高中数学专题训练教师版33导数地应用极值与最值.docx
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高中数学专题训练教师版33导数地应用极值与最值
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文案大全高中数学专题训练(教师版)—导数的应用——极值与最值
一、选择题
1.函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13,则()A.a-2b=0B.2a-b=0C.2a+b=0D.a+2b=0答案D
解析y′=3ax2+2bx,据题意,
0、13是方程3ax2+2bx=0的两根
∴-2b3
a=13,∴a+2b=0.2.(2011·江南十校)当函数y=x·2x取极小值时,x=()A.1
ln2B.-1
ln2
C.-ln2D.ln2答案B
解析由y=x·2x得y′=2x+x·2x·ln2令y′=0得2x(1+x·ln2)=0
∵2x>0,∴x=-1
ln2
3.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则()A.0<b<1B.b<1
C.b>0D.b<1
2
答案A
解析f(x)在(0,1)内有极小值,则f′(x)=3x2-3b在(0,1)上先负后正,∴f′(0)=-3b<0,
∴b>0,f′
(1)=3-3b>0,∴b<1综上,b的范围为0<b<1
4.连续函数f(x)的导函数为f′(x),若(x+1)·f′(x)>0,则下列结论中正确的是()
A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点
B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点
C.x=-1不是函数f(x)的极值点
D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点
答案B
解析x>-1时,f′(x)>0x<-1时,f′(x)<0
∴连续函数f(x)在(-∞,-1)单减,在(-1,+∞)单增,∴x=-1为极小值点.
5.函数y=x3
3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是()
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文案大全A.-17
3B.-10
3
C.-4D.-64
3
答案A
解析y′=x2+2x-3.
令y′=x2+2x-3=0,x=-3或x=1为极值点.
当x∈[0,1]时,y′<0.当x∈[1,2]时,y′>0,所以当x=1时,函数取得极小值,也为最小值.
∴当x=1时,ymin=-17
3.
6.函数f(x)的导函数f′(x)的图象,如右图所示,则(
)
A.x=1是最小值点
B.x=0是极小值点
C.x=2是极小值点
D.函数f(x)在(1,2)上单增
答案C
解析由导数图象可知,x=0,x=2为两极值点,x=0为极大值点,x=2为极小值点,选C.
7.已知函数f(x)=12x3-x2-72x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()
A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2) D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定 答案A 解析由题意可得f′(x)=32x2-2x-72. 由f′(x)=12(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=73. 当x<-1时,f(x)为增函数;当-1 8.函数f(x)=e-x ·x,则() A .仅有极小值12e B.仅有极大值12e C.有极小值 0,极大值12e D.以上皆不正确 答案B 实用文档 文案大全解析f′(x)=-e-x ·x +12x·e-x =e-x- x+12x)=e-x ·1-2x2x.令f′(x)=0,得x=12. 当x>12时,f′(x)<0; 当x<12时,f′(x)>0. ∴x=12时取极大值,f (12)= 1e ·12=12e. 二、填空题 9.(2011·西城区)若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值,则a=________,b=________. 答案-23-16 解析y′=ax+2bx+1. 由已知? ? ? ? ? a+2b+1=0a2+4b+1=0,解得? ? ? ? ? a=-23b=-16 10.已知函数f(x)=13x3-bx2+c(b,c为常数).当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)只有三个零点,则实数c的取值范围为________ 答案0 解析∵f(x)=13x3-bx2+c,∴f′(x)=x2-2bx,∵x=2时,f(x)取得极值,∴22-2b×2=0,解得b=1. ∴当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增. 若f(x)=0有3个实根, 则? ? ? ? ? f? 0? =c>0f? 2? =13×23-22+c<0,,解得0 11.设m∈R,若函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,则m的取值范围是________ 答案m<-12 解析因为函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,所以y′=ex+2m=0有大于0的实根.令y1=ex,y2=-2m,则两曲线的交点必在第一象限.由图象 可得-2m>1,即m<-12. 12.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1,0),则极小值为________ 实用文档 文案大全答案0 解析f′(x)=3x2-2px-q, 由题知f′ (1)=3-2p-q=0.又f (1)=1-p-q=0, 联立方程组,解得p=2,q=-1. ∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1.由f′(x)=3x2-4x+1=0, 解得x=1或x=13, 经检验知x=1是函数的极小值点, ∴f(x)极小值=f (1)=0.三、解答题 13.(2010·安徽卷,文)设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值. 解析由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π, 知f′(x)=cosx+sinx+1, 于是f′(x)=1 +2sin(x+π4). 令f′(x)=0,从而sin(x+π 4) =-22,得x=π,或x =3π2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,π)π(π,3π 2)3π2 (3π2, 2π) f′(x)+0-0+ f(x)单调递增π+2单调递减32π单调递增 因此,由上表知f(x )的单调递增区间是(0,π)与(3π2,2π),单调递减区间是(π,3π2),极小值为f(3π2)=3π2,极大值为f(π)=π+2. 14.(2010·江西卷)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数? 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 解析f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a. (1)由已知有f′(x1)=f′(x2)=0,从而x1x2=2a18=1,所以a=9; (2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0, 所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数. 15.已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值; (2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围. 解析 (1)f(x)=ax3-3x2,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). ∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′ (1)=0,∴a=2. (2)解法一①当a=0时,f(x)=-3x2在区间(-1,0)上是增函数,∴a=0符 实用文档 文案大全合题意; ②当a≠0时,f′(x)=3ax(x-2a),令f′(x)=0得: x1=0,x2=2a. 当a>0时,对任意x∈(-1,0),f′(x)>0,∴a>0符合题意; 当a<0时,当x∈(2a,0)时,f′(x)>0,∴2a≤-1,∴-2≤a<0符合题意; 综上所述,a≥-2. 解法二f′(x)=3ax2-6x≥0在区间(-1,0)上恒成立,∴3ax-6≤0,∴a≥2x在区间(-1,0)上恒成立,又2x<2- 1=-2,∴a≥-2. 16.(2011·沧州七校联考)已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx. (1)若f(x)在(0,12)上是减函数,求a的取值范围; (2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值? 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析 (1)f′(x)=-2x+a-1x,∵f(x)在(0,12)上为减函数,∴x∈(0,12)时-2x+a-1x<0恒成立,即a<2x+1x恒成立. 设g(x)=2x+1x,则g′(x)=2-1x 2.∵x∈(0,12)时1x 2>4,∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,12)上单调递减,g(x)>g(12)=3,∴a≤3. (2)若f(x)既有极大值又有极小值,则f′(x)=0必须有两个不等的正实数根x1,x2,即2x2-ax+1=0有两个不等的正实数根. 故a应满足? ? ? ? ? Δ>0a2>0? ? ? ? a2-8>0a>0? a >22,∴当a >22时, f′(x)=0有两个不等的实数根, 不妨设x1 由f′(x)=-1x(2x2-ax+1)=-2x(x-x1)(x-x2)知,0 2时f′(x)<0, ∴当a>22时f(x) 既有极大值f(x2)又有极小值f(x1). 1.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>12),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于________ 答案1 解析∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1, 当x∈(0,2)时,f′(x)=1x-a,令f′(x)=0得x=1a,又a>12,∴0<1a<2. 令f′(x)>0,则x <1a,∴f(x)在(0,1a)上递增;实用文档 文案大全令f′(x)<0,则x>1a,∴f(x)在( 1a,2)上递减, ∴f(x)max=f(1a)=ln1a-a·1a=-1,∴ln1a=0,得a=1. 2.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值. (1)求a、b的值; (2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x) 解 (1)f′(x)=6x2+6ax+3b, 因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值, 则有f′ (1)=0,f′ (2)=0, 即? ? ? 6+6a+3b=0,24+12a+3b=0.解得a=-3,b=4. (2)由 (1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c, f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0; 当x∈(2,3)时,f′(x)>0. 所以,当x=1时,f(x)取得极大值f (1)=5+8c.又f(0)=8c,f(3)=9+8c, 则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,
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