数学分析试题及答案解析.docx

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数学分析试题及答案解析

2014---2015学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

总分

核分人

得分

.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）

1.若fx在a,b连续，则fx在a,b上的不定积分fxdx可表为

x

ftdtC（）.

a

2.若fx,gx为连续函数，则fxgxdxfxdxgxdx（）.

3.若fxdx绝对收敛，gxdx条件收敛，则[fxgx]dx必

aaa

然条件收敛（）.

4.若1fxdx收敛，则必有级数fn收敛（）

n1

5.若fn与gn均在区间I上内闭一致收敛，则fngn也在区间I

上内闭一致收敛（）.

6.若数项级数an条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散

n1

于正无穷大（）.

7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到

的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.

a

1.若fx在a,b上可积，则下限函数fxdx在a,b上（）

x

A.不连续B.连续C.可微D.不能确定

2.若gx在a,b上可积，而fx在a,b上仅有有限个点处与gx不相

等，则（）

A.fx在a,b上一定不可积；

bb

B.fx在a,b上一定可积,但是fxdxgxdx；

aa

C.fx在a,b上一定可积，并且fxdxgxdx；

aa

D.fx在a,b上的可积性不能确定.

n1

3.级数112n

n1n

A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定

4.设un为任一项级数，则下列说法正确的是（）

A.若limun0，则级数un一定收敛；

n

B.若limun11，则级数un一定收敛；

nun

C.若N,当nN时有，un11，则级数un一定收敛；

D.若N,当nN时有，un11，则级数un一定发散；

un

5.关于幂级数anxn的说法正确的是（）

A.anxn在收敛区间上各点是绝对收敛的；

B.anxn在收敛域上各点是绝对收敛的；

C.anxn的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；

D.anxn在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

.计算与求值（每小题5分，共10分）

1

1.limnn1n2nnnn

2.

lnsinx

2dxcosx

.判断敛散性（每小题5分，共15分）

1.0

3x

1x

2dx

2.

n!

3.

nn

12

n

n1n12

五.判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

1.fnx

sinnx

n

1,2,D

2

2.nnD,22,

x

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面

300角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

（本题满10分）

七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表

面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所

受的静压力。

（本题满分10分）

八.证明：

题满分9分）

fx

cosnx

3在3

上连续，且有连续的导函数（.本

2014---2015学年度第二学期

《数学分析2》B卷?

答案

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

总分

核分人

得分

3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.?

2.?

3.?

4.?

5.?

6.?

7.?

.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.B;2.C;3.A;4.D;

5.B

.求值与计算题（每小题5分，共

10分）

1.lim

n

32

xsinx

解：

由于

1

03

0

32

xsinx

dx

2xe

13xndx0

lim13xndxlim11

n0nn13n1

故由数列极限的迫敛性得：

limn0

x3sin2x

dx0

2xe

2.设fsin2x

xx

，求fxdx

sinx1x

解：

令xsin2t得

xsin2t22

fxdx=fsintdsint2分

1x1sint

=2tsintdt4分

=2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC5分

.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.

1arctanxdx

02

1x

1arctanxarctanx

解：

lim1x2lim3分

x101x2x101x42

1

且p1，由柯西判别法知，

2

瑕积分1arctanxdx收敛5分

01x2

1

.lnn

n2lnn

解：

limlnn,n0N,当nn0时

n

有lnne22分

1/n2

12x

n

fnx

故知该函数列在D上一致收敛.

而正项级数

3.

解：

易知，级数

1n的部分和序列Sn一致有界，---2分

1

而对xD,Vnx21是单调的，又由于

xn

11

xD,Vnx20n，

xnn

4分

所以vnx21在D上一致收敛于0，

xn

从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。

5分

六.设平面区域D是由圆x2y22，抛物线yx2及x轴所围第一象限部分，

求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

22

解：

解方程组xy2

yx

2

得圆xy2与抛物线yx在第一象限

则所求旋转体得体积为：

1,1，

12

V02y2dy

1

0ydy

10

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，

求从中将水抽出需要做多少功？

（本题满分10分）

解：

以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系

则分析可知做功微元为：

dW52xdx25xdx5分

10

故所求为：

W215xdx8分

0

=1250

=12250（千焦）10分

八．设unxn1,2是[a,b]上的单调函数，证明：

若una与unb都

绝对收敛，则unx在[a,b]上绝对且一致收敛.（本题满分9分）

证明：

unxn1,2是[a,b]上的单调函数，所以有

unxunaunb4分

又由una与unb都绝对收敛，

所以unaunb收敛，7分

由优级数判别法知：

unx在[a,b]上绝对且一致收敛.

2013---2014学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一

二

三

四

五

六

七

总分

核分人

得分

.判断题（每小题2分，共16分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）

1.若f（x）在[a,b]上可导，则f（x）在[a,b]上可积.（）

2.若函数f（x）在[a,b]上有无穷多个间断点，则f（x）在[a,b]上必不可

积。

（）

3.若f（x）dx与g（x）dx均收敛，则[f（x）g（x）]dx一定条件收敛。

aaa

（）

4.若fnx在区间I上内闭一致收敛，则fnx在区间I处处收敛（）

5.若an为正项级数（an0），且当nn0时有：

an11，则级数

n1an

an必发散。

（）

n1

6.若fx以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：

12

anfxcosnxdx（）

7.若ans，则anan12sa1（）

n1n1

8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。

.单项选择题（每小题3分，共18分）

1.下列广义积分中，收敛的积分是（

无关条件

A11dx

0x

B1dx

1x

0sinxdx

1dx

3

x

2.级数an收敛是

n1

A必要条件

an部分和有界的（

1

B充分条件

C充分必要条件

3.

正项级数un收敛的充要条件是（

A.limun0n

C.部分和数列sn有上界D.lim

n

nn1un

4.设lim

n

A.

an1

an

a则幂级数

bnanx

R=（

1

B.ab

C.1a

11b

D.1

a

5.下列命题正确的是（

Aan（x）在[a,b]绝对收敛必一致收敛

n1

Ban（x）在[a,b]一致收敛必绝对收敛

n1

C若lim|an（x）|0，则an（x）在[a,b]必绝对收敛

nn1

Dan（x）在[a,b]条件收敛必收敛n1

6.1.

1,1上

幂级数anxn的收敛域为1,1,则幂级数anxn在

A.一致收敛B.绝对收敛C.连续D.可导

.求值或计算（每题4分，共16分）

1.xx1lnxdx；

2.1dx

sinxcosx

3．

x

xedx

4.设fx在[0,1]上连续，求lim1fnxdx

n0

.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性

1.

1

dx

32x43x23

2.

dx

1xln（1x）

4.

enn!

nn1n

5分，

五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题共10分）

1.fn（x）x2n4,n1,2,;x（,）

2.

n

2

（1）n1

nn

13x

xD,0.50.5,

六.应用题型（14分）

1.一容器的内表面为由yx2绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有

水（m3），若再加水7（m3），问水位升高了多少米？

2.把由yex，x轴，y轴和直线x0所围平面图形绕x轴旋转得

一旋转体，求此旋转体的体积V，并求满足条件Va1limV的a.

2

七．证明题型（10分）

已知fx与gx均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有fxgx，但fx

不恒等于gx，证明：

bb

f（x）dxg（x）dx

aa

2013---2014学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一

二

三

四

五

六

七

总分

核分人

得分

2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.对任何可导函数fx而言，fxdxfxC成立。

（）

2.若函数fx在a,b上连续，则Fxbftdt必为fx在a,b上的

x

原函数。

（）

3.若级数an收敛，必有limnan0。

（）

x

4.若limnan1，则级数an发散.

n

n1

5.若幂级数anxn在x2处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（）

n1

6.如果fx在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有

bb

fxdxfxdx.（）

aa

7.设fx在1,

上有定义，则1fxdx与级数fn同敛散.（）

n1

在，则limlimfnxlimlimfnx.

nxx0xx0n

.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.函数f（x）在[a,b]上可积的必要条件是（

2.

A.an和bn收敛，anbn也收敛

n1n1n1

B.an和bn发散，（anbn）发散

n1n1n1

C.an收敛和bn发散，（anbn）发散

n1n1n1

D.an收敛和bn发散，anbn发散

n1n1n1

an（x）在[a,b]收敛于a（x），且n1

A.an（x）ax

n1

B.a（x）可导

D.an（x）一致收敛，则a（x）必连续

n1

4.级数

n1

n1

11n

A.发散

B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定

2n

5.幂级数

22xn的收敛域为：

n01n

A.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.0.5,0.5D.0.5,0.5

.求值与计算题（每小题4分，共16分）

sinxcosx

1.2dx

2sinx

x

2.dx

xx1

1

3.limnnn1nn1nnb

4.2xabdxa

.判别敛散性（每小题4分，共16分）

1.

1

xarctanx

3dx1x

1

4.n1cos

n1

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

1.fn

1（n1）x

0

0x1/（n

1/（n

1）x

1）

n1,2,.x

1

0,1

2.

1n1

n1（x2n）n

六.应用题型（16分）

1.试求由曲线yx2及曲线

y2

x2所平面图形的面积.

2.将11c2osxdx表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可

0x2

使之误差不超过十万分之一.

七.（9分）证明：

若函数项级数unx满足：

（ⅰ）xD,un（x）ann1,2；（ⅱ）an收敛.则函数项级数

unx在D上一致收敛.

014---2015学年度第二学期

《数学分析2》A卷?

答案

.判断题（每小题3分，共21分）

1.?

2.?

3.?

4.?

5.?

6.?

7.?

.单项选择题（每小题

3分，共15分）

B,C,C,D,A

.计算与求值（每小题5分，共10分）

n

=limexpln

nk1

n

=explimln1

n

k1

=4e1

2分

2

=explnxdx

1

2.原式=lnsinxdtanx

=lnsinxtanxtanxcotxdx4分

=lnsinxtanxxC5分

.判断敛散性（每小题5分，共15分）

323x1

1.limx232分

x1xx2

且p13分

2

013xx1x2dx收敛。

2.由比式判别法

故由阿贝尔判别法知，级数收敛

an1

limlim

nn

an

故该级数收敛.

3.解：

由莱布尼兹判别法知，交错级数

2n

又012n1

五.1.解：

极限函数为f

fnx

fx

limsupfn

2.解：

因当

xD

1!

n1

n1

lim1e1

n11/n

14分

1n

1收敛

n1n

2分

1n1

12n

limfnxn

sinnx

故知

知其单调且有界，

4分

5分

0xD

2分

4分

该函数列在D上一致收敛.

5分

unx

2

而正项级数n收敛，

2n

2n

nx

22nn

xn2n

4分

D上一致收敛.

5分

3分

六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300

角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。

（本题满分10分）

VRR63R2x2dx7分=293R310分

故所求为

cosnx

3

n

所以cosnx在,上一致收敛，3分

3

n

故由定理结论知

fx

再者unx

cosnx

3在,上连续，

n

innx11

22而2收敛

nnn

5分

所以unx在

上一致收敛，结合unx在

上的连续性

可知fx

cosnx

3在n

上有连续的导函数.

9分

2014---2015学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

总分

核分人

得分

二、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.若fx为偶函数，则fxdx必为奇函数（）.

x

2.ysgnx为符号函数，则上限函数y=sgntdt在,上连续

a

（）.

3.若fxdx收敛，必有limfx0（）.

ax

4.若fn在区间I上内闭一致收敛，则fn在区间I上处处收敛（）.

5.若un（x）在a,b上内闭一致收敛，则un（x）在a,b上一致收敛

n1n1

（）.

6.若数项级数an绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对

n1

收敛，并且其和不变（）.

7.若函数项级数un（x）在a,b上的某点收敛，且un（x）在a,b上一致

收敛，则un（x）也在a,b上一致收敛（）.

二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.函数f（x）是奇函数，且在[a,a]上可积，则（）

aaa

Af（x）dx2f（x）dxBf（x）dx0

aaa

Cf（x）dx2f（x）dxDf（x）dx2f（a）a0a

2.关于积分1sinxdx，正确的说法是（）

0x1x2

A.此为普通积分B.此为瑕积分且瑕点为0

C.此为瑕积分且瑕点为1D.此为瑕积分且瑕点为0,1

3.就级数21（p0）的敛散性而言，它是（

n2lnpn

A.收敛的B.发散的

C.仅p1时收D.仅p1时收敛

4.1.数列fn在区间I上一致收敛于0的充要条件是（）

A.xI,limfnx0

n

C.nNlimfnx0

x

B.xnI,limfxn0

n

D.limsupfnx0nxI

2n

5.幂级数22xn的收敛域为：

n01n

A.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.0.5,0.5D.0.5,0.5

.求值与计算题（每小题5分，共10分）

.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.1arctanxdx

01x2

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）

1.fnx

n1,2

0,

2.

n

2sin

3n

D

[1,1]

资料.

3.21

x

Dn

六.设平面区域D是由圆x2y22，抛物线yx2及x轴所围第一象限部分，

求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计）

求从中将水抽出需要做多少功？

（本题满分10分）

八．设unxn1,2是[a,b]上的单调函数，证明：

若una与unb

都绝对收敛，则unx在[a,b]上绝对且一致收敛.（本题满分9分）

dx

2xe

2n

23收敛，

D上一致收敛.

Dn