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数学与思考

什么是“公理化”

2010-03-1119:

08

数学上，一个公理系统（或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个公理的集合，从中一些或全部公理可以用来一起逻辑的导出定理。

一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。

一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例；但是通常完全角式化的努力带来在确定性上递减的收益，并让人更加无法阅读。

所以，公理系统的讨论通常只是半角式化的。

一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在模型论中表述的那样。

一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。

性质

一个公理系统称为自洽（或称相容、一致性），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理导出一个命题及其逆命题的能力。

在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。

一个系统称为独立的，若它的每个定理都是独立的。

虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。

一个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导出或其逆可以导出。

模型

公理系统的数学模型是一个定义严谨的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统中所定义的关系一致的方式。

具体模型的存在性能证明系统的自洽。

模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。

通过构造除去一个特定公理的子系统的正确模型，我们表明该省去的公理是独立的，若它的正确性不可以从子系统得出。

两个模型被称为同构，如果它们的元素可以建立一一对应，并且以一种保持它们之间的关系的方式。

一个其每个模型都同构于另一个的公理系统称为范畴式的，而可范畴化的性质保证了系统的完备性。

第一个公理系统是欧氏几何。

公理化方法

公理化方法经常被作为一个单一的方法或着一致的过程来讨论。

以欧几里得为榜样，它确实在很多世纪中被这样对待：

直到19世纪初叶，在欧洲数学和哲学中古希腊数学的遗产代表了智力成就（在几何学家的风格中，更几何的发展）的最高标准这件事被视为理所当然（例如在斯宾诺莎的著作中所述）。

这个传统的方法中，公理被设定为不言自明的，所以无可争辩，这在19世纪逐渐被扫除，这是随着非欧几何的发展，实分析的基础，康托的集合论和弗雷格在数学基础方面的工作，以及希尔伯特的公理方法作为研究工具的“新”用途而发生的。

例如，群论在该世纪末第一个放到了公理化的基础上。

一旦公理理清了（例如，逆元必须存在），该课题可以自主的进展，无须参考这类研究的起源—变换群。

所以，现在在数学以及它所影响的领域中至少有3种“模式”的公理化方法。

用讽刺描述法，可能的态度有：

1.接受我的公理，你就必须承担它们的后果。

2.我拒绝你的公理之一并且采纳更多的模型（Irejectoneofyouraxiomsandacceptextramodels）。

3.我的公理集定义了一个研究领域。

第一种情况定义了经典的演绎方法。

第二种采用了博学点，一般化这个口号;它和概念可以和应该用某种内在的自然的广泛性来表达的假设是一致的。

第三种在20世纪数学中有显著的位置，特别是在基于同调代数的课题中。

很显然公理化方法在数学之外是有局限性的。

例如，在政治哲学中，导致不可接受的结论的公理很可能被大量拒绝；所以没有人真的统一上面的第一个版本。

生活中的几何—欧式几何

本帖来自:

数学中国作者:

huashi3483日期:

2004-9-2614:

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几何学发展简况

“几何”这个词在汉语里是“多少？

”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。

“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。

几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。

在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念，

并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。

正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。

虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。

几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。

古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。

大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。

几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。

两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容，在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展几何学的贡献。

柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。

柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。

亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。

到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。

但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。

真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。

欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。

他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。

他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。

《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。

在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。

也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

欧几里得的《几何原本》

欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。

从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。

因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。

属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。

《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。

《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。

（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。

它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。

）

这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。

全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。

比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。

都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。

所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。

它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。

由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。

历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。

少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。

后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：

“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。

”这席谈话对牛顿的震动很大。

于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。

爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。

后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。

他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。

在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：

相对原理和光速不变原理。

在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。

这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。

在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。

由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。

比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。

又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

现代几何公理体系

人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。

最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。

这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。

希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。

就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：

第一，共存性（和谐性），就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。

第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。

第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。

这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。

公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。

从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。

因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。

平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。

就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。

这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。

公理化系统学习辅导

2002-06-20

　　学习指导

　　学习方法引荐

　　这一章介绍了几何公理的发展历史以及公理法的构造和原理，目的是使读者对几何学的公理方法的发生和形成，意义和原理有个概括的认识．学习这一章要抓住以下几点：

　　１．几何学公理法产生和形成的过程，它的作用和意义．

　　２．几何公理法的构造和原理．

　　３．希尔伯特公理体系的结构．

　　４．公理体系的相容性、独立性和完备性．

　　本章向读者提出了几何学中非常重要的公理方法，指出它产生的必然性和重要性，引导读者进一步的探索．概括地提出几何公理法的构造和原理，这是公理法的核心，它为用公理法具体地建立欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学提出了所应遵循的纲领．

　　要求读者了解几何学公理方法是几何学发展的必然产物，通过它把零散的几何知识整理成为逻辑严密的演绎体系，因而成为数学的重要方法之一．它的形成经历了漫长的历史时期，可以分成欧几里得以前的工作、欧几里得本人的工作和欧几里得以后的工作三个阶段来了解，欧几里得《几何原本》的产生是一个重要标志，但它所采用的公理法是古典的公理法，是有缺欠的，希尔伯特《几何基础》一书中所用的公理法才是现代的公理法。

　　要求读者了解公理法构造的四个组成部分及其意义．这部分内容有些抽象，但如果联系中学所学的几何知识，会有助于对这部分内容的理解，实际上很多知识都已经学过．这里给出公理法的轮廓，然后去应用，从中得到进一步的认识，以便更好地掌握这些原理．

　　重点、难点解析

　　１　几何公理法的产生和形成

　　几何公理法是随着几何学的发展而产生和形成的．这一过程大体上可以表示如下：

　　初等几何学成为系统的科学体系，大体上是经历了如下的过程：

　　公理法的产生是历史的必然．恩格斯对这一过程曾作过精辟的论述：

“经验自然科学积累了如此庞大数量的实证的知识材料，以至在每一个研究领域中有系统地和依据材料的内在联系把这些材料加以整理的必要，就简直成为无可避免的．建立各个知识领域互相间的正确联系，也同样成为无可避免的．因此，自然科学便走进了理论的领域．而在这里经验的方法就不中用了，在这里只有理论的思维才能有所帮助．”他说出了科学发展的过程；从庞大的零散知识材料发展成为系统的科学体系的必要性和必然性；以及应采用的方法．几何学的公理方法就是在理论思维过程中逐步形成的有效方法之一．

　　《几何原本》是一部不朽的经典著作．欧几里得前期的工作为欧几里得的《几何原本》作了大量的准备工作，在内容、理论和方法上提供了素材，这一阶段虽然经历了较长的时期，但集中体现在希腊人的工作上．欧几里得本人的工作是在前人工作的基础上写出了《几何原本》一书，它集前人工作的大成，为几何学公理法奠定了初步的基础．欧几里得以后的工作可以分成两条主线，它们主要是围绕着欧几里得《几何原本》进行的，直到希尔伯特所著的《几何基础》的出现为止．

　　第一条主线主要是通过对第五公设的试证，找出了许多与第五公设等价的命题，明确了第五公设的重要地位，丰富和严格了几何的论证方法等．特别重要的是导致非欧几何的出现，从而证明了第五公设的独立性，进一步显示了公理方法的重要作用和意义．这些都毫无疑问地对公理法的形成起了深化、补充和推动作用．而第二条主线则直接导致近代公理法的最后形成．希尔伯特对公理法的重要贡献是：

一方面在他所著的《几何基础》里给欧几里得几何确立了一套完整的公理系统，并按其作用自然地划分成五组，同时示范性地用这套公理系统演绎出欧氏几何学的基本内容，使欧氏几何学的逻辑结构严密而且清楚．另一方面，提出选择公理系统时应考虑的三个基本问题，即公理系统的相容性（即无矛盾性）、独立性和完备性，并给出证明相容性和独立性的一些方法等．

　　总而言之，不论是直接发展还是间接的推动，几何学和其它科学一样，是由生产实践的需要而产生和发展起来的．

　　２．公理法的构造和原理

　　概括地说，几何学的公理化方法是从少数原始概念和公理出发，遵循逻辑原则建立几何学演绎体系的方法．用以导出其它几何原理的不再加以证明的基本原理称为公理，用以解释其它概念而本身不再加以定义的概念称为基本概念（原始概念），它们的性质只由公理来制约，除了这些公理和不加定义的基本概念以外，其它的定理和概念都必须由这些公理和基本概念逻辑地推导得出，这种方法就是所谓的公理法．

　　公理法的结构由下列四部分构成：

　　（１）原始概念的列举；

　　（２）定义的叙述；

　　（３）公理的叙述；

　　（４）定理的叙述和证明．

　　公理法的四个部分是有机地结合在一起的，缺一不可，其中公理的列举是核心．公理是作为几何论证基础而不加证明的命题，是几何学作为出发点建立一种几何体系的少数规定，它规定了最基本的几何元素之间的一些基本性质，成为证明其它几何性质（定理）的依据．公理不是主观臆造的，是有客观基础的，公理来源于实践，是客观世界空间形式和几何关系的客观反映，又在实践中进行检验和验证，从而不断丰富起来．作为几何学基础的全部公理成为该几何学的公理系统，它决定了几何学的性质，用不同的公理系统可以建立不同的几何学．希尔伯特提出了研究公理系统的三个基本问题，即公理系统的相容性（即无矛盾性）、独立性和完备性，任何公理系统都必须满足相容性．

　　3．公理体系的相容性、独立性和完备性

　　公理系统的基本问题，即公理系统的相容性、独立性和完备性．是希尔伯特在他的著作《几何基础》里提出的．事实上，这是一个很重要的问题．

　　任何一个公理系统都要满足无矛盾性，否则用它建立的几何体系将是一个有矛盾的体系，这样的公理系统是没有任何价值的．然而，用模型方法证明的无矛盾性是有条件的、相对的，例如，用笛卡儿模型来证明欧氏公理系统的无矛盾是归结为实数的算术运算的无矛盾．即只要实数的算术运算无矛盾，则欧几里得几何就是无矛盾的系统．又如，用卡莱   可莱因模型来证明罗巴切夫斯基几何公理系统的无矛盾是归结为欧氏几何的无矛盾，即如果欧氏几何无矛盾，则罗氏几何就是无矛盾的．我们不能说欧氏几何的无矛盾性已经完全解决了，它只是被化成了更基本的问题，即化成了实数运算的无矛盾问题，因为实数的算术运算几乎是整个数学的基础，这实质上牵涉到了整个数学的根据问题．

　　在建立公理系统时，一般总是希望表达某系统的公理数量是最少的，这自然就引出了公理的独立性问题．然而在一个公理系统中使每条公理都具有独立性是一个比较复杂的问题．希尔伯特也仅是讨论了一些最令人关心的公理的独立性问题．一个公理系统很难说每一条公理都是独立的，本书所建立的公理系统也是这样，其中顺序公理和运动公理有的就不独立，但这并不破坏整个体系的建立．

　　欧氏平行公理的独立性是一个十分重要的问题，它说明欧氏平行公理决不能由其余公理导出．证明欧氏平行公理的独立性，是把欧氏平行公理加以否定加到绝对几何公理系统中去，如果构成的新公理系统无矛盾，则欧氏平行公理就关于绝对公理系统是独立的．例如，罗氏几何的公理系统就是这样的一个系统，因为它是一个无矛盾的系统，所以欧氏平行公理是独立的．历史上出现的试证第五公设问题，经历了两千多年，许多学者都企图用《几何原本》的其余公里（实际上就是绝对几何公理系统）证明第五公设，结果都告失败，其根本原因是不懂得第五公设的独立性，它不可能由其余公理导出．第五公设问题最终导致非欧几何的出现，而这一发明又证明了第五公设的独立性．

　　公理系统的完备性只涉及到少数的公理系统，如欧氏几何和罗氏几何的公理系统，大部分公理系统并不具有完备性，如绝对几何、拓扑空间等公理系统．这种不完备的系统更具有重要意义，因为以它为基础可以派生出许多新的空间．证明公理系统的完备性是证明它的所有模型都同构，通俗地说，如果同一公理系统可以作不同的解释，即具有不同的模型，而这些模型里，对用原始概念或定义过的概念来陈述的任何命题，也必相应地作种种解释，而对任一命题的解释真则同真，假则同假，成一一对应，则这一公理系统就是完备的．反之，如果对某个命题的不同解释有真有假，则公理系统就不完备．例如，绝对几何公理系统，因为所有的欧氏几何和罗氏几何的模型也都是绝对几何模型，但对于“三角形内角和”命题来说，有的是“二直角”，有的是“小于二直角”，即有真有假，因此这样的公理系统是不完备的．

　　　　４．射影几何

　　射影变换群的几何是射影几何学，它研究的对象是射影变换群中所有变换下的不变性质和不变量（即射影性质）．

　　射影群的基本不变量是一直线上四点的交比．至于边长、角、面积、单比等都不是不变量，因而不是射影几何研究的对象．

　　结合关系是射影变换下的基本不变性质，因此三点形还变成三点形，所有的三点形是射影等价的．完全四点形还变成完全四点形，所有完全四点形是射影等价的等等．在射影平面上，一切非退化的二次曲线都是长圆，根本没有双曲线和抛物线之分．平行、垂直、平分等性质也不是射影变换下的不变性质．

　　平面上一维基本形间的射影对应、透视对应和基本性质都是射影几何研究的对象．

　　对偶的原则是射影几何中重要的内容，是射影性质的具体表现，利用这一原则简化了许多手续并扩大了几何事实．

　　从公理系统上看，射影几何与欧氏几何有很大的区别．射影几何的公理体系不只一组，当然各组彼此是等价的．

　　在承认欧氏几何公理体系满足相容性的前提下，可以证明射影几何公理体系是相容的．

　　射影几何及其子几何的比较

名称

射影几何

仿射几何

相似几何

欧氏几何

变换群

射影群

仿射群

相似群

正交群

研

究

对

象

射影性质

射影不变量

纯仿射性质

纯仿射不变量

射影性质

射影不变量

纯相似性质

纯相似不变量

纯仿射性质

纯仿射不变量

射影性质

射影不变量

纯度量性质

纯度量不变量

纯相似性质

纯相似不变量

纯仿射性质

纯仿射不变量

射影性质

射影不变量

主要不变性质

结合性

分割性

结合性

平行性

结合性

平行性

保角性

结合性

平行性

合同性

基本不变量

交比

单比

相似比

距离

二七 对人类社会公理的敬畏

上海市西延安中学 李天燕

教学目标

1、 理清全文结构，了解作者是怎样步步深入说理的。

2、 了解文中所提及的一些概念的基本含义。

3、 强化头脑中已有的社会意识并与实际生活联系起来，进一步明确公民意识。

说明：

本文作为一篇论述性的文章，理解起来是有一定难度的。

特别是文中出现的一些概念，涉及到哲学、数学、政治经济学等众多领域，超出了学生的知识范畴，需要教师先学习，弄懂这些概念，再带领学生一起学习；理清文章结构，是学好这篇文章的关键所在，需在仔细研读课文，品味重点词句的前提下，逐步推进，让学生结合本单元“慎思明辨”的主题，顺着作者的思路，水到渠成地读懂这篇文章；公民道德教育，也是本文学习的重点，本文文字较生动，有助于帮助学生理解道德规范的现实意义，教师要指导学生将道德规范与道德实践有效结合起来

教学重点与难点

1、  重点：

在反复阅读的基础上，重点分析、理解文中关键词句，通过对重点词句的把握，理清作者的行文思路。

2、  难点：

文中一些概念的理解以及它们与文章主题的关系。

说明：

 “公理”“社会意识”等词语一直贯穿全文，弄懂这些概念是理解全文的基础。

概念明确：

公理：

（1）经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。

（2）某个演绎系统的初始命题。

这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内