电动力学期终总复习及试题汇编.docx
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电动力学期终总复习及试题汇编.docx
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电动力学期终总复习及试题汇编
《电动力学》试题(A)
1.单选题(每题3分,共24分)
1.洛伦兹变换是同一事件在两个惯性系中的时空坐标变换;
2.介质内极化电荷体密度决定于极化强度P的散度;
4.带电粒子辐射电磁波的必要条件是粒子具有加速度;
cAm、一
7•若Aj是四维矢量,则是四维标量;
8•在不同介质分界面处,磁场边值关系:
磁感应强度的法向分量是连续的;
2.填空题(每小题4分,共24分)
1•电磁波入射到导体表面时,透入深度随频率增大而减小.
2•用电导率6、介电常数£和电磁波的频率3来区分物质的导电性能,当满足—条件时是
良导体•
3•当振荡电偶极子的频率变为原来的2倍时,辐射功率将变成原来的__16倍•
4•对不同的惯性系,电荷是守恒量,由此可得出结论,当电荷作高速运动时,其体积—缩小电荷密度变大
5.真空中平面z=0为带电平面,电荷密度为6,则在z=0处电势应满足边值关系\=2和
6•不同频率的电磁波在同一介质中具有不同的传播速度,就表现为色散现象•
3.(13分)利用真空中的麦克斯韦方程组和电磁势的定义推导电磁势A满足的达朗贝尔方程
2
、2A_丄A
A2.2
c:
t
解:
把电磁势的定义:
B=打A和E代入真空中的场方程(
4分)
B=%J-
Gt
得:
:
A
U•:
A』oJ-%;。
―)(2分)
注意到:
'a)-*2A及一c2将上式整理后得:
%%
l2A二A」Ca(4分)
c:
tc
利用洛伦兹条件:
'、A
.:
t
=0,得:
2
La—2A=7°J
c:
t
(3分)
四.(20分)设有平面电磁波:
e=100ei(^:
102z^:
106t)exv/m,求:
1.圆频率、波长、介质中的波速、电矢量的偏振方向和波的传播方向;
2.若该介质的磁导率」=4二10二HM-1,问它的介电常数;是多少?
解:
1)圆频率』:
=2二106Hz
(1分)
波长,=222=100(M)
k2江乂10
介质中的波速v=-
k
2二106
Z2
2二10
=108(M/S)
(2分)
(2分)
(1分)
电矢量的偏振方向为x方向(1分),波传播方向是z轴正向.(1分)
2)由得
(3分)
1
4二10J(108)2
4二
-11
(F/M)〜7.96X10F/M
(2分)
五.(13分)真空中有一个半径为R0的带电球面,面电荷密度为二=二0cos=(其中(T0为常数),试用分离变量法求空
间的电势分布.
解:
设球内外空间的电势分别为$1和$2在球内外均有p=0,故$1和$2都满足拉氏方程.
(2分)
显然本问题是轴对称的,以球心为坐标原点,以B=0的方向为z轴,建立球坐标系.
(1分)
考虑到边界条件:
Rt0时,$1有限
RT8时,$2t0(2分)
可令尝试解为:
%=a0+a1RR(cosT);
2="^P'cosr
RR(2分)
由边值关系
当R=R0时,$1=$2;
.厂2.J_
I0■■00COS二
(2分)
cRtR
a0十^RoR(cos9)-bl2R(cos日)
RoRo;
bo
Ro2
-2
b
Ro3
R(cosR-ajRgosR二
二o
—R(cos日)
(2分)
比较方程两边Pn(cosB)多项式的系数,可得:
二o
o3
dRo
3;o
3気
a°二bo=0
(2分)
于是:
co
〔一Rcosv:
2
3;。
二oRo3
2~
3;oR2
cost
从解题过程中可看出,o1与$2满足本问题的所有边界条件及边值关系,是本问题唯一正确的解.
(2分)
《电动力学》试题(B)
3•辐射功率P与距离无关,能量可以电磁波的形式传播到远处
4•在相对论中空间距离是不变的;
5•在介质分界面上电磁场发生突变:
电场强度E的法向分量突变是由总电荷面密度b引起的;
A.6.电磁场能量传播的方向既垂直于电场又垂直于磁场的方向;
7•电磁波能在矩形波导内传播的条件是’:
;2a
A.8•通过洛伦兹变换不能改变无因果关系的两事件的先后次序;
三•填空题(每小题4分,共24分)
1•麦克斯韦方程组的微分形式在____两种介质的分界面处―不适用•
2•在导体中的电磁波是衰减的,导体的电导率愈—大___,衰减得愈快•
3•当振荡电偶极子的振幅变为原来的2倍时,辐射功率将变成原来的__4___倍•
4.当满足条件v< __;2——-—1- 5•边界条件n'(D2-Di),可用电势0表示为命cn 6•光子的静止质量为零,光子的能量和动量之间的关系是E=cP. 三(13分)证明: 当电势作下列规范变换 A—A'=Ai 时,电磁场保持不变 解: 1) ■: t 7: A'=I(AI)-'A亠\ (2分) '、A=B (3分) '、A^B (3分) : A 2)! ■'(')「(A? ? ! ) ct&& (2分) 1. 2. 解: (3分) (13分)真空中的平面电磁波 H_2-5ei(2-z-^r: 108t) 频率、波长、波速和波的传播方向; 相应的磁场E; 1)由H的表达式知: (exey) A/m,求: (Hz) (2分) k=2(m-1). (m) (2分) (1分) 波传播方向为Z轴负方向。 (1分) 2) (2分) (1分) (2分) /5「f08t)()二I;0 (2分) 五.(13分)在无限大导体平面外距导体为用力• 解: 建立如图所示的直角坐标系。 (V/m) b处置一个点电荷Q,试用电像法求空间的电势分布和点电荷Q所受的作 因为导体无限大,下半空间(导体中) 在上半空间的电势可用电象法解出,即用电荷代替导体表面感应电荷的作用。 可写 ,0 。 (2分) 一个放在(0,0,-b),大小为-q的点出电势的尝试解为 4二;o (6分) 显然,上述电势满足所有的边界条件: 当Rt0时,申t0,其中R=^x+y+z; (2分) 根据静电问题的唯一性定理,它是本问题唯一正确的解。 点电荷q所受的力: qq' 4「o(2b)2 2 q 2 16二;ob (3分) 《电动力学》期终考试试题( 1、关于静电场的边界条件: Et连续,但Dn不连续 3、狭义相对论中的相对性原理是指任何物理规律在一切惯性系中相同. 5、当电磁场随时v间变化时•电力线一定是闭合曲线;电场仍是保守力场;电场强度的环流与所围区域内 磁通量的变化率有关;电场旋度取决于磁场的强度 6•设有一静电荷Q和一运动电荷q,Q与q之间的相互作用力不满足牛顿第三定律; 7、矩形波导中不可能传播TEM型波;8下列关于平面电磁波: 电磁场能量密度的幅值为 •填空题(每小题4分,共24分) 1•磁场总是无源场,即汉B=0,它表示磁力线__总是闭合的2•在均匀介质充满的空间中,某点的电荷体密度等于该点自由电荷密度的 3.设在导体中的平面单色电磁波为E=E°e)其中k-i-,则该平面电磁波的相速度为 4•对于振动偶极子来说,沿___垂直于振动__方向辐射最强,沿—平行于振动—方向没有辐射. 6•为了求电场强度E,通常可以先求出电势,然后再利用E和的关系_E,求出E. 三证明题(13分)电偶极子辐射的磁场 %⑷4|p0『sin29 25、 16二cR -^|peikRsin9- B3e 4兀c貝 cos(kRfy: t)er 为,试证明辐射场的能流密度矢量为 解: 电偶极子辐射的电场为 (2分) ikR 注意到 二J0 4二c2R p=-a2p0e %-2 p0sin日 p|eikRsinr e 4二;c2R ,且用实数表示电磁场: cos(kR-t)e p0sinv cos(kR—cot)e日 4二c2R 能流密度矢量: (2分) (2分) (2分) (2分) |Po『sin2日 252 16二cR 2 cos(kR—e (1分) |po『Sin29 二2c5R2 2」 cos(kR7: t)er (2分) 四•频率为15X109Hz的电磁波在 2cmx2cm方形波导管中传播 ,求: 波传播矢量k; 波导中的波长;波的相速度. 解: 1)求波矢量 kx a 210 ji 三=50;'-157 (m); (2分) ky -0 kz=&)2_kx2_ky2 =dK: 10)2-(50巧2=86.6兀^2719 (m-1) 3108 (2分) (2分) (1分) 2)波长: 2二 kz (2分) 86.6■ -0.023 (m) (1分) © v= 3)波的相速度: kz(2分) 9 2二15108 3.4510 866(m/s)(1分) 五(13分)介电常数为s的均匀介质中有电场Eo,今在介质中挖一个球形空腔,试求空腔内的电场强度,并说明这电场 有什么特点•解: 取球心o为坐标原点,选极轴沿外场Eo方向,建立球坐标系•显然,本问题是轴对称的 因为球内外均无自由电荷分布,电势均满足拉普拉斯方程 (2分) \破=0 m(p 设球内外的电势分别为1和2考虑到边界条件 Rth时®2T-EoRcosO 可取尝试解为: 1=a0a1RP1(co^^); 2二-E0Rcos)-bo-^P'cosv) RR2 边值关系为: 1打12: 、: 、--0-- 当R=R0时,屮2-匕,cRcR (2分) (2分) (2分) a0眼*眄「訴心耒R2p1(c爲 pafCosr)=-;E0R(cosd)- 雲--b13P1(co^) R0 R0 利用“(cose的正交性定系数解得 a。 =0,b°=0 (2分) E0Rcos- 空腔内的电势: 空腔内的电场: -3p- E—1E0 ';0,显然是均强电场。 (3分) 《电动力学》期终考试试题(D) 二•填空题(每小题 1.____微分 2.良导体的条件 >4分,共20分) —形式的麦克斯韦方程组在两介质的分界面处不再适用 a为,其物理意义为通过导体的传导电流比位移电流大得多 ——1 0Z 3.电荷和 变化的磁场 都可以够激发电场. 4.电磁场的势,A有规范变换的自由,作变换A'二 cl 则,A与 E,B描述同一电磁场. 5.四维坐标的变换关系是 6.用电象法解题时,象电荷的位置一定要放在求解电场的区域之 三.(15分)从真空中的场方程及电磁势的定义出发,推导洛伦兹规范下标势所满足的方程 解: 将电磁势的定义: 外—,否则就改变了原来的电荷分布. 21: 2’\2: ccl (2分) 代入真空中的场方程 (3分) (3分) 用洛伦兹条件: c: 1 (4分) 四.(20分)两个相等的点电荷q相距为2d,在它们中间放置一个半径为R0的更多精品文档 它们分别位于 (2分) 学习-----好资料 接地导体球(如图),求空间的电势分布及一个点荷所受的力。 解: 以球心0为坐标原点,选x轴通过点电荷q,建立坐标系。 本题可用电象法解,球面上的感应电荷可用两个象电荷 q'1和q”2代替; R0 (2分) q—亍 球外空间的电势为: J 4二;o(x_d)2y2z2 (xd)2y2z2 Ro di(x_a)2y2z2 Ro d(xa)2y2z2 (5分) 点电荷q所受的力 2! 厂_qqqiqq2 F_222 4庇o(2d)4昭o(d—a)4昭o(d+a) qqi 2 q_[Rod] 石亍荷_(d2_R。 2)2「(d2Ro2)」 力的方向,从球心指向点电荷。 五•设真空中平面电磁波为: H-HoJJtqeyez)卡 ,求: 1)电场强度; 2)能流密度矢量S(t). (3分) (1分) 解: 1) '、B (3分) E)「。 ;o -17 T>>10s ,就可以认为 .(13分)已知: A二Aei(k7)': 」: ’: 」e'(k^: t) .求电磁场E和B,并说明它属什么波型 解: B八沐A 八2“」) 八e'(k7A =ikA^Wk人^“一宀 i(kr-t) =Be2 (2分) (2分) (2分) (3分) (3分) 《电动力学》期终考试试题(E) .填空题(每小题4分,共20分) 1.某一区域内的电场分布总是由该区域内的—电荷分布—及—边界条件—共同确定• 2.对于各向同性的非铁磁性介质,D与E,B与H的关系分别是_D=eE__和B=AH. 3.定态电磁波必须满足亥姆霍兹方程,除此之外,电场和磁场还必须分别满足可,E=0和 H=0 4.对振动电偶极子来说,平均辐射功率P与振动频率的_4_次方成正比,与偶极子振幅的_2_次方成正比. 5.对不同惯性系,电荷是一个恒量.由此可见,当带电体高速运动时,体积变—小_,电荷密度变—大_. --七7 6.导体中的电荷密度「二"‘.对于金属导体/: 10川,;T0」0F/M,只要电磁波的周期 (2分) E—』 ct 「詐'(—]-A0ei(k^l) : t -_「\.ei(kr7_a'ei(krT ft =-ik;: 0ei(k^t)「Aei(kr7=(% _ i(krp') °k)e2 =E°e (2分) 由上面的计算可见,电场和磁场都是平面电磁波。 (1分) 四.(13分)频率为3X1010HZ的微波在O.7cmx0.6cm的矩形波导管中能以什么波型传播 、: : cmn 解: 由波导管的截止频率 (5分) 已知.a=0.7cm=7.010"m,b=0.6cm=6.010^m 可算出: '■c10 2a 8 310 27.010" 9 -21.410 (Hz) (2分) 、'c01 2b 3108 26.010: =25109 (Hz) (2分) -1二c、a2b2 2ab 8 3X0 27.010”6.010” ...(7.010冷2(6.010冷2 9 =3310 (Hz) (2分) 10 已知电磁波的频率为「=3.010Hz,显然: '--c10宀飞01「八c11 故此在这波导管中只能以TE10波及TE01波两面种波型传播.(2分) 五(13分)在接地的导体平面上有一个半径为a的半球形凸部(半球的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴 上,并与平面相距为b(b>a),试用电象法求空间的电势及点电荷Q所受的力• 解: 以球心为坐标原点,对称轴为z轴,建立坐标系. 本题可用电象法解•用三个象电荷Q1'、Q2'和Q3'弋替导体表面的感应电荷。 Q‘1=,位置为: (0,0,al'b); b Q'2aQ,位置为: (0,0,-a2.b); b Q‘3二-Q,位置为: (o,o,b); 上半空间的电势为: a— 『2bx2y2(za b)2x2y2(zb)2] —[1 4瞒oJx2+y2+(z_b)2 a b,x2y2(z—『b)2 1 显然,在边界(即导体表面及 R「二处)上有'=0,满足所有的边界条件,根据静电唯一性定理,上述电 (4分) 势「是本问题唯一正确的解。 点电荷Q受的力: b(b- b(b a2 (2b) ]e (4分)
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