡有三個變數,s、x、θ,它們彼此之間有關係,因此我們要先把它們的關係找到:
由餘弦定理:
s2=R2+D2-2RDcosθ,左右二邊微分得sds=RDsinθdθ,另外,
,將找到的這二個關係代入上面的積分式,得到
現在積分裡面只剩下一個變數s了,從D-R積到D+R,積分的值會等於
(這個積分,就留給你慢慢積喔!
)。
因此,
若P點處有一質量為m的質點,那麼半徑R質量M的球殼對此質點的萬有引力為
,D為球殼心到質點的距離,這就是牛頓先生所說的『殼層定理』
⊙想一想⊙
如果P點是在球殼的內部,那麼積分就要從R-D積到R+D,先猜猜看,積出來的萬有引力大小為多少?
答案是零,你猜對了嗎?
積積看,看答案是不是真的是零。
想一想,球殼在其內部一點所產生的重力場為零,這代表什麼物理意義呢?
習題1:
(Halliday,FundamentalsofPhysics,8th,Ch13,Problem24)
TwoconcentricshellsofuniformdensityhavingmassesM1andM2aresituatedasshowninthefigure.Findthemagnitudeofthenetgravitationalforceonaparticleofmassm,duetotheshells,whentheparticleislocatedat(a)pointA,atdistancer=afromthecenter,(b)pointBatr=b,and(c)pointCatr=c.Thedistancerismeasuredfromthecenteroftheshells.
(Answer.(a)F=G(M1+M2)m/a2(b)F=GM1m/b2(c)zero)
習題2:
(Halliday,FundamentalsofPhysics,8th,Ch13,Problem27)
Asolidsphereofuniformdensityhasamassof1.0×104kgandaradiusof1.0m.Whatisthemagnitudeofthegravitationalforceduetothesphereonaparticleofmassmlocatedatadistanceof(a)1.5mand(b)0.50mfromthecenterofthesphere?
(c)Writeageneralexpressionforthemagnitudeofthegravitationalforceontheparticleatadistancer1.0mfromthecenterofthesphere.
習題3:
(Halliday,FundamentalsofPhysics,8th,Ch13,Problem80)
AuniformsolidsphereofradiusRproducesagravitationalaccelerationofagonitssurface.Atwhattwodistancesfromthecenterofthesphereisthegravitationalaccelerationag/3?
(Hint:
Considerdistancesbothinsideandoutsidethesphere.)
(Answer.
and
)
萬有引力(或力場)是一個向量,在積分時必須考慮它的方向,以這一題為例,我們要先選擇適當的座標系,讓所要積分的東西有對稱性,讓y方向都抵銷掉,因此積分時只要積x方向。
記得U=-dF/dx嗎?
如果我們能利用『重力位能』(或重力位)來積分,因為它是純量,積分時可以不必考慮方向性,積完之後再微分加個負號,就可以得到力,我們來試試看!
例題3
球殼半徑為R,面密度σ(單位:
kg/m2),試求出均勻球殼和一質點(質量m)之間的重力位能,再微分求力,以證明牛頓先生的『殼層定理』
先計算質點m跟此質量素間的位能會顯得更簡單
把重力位能U除以P點質點的質量Mp,即U/Mp,就是單位質量的重力位能,這個物理量稱為重力位。
『重力位能』和『重力位』相當於電磁學裡的『電位』和『電力位能』;而『重力』和『重力場』就相對應於電磁學裡的『電力』和『電場』。
我們可以將球殼細分成寬度
的許多環,而每一質量素dm上的諸點與場點間的距離均相同。
質量素dm可以寫成
由餘弦定理
,微分得
將以上關係式代入得:
變數s的範圍由s=D-R到s=D+R,且面密度
,故總位能:
D是球殼中心和質點間的距離,
習慣上我們以r來表示:
即
因此萬有引力可以寫成:
球殼作用在質點Mp上距離(r=D時)的重力為:
如果要算質量均勻分佈的整個球體,可以看成是許多球殼的合成,故可適用相同的結論,這就是牛頓所稱的點質量定理。
⊙想一想⊙
變換s的積分區間為由R-D到R+D,可以證明球殼內部之位能為常數。
球殼內部任一點的位能為常數是什麼意思呢?
能不能由此求得球殼在其內部一點所產生的重力場是多少呢?
例題4
證明密度為ρ(單位:
kg/m3),半徑為R的均勻實心球體,其重力場隨距離的關係如下圖。
解:
若P點在球內,(r 小於r的球體質量為 ,因此重力場 由此可知,實心球體在其內部一點所產生的重力場的強度是線性的,重力場g是r的函數,其大小隨著與球心間的距離增加而增加 別忘了,重力場是一個向量,在這一題中,方向指向球心,因此, 若有一質量Mp的質點在球內部距離球心r的地方,此質點所受到這個實心球(半徑R質量M)產生的重力為 ,k是一個常數,k=GMpM/R3。 ⊙想一想⊙ F為什麼要寫成負的呢? 看到F=-kr這個式子,你想到什麼定律呢? 若P點在球外,(r>R),則可將整個球體視為是許多球殼的合成,也就是牛頓所稱的點質量定理。 考慮重力是一個向量,方向指向球心,若有一質量Mp的質點在球外距離球心r的地方,此質點所受到這個實心球(半徑R質量M)產生的重力為 例題5(Halliday,FundamentalsofPhysics,6th,SampleProblem14-4) 設地球為均勻的圓球體,半徑R質量M,若有一通道貫穿地球的南北極,則質量Mp的質點在這個通道上,距地心r的地方(r 這個質點在這個通道上會做什麼運動? 解: 根據上面的推論,質點所受的力為 負號表示重力F的方向與位移r的方向相反,這正是虎克定律, 因此,此質點在這個通道上做簡諧運動。 事實上,地球內部的重力場強度比地表還要大的。 原因在於地球並非是均勻球體,每一殼層的密度並不相同,越靠近地心,密度越稠密。 地球內部場的變化情形見圖b。 此外,地球不是正球形,且地球會自轉都會影響實際的g值。 類題1 設質量M、半徑R之半圓環的線密度為λ(單位: kg/m),求圓心位置處之重力場強度。 解: 每一個質量素dm在圓心位置產生的萬有引力是一個向量,分為x方向和y方向,而且每一個x座標為+x的質量素所產生的重力場,均會有一對應之質量素,其x座標為-x,提供另一反方向的場將之抵銷。 由對稱性可知,半圓環在圓心位置產生的萬有引力並無x分量只有y分量。 我們現在來算半圓環在圓心處所產生的力場: 質量素dm=λds=λRdθ,λ=πR/M。 總力場強度: 由上可知,將一個質量為Mp的質點放在圓心處,著質點所受到半圓環棒的萬有引力為: ⊙想一想⊙ 如果是一整個圓環,而不是半圓環。 圓心處的力場為多少? 如果是1/3個圓環,而不是半圓環。 圓心處的力場為多少?
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