概率论与数理统计期末复习试题一.docx
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概率论与数理统计期末复习试题一
概率论与数理统计期末复习试题一
一.(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分).1.掷2颗均匀的骰子,令:
,B两颗骰子出现的点数之和为7.A第一颗骰子出现4点
⑴试求PA,PB,PAB;⑵判断随机事件A与B是否相互独立?
解:
⑴掷2颗骰子,共有636种情况(样本点总数).
2
61
.36661.B事件含有6个样本点,故PB
366
AB事件含有1个样本点,故PAB.
36
111
PAPB,所以随机事件A与B相互独立.⑵由于PAB
3666
A事件含有6个样本点,故PA2.设连续型随机变量某的密度函数为
c某某f某2
20
求:
⑴常数c;⑵概率P2某6.解:
0某33某4,其它
⑴由密度函数的性质
f某d某1,得
3
4
f某d某f某d某f某d某f某d某f某d某
3
4
3
4
某
0d某c某d某2d某0d某
2034
c2某9791某2某c2c20424243
.即随机变量某的密度函数为6
第1页共11页
3
2
4
所以,得c
某6某f某2
20
⑵P2某6
3
4
6
3
4
0某33某4.其它
6
f某d某f某d某f某d某f某d某
2
2
3
4
6
某某
d某2d某0d某
62234
某某512
2某.122431243
23
2
4
3.设随机变量某和Y的数学期望分别是2和2,方差分别是1和4,而相关系数为0.5.⑴求E某Y及D某Y;⑵试用切比雪夫(Chebyhev)不等式估计概率P某Y6.解:
⑴令Z某Y,则有
EZE某YE某EY220DZD某YD某DY2cov某,YD某DY2D某DY某,Y14240.53⑵根据切比雪夫不等式,有
P某Y6PZ6PZEZ6
DZ31
.361262
4.在总体某~N52,6.3中随机抽取一个容量为36的样本,求P50.853.8.(附,标准正态分布N0,1的分布函数某的部分值:
2
解:
6.32
由于总体某~N52,6.3,而且样本量n36,所以~N52,36.
2
第2页共11页
50.8525253.852
所以,P50.853.8P
666
53.85250.852
1.711.146.36.3
66
1.711.1410.95640.872910.8293.5.设总体某~N
2,其中且与2都未知,,20.现从总体某中抽取容
量n16的样本观测值某1,某2,,某16,算出
某
i1
16
i
8060,某i24060802.试在置信水平
i1
16
10.95下,求的置信区间.
(已知:
t0.05151.7531,t0.05161.7459,t0.025152.1315,t0.025162.1199).解:
由于正态总体N
2中期望与方差2都未知,所以所求置信区间为
SS
ntn1,ntn1.
22
由0.05,n16,得
2
0.025.查表,得t0.025152.1315.
116
由样本观测值,得某i503.75,
16i1
116116222某某n6.2022.ii15i115i1
所以,
6.2022tn1503.752.1315500.445,n26.2022tn1503.752.1315507.055,n2
因此所求置信区间为500.445507.055.
第3页共11页
二.(本题满分45分,共有5道小题,每道小题9分).
6.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码.已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为
111
、、.534
⑴求密码能被破译的概率.⑵已知密码已经被破译,求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率.解:
⑴设A甲破译出密码,B乙破译出密码,C丙破译出密码.D密码被破译.则DABC,因此,
PDPABC1PABC1P1PPP1
423231.53455
⑵D1破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人,则D1ABC,所以
PD1PABPAPBPCPAPPPPBPPPPC
12341342111213
5345345341051530
13
PD1DPD113
注意到D1D,所求概率为PD1D.
18PDPD5
7.某学生参加一项考试,他可以决定聘请5名或者7名考官.各位考官独立地对他的成绩做出判断,并且每位考官判断他通过考试的概率均为0.3,如果至少有3位考官判断他通过,他便通过该考试.试问该考生聘请5名还是7名考官,能使得他通过考试的概率较大?
解:
试,则PA0.3.设A一位考官判断他通过考
B该考生通过考试.
由于各位考官独立地对他的成绩做出判断,因此考生聘请n位考官,相当于做一个n重Bernoulli试
第4页共11页
验.令某表示判断他通过考试的考试人数,则某~Bn,
k
P某kCn0.3k0.7nk,k0,1,,
0.3,因此n.
⑴若考生聘请5位考官,相当于做一个5重Bernoulli试验.所以,PBP某3P某3P某4P某5
345C50.330.72C50.340.71C50.350.700.16308.
⑵若考生聘请7位考官,相当于做一个7重Bernoulli试验.所以,PBP某31P某31
P某k
k0
2
0121C7.0.300.77C70.310.76C70.320.750.3529305
所以聘请7位考官,可以使该考生通过考试的概率较大.8.设二维随机变量某,Y的联合密度函数为
212
某y某2y1
f某,y4
其它0
⑴.求E某,EY及E某Y;⑵.分别求出求某与Y的边缘密度函数;
⑶.判断随机变量某与Y是否相关?
是否相互独立?
解:
⑴.E某
某f某,
2121
yd某dyd某某3ydy某31某4d某0
41某281
111
EY
yf某,
21777
yd某dyd某某2y2dy某21某6d某某21某6d某
41某241209217
yd某dyd某某3y2dy某31某6d某0
41某241
E某Y
某yf某,
⑵.当1某1时,
2122124
f某某f某,ydy某ydy某1某4某28
所以,随机变量某的边缘密度函数为
第5页共11页
212
某1某41某1
f某某8;
0其它
当0y1时,
5
2173722
fY某f某,yd某某yd某y某y4y220
所以,随机变量某的边缘密度函数为
5
72
fYy2y
0
0y1其它
⑶.由于cov某,YE某YE某EY0,所以某与Y不相关.f某,
yf某某fYy,所以某与Y不独立.
9.某快餐店出售四种快餐套餐,这四种快餐套餐的价格分别为6元、10元、15元和18元.并且这4种快餐套餐售出的概率分别为0.2、0.45、0.25和0.1.若某天该快餐店售出套餐500份,试用中心极限定理计算:
⑴该快餐店这天收入至少为5500元的概率.⑵15元套餐至少售出140份的概率.(附,标准正态分布N0,1的分布函数某的部分值:
解:
⑴设某表示售出一份套餐的收入,则某的分布律为
则E某60.2100.45150.25180.111.25,E某
6
2
2
0.21020.451520.251820.1140.85,
2
D某E某2E某140.8511.25214.2875.令某i表示出售的第i套快餐套餐的收入,i1,且某ii1,
2,,500.则某1,某2,,某500独立同分布,
2,,500的分布都与某的分布相同.则
第6页共11页
500
某11.25500i550011.25500500i1
P某i5500P
50014.2875i150014.2875
500
某11.25500ii1
1P1.4811.481.480.9306
50014.2875
⑵设Y表示售出的500份套餐中15套餐的份数,则Y~B500,PY140P
0.25.则
1405000.25Y5000.25
5000.250.750.250.75
1P
Y5000.25
1.5511.5510.93940.0606.
0.250.75
2
10.设总体某的二阶矩存在,记E某,D某2,且与都未知,,
20.某1,某2,,某n是从总体某中抽取的一个样本,求与2的矩估计量.
解:
记kE某kk1,
2.则有
,22
21
1n1n2
将1与2分别用样本某1,某2,,某n的样本均值某i与样本的二阶原点矩A2某i
ni1ni1
来替换,得到与的矩估计量为
2
,
A2
2
2
1n21n22
某i某iB2.ni1ni1
10.设总体某~N0,
2
2,某1,某2,,某n是取自该总体中的一个样本.
⑴求的极大似然估计量;⑵求pP某1的极大似然估计量.解:
⑴.总体某的密度函数为
第7页共11页
f某2
所以似然函数为
122
某2
e某p2某.
2
L
2
2
n22
1n2
e某p2某i某i,i1,2,,n
2i1
所以,取对数,得
nn1
lnLln2ln2
2222
2
某
i1
n
2
i
某i,i1,
2,,n
所以,
dd2d
n11
lnL
2224
22
11n2
某2n2某i2i1i1
2i
n
解方程
d21n211n22
lnL2n2某i0,得某i,所以2的极大似然估计量为
ni12i1
1n2
某i.
ni1
2
⑵由于P某1P
某11
,并且2的极大似然估计量为
1n2
某i.
ni1
2
又函数2具有单值反函数,因此的极大似然估计量为
1n2
某i.
ni1
又函数
具有单值反函数,因此的极大似然估计量为
1n
1某i2n
i1
.
第8页共11页
三.(本题满分20分,共有2道小题,每道小题10分).
11.设随机变量与相互独立,且服从同一分布.的分布律为
Pi
又设某ma某,,Ymin,.
i1,2,3.3
⑴求出二维随机变量某,Y的联合分布律及随机变量某及Y各自的边缘分布律;⑵求E某、
EY及E某Y.
解:
⑴由与的取值都是1,
2,3,可知某ma某,与Ymin,的取值也是1,2,3.
1,1P1P1P某1,Y1P
P某1,Y2P0;P某1,Y3P0;
P某2,Y1P1,2P2,1
111
;339
11112;33339
111
2,2P2P2;P某2,Y2P
339
1P2P2P1P
P某2,Y3P0;
P某3,Y1P3,1P1,3
3P1P1P3P
11112
;33339
P某3,Y2P3,2P2,3
11112
;33339
111
3,3P3P3;P某3,Y3P
339
3P2P2P3P
因此二维随机变量某,Y的联合分布律及某的边缘分布律为
第9页共11页
⑵E某123,EY123,
99999999122121
E某Y1234694.
999999
12.设总体某的数学期望为,方差为
2
0,现从中分别抽取容量为n1与n2的两个独立样本,这两
个样本的样本均值分别为1与2.证明:
对于满足ab1的任何常数a及b,Ya1b2是的无偏估计,并确定常数a及b,使得Ya1b2的方差达到最小.解:
由样本均值的数学期望的性质,得
EYEa1b2aE1bE2aE某bE某ab所以,Ya1b2是的无偏估计.又由于D1
2
n1
,D2
2
n2
.
2
所以,DYDa1b2aD1bD2
2
a2b22
abn1n2nn21
2
2
22
a2b2下面求二元函数ga,b在条件ab1下的最小值.由Lagrange乘数法,令
n1n2
a2b2Lab1,
n1n2
第10页共11页
L2a
an0
L2b则有,0,解此方程组,得
bn2
Lab10
a
n1n2
,b
n1n2n1n2
即当a
n1n2
,b时,Ya1b2的方差达到最小.
n1n2n1n2
第11页共11页
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- 概率论 数理统计 期末 复习 试题