n维向量与向量空间习题解docx.docx
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第三章n维向量与向量空间
1.已知况=(3厂1,5)0=(321),求2d—卩
了3、
厂3、
<3、
解:
2d-卩=2
-1
—
2
=
-4
<5>
丄
0
2.把向量卩表示成向量组a1,a2,ava4线性组合:
(1)卩‘=(1,2丄i)g=(1」丄i)a=(i丄—1厂1)“=(i厂1丄—1)皿=(i—);
解:
设卩=/ai+Z:
2a2+X^a3+Z:
4a4,先将这组关系写成线性方程组:
£]+&—&—比4=2
*1_“2+*3_*4=1
利用矩阵的初等变换解方程组
(\
1
1
1
fl
1
1
1
n
1
1
-1-1
2
Li(123)、
0
0
-2
-2
1
1
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1
/
0
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-2
-2
oj
1.
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1
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0
0
1
1
27
1000
解得:
=1,k2=*,比3=0,山=一*
所以
⑵卩'=(oaai)q=(1,1丄i)a=(1丄一=(i,—i丄一i)e;=(—i)解:
设卩=々爲+心佝+怎码+心暫,那么先将这组关系写成线性方程组,再利用矩阵的初
等变换解方程组
解得:
k\=_,kr=,比3=,&=—'所以
2_2、22
111
B=—(X]Ct?
(I-
2222
3.己知ana2,a3线性无关,证明+a2,a2+a3,a3+at也线性无关。
解:
假设a1+a2,a2+a3,a3+ai线性相关,则存在一组不全为零的数&也代,使得
/(di+a2)+^2(a2+a3)+Z^(a3+aj=0
g+&)(X[+伙]+^2)a2+伙2+^3)«3=0
k、+&=0
由于a19a2,a3线性无关,“
&+匕=0=>&=0,&=0,比3=0;k2+ky—0
与“&土2代不全为零”的矛盾,所以假设不真.
4.设/]』2,tr.r ana2,,曾是线性无关的。 解: 设人為+如、++krdr=0,贝】J 何(X|+级2++k®r + +kjr=0 注意这个方程组的前厂个方程 +kr=0 +vr1=° +krtr=0 仏厂+s『+ 只有零解,因为其系数行列式为范德蒙行列式: 1 1l2 r-1.r-1 1h 这说明: 向量组ana2,,%的秩是/? («! ,a2,,ar)=r,所以,a19a2,,%是线性无关 的。 5.已知g=(1,2,3),a;=(3,-1,2),a;=(2,3,c),问: (1)c为何值时,ana2,a3线 性无关? (2)c为何值时,apa2,a3线性相关? k、+3kr+2kg=0解: 设+k2a2+fc3a3=0*2何_他+3&=0 3k\+2k2+ck3=0 此方程组的系数矩阵的行列式为 1 3 2 1 3 2 a,,a2,a3|= 2 -1 3 込2斤,$3斤 0 -7 -1 3 2 c 0 -7 c-6 1 3 2 4 -r2 0 -7 -1 0 0 c-5 (1)当CH5时,行列式国工(),按照线性齐次方程组的Cramer法则,方程组有唯一的零解: «=比2=&=0,说明a],a2,a3线性无关。 (2)当c=5时,行列式|A|=0,按照线性齐次方稈组的Cramer法则,方程组有非零解。 说明(X|,旳,5线性相关。 6.求下列向量组的极大无关组: (1)«;=(6,4,1,—1,2),a;=(1,0,2,3,-4),g=(1,4,—9,—16,22),厲=(7,1,0-1,3); 解: 注意: 矩阵的秩等于其列向量组的秩。 找出极大无关组也就是要寻求这个向量组的秩。 利用初等变换法 故极大线性无关组为: a19a2,a4或伽卫3,5 (2)g=(1,—124)屈=(0,3丄2)皿=(3Q7,14)q;=(h—120)越=(2丄5,6); '1 0 3 1 2、 1 0 3 1 2 解: (叫,(/2少3,5,。 5)= -1 3 0 -1 1 △合、 0 3 3 0 3 2 1 7 2 5 心+4斤 0 1 1 0 1 2 14 0 6> <0 2 2 -4 -2 1 (1 0 3 1 2) 乔 L2> 0 1 1 0 1 □-2耳 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -4. 故极大无关组为: a19a2,a4或%卫2少5或4或ana3,a5 (3)a;=(l,l,3,l),a;=(—1,1,—l,3),a;=(5,—2,&—9),4=(—1,3,1,7); <1 -1 5-r <1 -1 5 -n 1 1 -23 々一/j 0 2 -7 4 解: (al,a2,ava4)= 、1zLzJ"气厂 3 -1 81 ar 0 2 -7 4 <1 3 -97, <0 4 -14 Q-1 5 -1、 02 ■ -7 4 ry~r2y 口-2耳 00 0 0 J)0 0 0丿 故极大无关组为: ana2或叫,^或«! ,«4 「11143、 [11143、 1-13-21 0-22-6-2 解: (叫』2,5,5,5)= 21355 2斤a-3斤 0-11-3-1 31567丿 (0-22-6-2丿 ⑷a;=(1,1,2,3),a;=(1,-1,1,1),a;=(1,3,3,5),a;=(4,-2,5,6),a;=(3,1,5,7)。 故极大无关组为: ana2或cq,a3或或叫,% 7.设a|9a2,,(x〃是一组农维向量,已知单位向量e,,e2,,e”可以被它线性表出,证 a”线性无关。 不妨设 勺=^ii«|+^i2a2+巴2=^2iai+^22tt2+ 所以 %) ISk2n %与e】0,9ezz等价。 等价的向 e19e2,&可以被apa2,,5线性表出,故ana2,量组具有相同的秩。 即 R(5S,為)=/? @|疋2, 所以a,,a2,,5线性无关。 解法3.因为单位向量勺,勺,,e”可以被a,,a2,,%线性表示,所以 a? ,»尺(右,e2,,eJ=A/ 又由于apa2,,5是农维向量,所以 /? (di,(i2,,叫)5斤 因此7? (a19a2,,a? z)=h,故向量组a19a2,,a〃线性无关. 8.已知(X],%,,%的秩为>0),证明: apa2,, 解: 设ar,af,是aI9a2,,a$中的厂个线性无关的向量. /? (ana2,,%)=厂,则向量组a|9a2,, a19a2,,a$中的任意一个向量耳,考虑向量组 叫,%,,%,為QTQ 由于az,az,,%线性无关,所以g可以由%,%,,叫线性表出。 因此叫,a&,,%构成a19a2,,as的一个极大无关组。 9.已知等价的向量组有相等的秩,那么同维且有相等的秩的两个向塑组是否等价? 并说明理由。 相线性表示,因此不等价。 问Vz.(z=l,2)关于向量的加法和数乘向量运算是不是线性空间? 解: 任取a=(x19x2,,兀jwV|,卩=(y),y2,,几)'wV]‘则工兀=0,工牙=0。 由于工(兀+牙)=工兀+工牙=°+°=°,=Q,=o,所以 d+卩=(西+刃,兀2+》'2,,£+几)EV 皿二匕、,%,,kxjg\ 这说明y={(k,,兀)'兀",且。 =°]关于向量的加法和数乘向量运算是线性空间。 另一方面,如果 a=(西,吃,,xz,)reV2,P=(ypy2,eV2,那么工兀=1,工必=1,而 工(兀+刃)=工兀+Di+1=2 (1+卩=(西+刃,花+『2,,£+儿)'纟V? 这说明V2=|(xpx2,,兀)'誉R,且。 =1]关于向量的加法和数乘向量运算不是线性 空间。 11.设V={税“屮/()丘硝1凰/()的次数尊于},V由次数等于〃的所有实数域R上的多项式组成,证明: 对多项式加法和数乘,V不能构成线性空|、可。 证明: 取£(x)二二—兀"wV,但是 n)+QQ)"+T)=Oev 所以v不能构成线性空间。 12.试证由4=(0,1,1),<=(1,0,! ),«;=(1,1,0)所生成的线性空I、可就是R'。 解: 首先由于«;,«;,«;gR\所以, 伙](X]+k2a2+他码人wR,i=1,2,3}uR3 厂011、 <011、 r002、 "01、 (apa2,a3)= 101 -> 101 T 101 T 01-1 <11°丿 H1T丿 <01j丿 J)02, 7? (apa2,a3)=3,即a;=(0,1,1),a;=(1,0,1),^=(1,1,0)线性无关的,故R‘中任意向 量可以由向量组线性表示。 所以 &wR,Z=1,2,3}=便 13.设a19a2,,amgRhifi W=£(«(,a2,,%)={«d|+Zr2a2++kmatneR}, 求证: (1)W为向量空间(称为由apa2,,a,“生成的向量); (2)a.,a2,,%的极大无关组是W的一-组基。 证明: (1)任取a=£|(X]+心(12++匕: 、卩=l}a}+/2a2++lt)iameW,R,由 于 a+p=(Z: 1+Z1)aI+(^2+/2)a2++(^+/,J«zz,eW a(x=(妁)ot|+(a©)佝++(akm)%gW 故W成为线性空间。 (2)W中的任何向量可被a19a2,,%线性表示,因此也可以被為,佝,,%的极大无关 组线性表示。 根据基的定义,a19a2,,卩”的极大无关组是W的一组基。 复习题二 (2) [4) 1.设G]= 3 S= 1 旳= -3 ,证明: <5; <3> <-7> 9 7為-3a2-2a3= 24 2a! -3a2+a3= 0 21丿 O 证明: 只需直接计算 ◎ <4) 厂-7、 7a(-3a2-2a3=7 3 -3 1 -2 -3 — 24 O 3 <3)\z <1> 2a)-3a2+a3=2 3 -3 1 + -3 = 0 O <3> O 2•证明: 包含零向量的向量组是线性相关的。 证明: 设所考虑的向量组为O,a1? a2,,a/w,则存在不全为零的一组数1,0,0,,0,使 1・0+0・(X]+()•(! •)+4-0•—0 这说明含零向量的向量组0,a19a2,,(x加是线性相关的。 3.证明: 包含两个相同向量的向量组是线性相关的。 证明: 设所考虑的向量组为P,P,ana2,,a/n,则存在不全为零的一组数1,—1,0,0,,0, 使 1•卩+(-! )•卩+0・d]+0a2++0-am=0 这说明包含两个相同向量的向量组P,P,a19a2,,a,”是线性相关的。 4.证明: 线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关的。 证明: 设向量组,a,„,aw+1,,为线性无关向量组,而apa2,,a,”为其一个部 分组。 如果部分组a„a2,,%线性相关,则存在不全为零的一组加个数,km,使 ^•a,4-^-a2++^-a/w=0 这样就能找到一组m+($、—m)=s个数&出,,km,0,,0,它们不全为零,使 K,ai+R2S+ 这与a19a2,,a,n,aZM+1,,%线性无关是矛盾的。 说明线性无关的向量组的任何部分组也 是线性无关的。 5.证明: 如果三个向Mapa2,a3线性相关,且叭不能由吟旳线性表出,则吟叭仅 差一个数值因子。 证明: 既然a19a2,a3线性相关,就存在不全为零的一组数&出,匕,使 &•di+&•a? +心•眄=° 我们断定传=0,因为否则 即0(3可由卩,®线性表出,与题设矛盾。 所以 另外匕北2中至少一个非零,比如说息工0,那么^=-—^ 6.设比维向量组a,,a2,,曾是线性无关的,根据数值rjn,n之间的大小关系,讨论向量组aI9a2,,(^的线性相关性。 讨论如下: 由于任何〃+1个n维向蚩必线性相关,所以r 如果m>n.ana2,必线性相关; 由于线性无关向量组的任何部分组也必线性无关,故若m
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