正余弦定理的应用.docx
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正余弦定理的应用
正余弦定理的应用
正余弦定理的应用
题型一求高度问题
例1如图所示,A、B是水平面上的两个点,相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是点C到水平面的垂足,求山高CD.
跟踪训练1
(1)甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是________.
(2)如图,地平面上有一旗杆OP,为了测得它的
高度h,在地面上选一基线AB,AB=20m,在
A点处测得P点仰角∠OAP=30°,在B点处测
得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=
60°,求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)
题型二
三角形的面积公式及其应用
例2
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
π
4
a,b,c,B=3,cosA=5,b=3.
(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面积.
跟踪训练2如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
题型三三角形面积的最值问题
例3已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A
-sin2C)=(2a-b)·sinB,求△ABC面积的最大值.
跟踪训练3若△ABC的三边长分别为a,b,c,
面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积
S的最大值.
题型四三角形中的综合问题
例4在△ABC中,角A,B,C所对的边分别
为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S=43(a2+b2-c2).
(1)求角C的大小;
(2)求sinA+sin
B的最大值.
跟踪训练4已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:
△ABC为等腰三角形;
π
(2)若m⊥p,边长c=2,∠C=3,求△ABC的面积.
题型一求高度问题
例1如图所示,A、B是水平面上的两个点,相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45°,
∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是点C到水平面的垂足,求山高CD.
解由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以
CD=AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可,
在△ABD中,∠BDA=180-°45°-120=°15°,
由
AB
AD
,得AD=
AB·sin45°
sin15
=
=
°sin45
°
sin15°
2
800×2
=800(3+1)(m).
6-2
4
即山的高度为800(3+1)m.
跟踪训练1
(1)甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是________.
3a,
2
3
答案
3a
解析甲楼的高为atan60°=
3a,
323
乙楼的高为3a-atan30=°3a-3a=3a.
(2)如图,地平面上有一旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上选一基线AB,AB=20m,
在A点处测得P点仰角∠OAP=30°,在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=
60°,求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)
解在Rt△AOP中,∠OAP=30°,OP=h.∴OA
=OP·1=3h.tan30°
在Rt△BOP中,∠OBP=45°,∴OB=OP·1
tan45°
=h.
在△AOB中,AB=20,∠AOB=60°,
由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos
60°,
即202=(
1
400
3h)2+h2-2·3h·h·,解得h2=
4-3
2
≈176.4,∴h≈13m.
题型二
三角形的面积公式及其应用
例2
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
π
4
a,b,c,B=3,cosA=5,b=3.
(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面积.
解
(1)因为角A,B,C为△ABC的内角,且B
π
4
2π
3
=
,cosA=,所以C=
3
-A,sinA=.
3
5
5
2π
3
1
于是
sinC=sin
3-A=
2
cosA+
2sinA=
3+43
.
10
(2)由
(1)知sinA=3,
3+43
=
,
5
sinC
10
π
又因为B=3,b=3,所以在△ABC中,由正弦
bsinA6
定理得a=sinB=5.
于是△
的面积
1
1×6×3×
=absinC=
ABC
S
2
2
5
3+43
36+93
.
10
=
50
跟踪训练2如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
解连接BD,则四边形ABCD的面积为
S=S△ABD+S△CDB=
1
1
2AB·ADsinA+
2BC·CDsin
C.
∵A+C=180°,∴sinA=sinC,
∴S=
1
(AB·AD+BC·CD)sinA=
1
(2
×4+6×
2
2
4)sinA=16sinA.
在△ABD中,由余弦定理得
BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2
×4cosA=20-16cosA.
在△CDB中,由余弦定理得
BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=52-48cosC.
∴20-16cosA=52-48cosC.
∵cosC=-cosA,∴64cosA=-32,∴cosA=-
1
2,
又A∈(0,°180)°,∴A=120,°∴S=16sin120°
=83.
题型三三角形面积的最值问题
例3已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A
-sin2C)=(2a-b)·sinB,求△ABC面积的最大值.
解由正弦定理得a2-c2=(2a-b)b,
即a2+b2-c2=2ab.
由余弦定理得cosC=
a2+b2-c2
2ab
2
2ab
=
2ab
=
2,
π
∵C∈(0,π),∴C=4.
∴=
1absinC=
1
×
·
·2
=
2
S
2
2
2Rsin
A2RsinB
2
R2sinAsinB=2R2sinAsin(34π-A)
=2R2sinA(22cosA+22sinA)=R2(sinAcosA
221
1-cos2A
)
+sinA)=R(2sin2A+
2
2
π1
=R2[2sin(2A
-4)+2]
3ππ5π∵A∈(0,4π).∴2A-4∈(-4,4π)∴sin(2A-4)
∈(-2,1],∴S∈(0,2+1R2],
22
2+1
∴面积S的最大值为R2.
2
跟踪训练3若△ABC的三边长分别为a,b,c,
面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积
S的最大值.
解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-
(a2+b2-c2),
由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,
∴c2-(a-b)2=2ab(1-cosC),即S=2ab(1-cos
C),
1
∵S=2absinC,∴sinC=4(1-cosC).
又∵sin2C+cos2C=1,∴17cos2C-32cosC+15
=0,
158解得cosC=17或cosC=1(舍去).∴sinC=17,
1
4
4
4
∴S=absinC=
a(2-a)=-
(a-1)2+.
2
17
17
17
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