线性代数同济大学第四版习题答案04.docx
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线性代数同济大学第四版习题答案04
线性代数同济大学第四版习题答案04
第四章向量组的线性相关性
1.设v1=(1,1,0)T,v2=(0,1,1)T,v3=(3,4,0)T,求v1-v2及3v1+2v2-v3.解v1-v2=(1,1,0)T-(0,1,1)T
T
=(1-0,1-1,0-1)
T
=(1,0,-1).
3v1+2v2-v3=3(1,1,0)T+2(0,1,1)T-(3,4,0)T=(3⨯1+2⨯0-3,3⨯1+2⨯1-4,3⨯0+2⨯1-0)T=(0,1,2).
2.设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a),求a,其中a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10),a3=(4,1,-1,1).解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得a=
T
TT
1
(3a1+2a2-5a3)6
1
3(2,5,1,3)T+2(10,1,5,10)T-5(4,1,-1,1)T]6
=
=(1,2,3,4)T.3.已知向量组
A:
a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T,a3=(2,3,0,1)T;B:
b1=(2,1,1,2)T,b2=(0,-2,1,1)T,b3=(4,4,1,3)T,证明B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.证明由
⎛01
(A,B)=
23⎝⎛1r0
~
00⎝
由
30122301
204⎫1-24⎪111⎪213⎪⎭⎛1
0~00⎝
r031-24⎫32204⎪
1-6-15-7⎪2-8-17-9⎪⎭
031-24⎫
1-6-15-7⎪
041-35⎪00000⎪⎭
031-24⎫
1-6-15-7⎪0205-1525⎪041-35⎪⎭⎛1
r~0
00⎝
知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.
⎛204⎫⎛102⎫⎛11-24⎪r0-22⎪r0
B=~~111⎪01-1⎪0
213⎪01-1⎪0⎝⎭⎝⎭⎝
4.已知向量组
A:
a1=(0,1,1),a2=(1,1,0);
T
T
02⎫
1-1⎪
00⎪00⎪⎭
知R(B)=2.因为R(B)≠R(B,A),所以A组不能由B组线性表示.
B:
b1=(-1,0,1),b2=(1,2,1),b3=(3,2,-1),证明A组与B组等价.证明由
TTT
⎛-11301⎫r⎛-11301⎫r⎛-11301⎫
(B,A)=02211⎪~02211⎪~02211⎪,
11-110⎪02211⎪00000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
知R(B)=R(B,A)=2.显然在A中有二阶非零子式,故R(A)≥2,又R(A)≤R(B,A)=2,所以R(A)=2,从而R(A)=R(B)=R(A,B).因此A组与B组等价.
5.已知R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3,证明
(1)a1能由a2,a3线性表示;
(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示.
证明
(1)由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关,故a2,a3也线性无关.又由R(a1,a2,a3)=2知a1,a2,a3线性相关,故a1能由a2,a3线性表示.
(2)假如a4能由a1,a2,a3线性表示,则因为a1能由a2,a3线性表示,故a4能由a2,a3线性表示,从而a2,a3,a4线性相关,矛盾.因此a4不能由a1,a2,a3线性表示.
6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1)(-1,3,1)T,(2,1,0)T,(1,4,1)T;
(2)(2,3,0)T,(-1,4,0)T,(0,0,2)T.
解
(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为
⎛-121⎫r⎛-121⎫r⎛-121⎫
A=314⎪~077⎪~011⎪,
101⎪022⎪000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以R(A)=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B.因为
2-10
|B|=340=22≠0,
002
所以R(B)=3等于向量的个数,从而所给向量组线性相无关.
7.问a取什么值时下列向量组线性相关?
a1=(a,1,1)T,a2=(1,a,-1)T,a3=(1,-1,a)T.解以所给向量为列向量的矩阵记为A.由
a11
|A|=1a-1=a(a-1)(a+1)
1-1a
知,当a=-1、0、1时,R(A)
8.设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关,求向量b用a1,a2线性表示的表示式.解因为a1+b,a2+b线性相关,故存在不全为零的数λ1,λ2使λ1(a1+b)+λ2(a2+b)=0,由此得b=-
λλλλa1-a2=-a1-(1-a2,
λ1+λ2λ1+λ2λ1+λ2λ1+λ2
则
设c=-
λ1λ1+λ2
b=ca1-(1+c)a2,c∈R.
9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关,问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关?
试举例说明之.
解不一定.
例如,当a1=(1,2)T,a2=(2,4)T,b1=(-1,-1)T,b2=(0,0)T时,有a1+b1=(1,2)T+b1=(0,1)T,a2+b2=(2,4)T+(0,0)T=(2,4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.
10.举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,am是线性相关的,则a1可由a2,⋅⋅⋅,am线性表示.
解设a1=e1=(1,0,0,⋅⋅⋅,0),a2=a3=⋅⋅⋅=am=0,则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,但a1不能由a2,⋅⋅⋅,am线性表示.
(2)若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使
λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0
成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性相关.解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使
λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0,
原式可化为
λ1(a1+b1)+⋅⋅⋅+λm(am+bm)=0.
取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,am=em=-bm,其中e1,e2,⋅⋅⋅,em为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,am和b1,b2,⋅⋅⋅,bm均线性无关.
(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式
λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0
才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性无关,b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式
由λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0
成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式
λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(am+bm)=0
成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,am+bm线性无关.
取a1=a2=⋅⋅⋅=am=0,取b1,⋅⋅⋅,bm为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关.
(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,
λm使
λ1a1+⋅⋅⋅+λmam=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0
同时成立.
解a1=(1,0),a2=(2,0),b1=(0,3),b2=(0,4),
T
T
T
T
λ1a1+λ2a2=0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2=0⇒λ1=-(3/4)λ2,
⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.
11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得
a1=b1-a2,a2=b2-a3,a3=b3-a4,a4=b4-a1,于是a1=b1-b2+a3
=b1-b2+b3-a4
=b1-b2+b3-b4+a1,从而b1-b2+b3-b4=0,
这说明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.
12.设b1=a1,b2=a1+a2,⋅⋅⋅,br=a1+a2+⋅⋅⋅+ar,且向量组a1,a2,⋅⋅⋅,ar线性无关,证明向量组b1,b2,⋅⋅⋅,br线性无关.证明已知的r个等式可以写成
⎛10
(b1,b2,⋅⋅⋅,br)=(a1,a2,⋅⋅⋅,ar)
⋅⋅⋅0⎝
关.
13.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
11⋅⋅⋅0⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1⎫1⎪,⋅⋅⋅⎪1⎪⎭
上式记为B=AK.因为|K|=1≠0,K可逆,所以R(B)=R(A)=r,从而向量组b1,b2,⋅⋅⋅,br线性无
(1)a1=(1,2,-1,4)T,a2=(9,100,10,4)T,a3=(-2,-4,2,-8)T;解由
9-2⎫⎛19-2⎫⎛1⎛1
r2100-4⎪0820⎪r0
(a1,a2,a3)=~~-1102⎪0190⎪0
4⎪0-320⎪04-8⎝⎭⎝⎭⎝
最大无关组.
(2)a1T=(1,2,1,3),a2T=(4,-1,-5,-6),a3T=(1,-3,-4,-7).解由
9-2⎫
10⎪
00⎪00⎪⎭
知R(a1,a2,a3)=2.因为向量a1与a2的分量不成比例,故a1,a2线性无关,所以a1,a2是一个
41⎫⎛141⎫⎛141⎫⎛1
2-1-3⎪r0-9-5⎪r0-9-5⎪
(a1,a2,a3)=~~1-5-4⎪0-9-5⎪000⎪
3-6-7⎪0-18-10⎪000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
知R(a1T,a2T,a3T)=R(a1,a2,a3)=2.因为向量a1T与a2T的分量不成比例,故a1T,a2T线性无关,所以a1,a2是一个最大无关组.
14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
T
T
⎛25
75
(1)
7525⎝
[***********]13213448
⎫⎪⎪;⎪⎭
解因为
⎛25757525⎝⎛10
(2)
21⎝
⎛1021⎝
[***********]13213448
⎫⎪⎪⎪⎭
r2-3r1r3-3r1r4-r1
~
⎛25000⎝
31111
1743⎫23⎪35⎪35⎪⎭
r4-r3r3-r2
~
⎛25
000⎝
31100
1743⎫23⎪
13⎪00⎪⎭
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
1
201913025-14
1⎫-1⎪
.3⎪-1⎪⎭
⎛1
000⎝
12-20
21-1-2
25-52
1⎫-1⎪1⎪-2⎪⎭
⎛1
000⎝
120021-20
25201⎫-1⎪
-2⎪0⎪⎭
解因为
1
201913025-14
1⎫-1⎪3⎪-1⎪⎭
r3-2r1r4-r1
~
r3+r2r3r4
~
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
15.设向量组
(a,3,1)T,(2,b,3)T,(1,2,1)T,(2,3,1)T
的秩为2,求a,b.
解设a1=(a,3,1),a2=(2,b,3),a3=(1,2,1),a4=(2,3,1).因为
T
T
T
T
13⎫r⎛1113⎫⎛12a2⎫r⎛11
(a3,a4,a1,a2)=233b⎪~01a-1-1⎪~01a-1-1⎪,
1113⎪01⎪002-ab-5⎪1b-6⎝⎭⎝⎭⎝⎭
而R(a1,a2,a3,a4)=2,所以a=2,b=5.
16.设a1,a2,⋅⋅⋅,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,⋅⋅⋅,en能由它们线性表示,证明a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.
证法一记A=(a1,a2,⋅⋅⋅,an),E=(e1,e2,⋅⋅⋅,en).由已知条件知,存在矩阵K,使
E=AK.
两边取行列式,得
|E|=|A||K|.
可见|A|≠0,所以R(A)=n,从而a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.
证法二因为e1,e2,⋅⋅⋅,en能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,所以
R(e1,e2,⋅⋅⋅,en)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,an),
而R(e1,e2,⋅⋅⋅,en)=n,R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)≤n,所以R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)=n,从而a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.
17.设a1,a2,⋅⋅⋅,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:
任一n维向量都可由它们线性表示.
证明必要性:
设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,an,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,且表示式是唯一的.
充分性:
已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,en能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,于是有
n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,en)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)≤n,
即R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.
18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量ak(2≤k≤m),使ak能由a1,a2,⋅⋅⋅,ak-1线性表示.
证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使
λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λmam=0,
而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使
λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,
于是
λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λkak=0,
ak=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1ak-1),
即ak能由a1,a2,⋅⋅⋅,ak-1线性表示.
19.设向量组B:
b1,⋅⋅⋅,br能由向量组A:
a1,⋅⋅⋅,as线性表示为
(b1,⋅⋅⋅,br)=(a1,⋅⋅⋅,as)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.
证明令B=(b1,⋅⋅⋅,br),A=(a1,⋅⋅⋅,as),则有B=AK.必要性:
设向量组B线性无关.
由向量组B线性无关及矩阵秩的性质,有r=R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(K)}≤R(K),及R(K)≤min{r,s}≤r.因此R(K)=r.
充分性:
因为R(K)=r,所以存在可逆矩阵C,使KC(b1,⋅⋅⋅,br)C=(a1,⋅⋅⋅,as)KC=(a1,⋅⋅⋅,ar).
因为C可逆,所以R(b1,⋅⋅⋅,br)=R(a1,⋅⋅⋅,ar)=r,从而b1,⋅⋅⋅,br线性无关.
20.设
⎛E⎫
=r⎪为K的标准形.于是⎝O⎭
⎧β1=α2+α3+⋅⋅⋅+αn⎪β2=α1+α3+⋅⋅⋅+αn
⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎪
⎩βn=α1+α2+α3+⋅⋅⋅+αn-1
证明向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn等价.证明将已知关系写成
⎛01
(β1,β2,⋅⋅⋅,βn)=(α1,α2,⋅⋅⋅,αn)1
⋅⋅⋅⎝1
将上式记为B=AK.因为
101⋅⋅⋅1110⋅⋅⋅1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1⎫1⎪1⎪,⋅⋅⋅⎪⎪0⎭
01|K|=1
⋅⋅⋅1101⋅⋅⋅1110⋅⋅⋅1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11
1=(-1)n-1(n-1)≠0,⋅⋅⋅0
所以K可逆,故有A=BK-1.由B=AK和A=BK-1可知向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn可相互线性表示.因此向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn等价.
21.已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x,且向量组x,Ax,A2x线性无关.
(1)记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使AP=PB;解因为
AP=A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-A2x)
⎛000⎫
=(x,Ax,Ax)103⎪,
01-1⎪⎝⎭
2
⎛000⎫
所以B=103⎪.
01-1⎪⎝⎭
(2)求|A|.
解由A3x=3Ax-A2x,得A(3x-Ax-A2x)=0.因为x,Ax,A2x线性无关,故3x-Ax-A2x≠0,即方程Ax=0有非零解,所以R(A)
x-8x2+10x3+2x4=0⎧⎪1
(1)⎨2x1+4x2+5x3-x4=0;
⎪⎩3x1+8x2+6x3-2x4=0
解对系数矩阵进行初等行变换,有
40⎫⎛1-8102⎫r⎛10
A=245-1⎪~01-3/4-1/4⎪,
386-2⎪00⎪00⎝⎭⎝⎭
于是得
⎧x1=-4x3
⎨x=(3/4)x+(1/4)x.⎩234
T
T
T
T
取(x3,x4)=(4,0),得(x1,x2)=(-16,3);取(x3,x4)T=(0,4)T,得(x1,x2)T=(0,1)T.因此方程组的基础解系为
ξ1=(-16,3,4,0),ξ2=(0,1,0,4).
T
T
2x-3x2-2x3+x4=0⎧⎪1
(2)⎨3x1+5x2+4x3-2x4=0.
⎪⎩8x1+7x2+6x3-3x4=0
解对系数矩阵进行初等行变换,有
⎛2-3-21⎫r⎛102/19-1/19⎫
4-2⎪~0114/19-7/19⎪,A=35
876-3⎪0000⎪⎝⎭⎝⎭
于是得
⎧x1=-(2/19)x3+(1/19)x4
⎨x=-(14/19)x+(7/19)x.⎩234
取(x3,x
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