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历年高考中三角函数试题题型分析
一、考纲要求(三角函数考试要求)
1、了解任意角的概念、弧度的意义。
能正确地进行弧度与角度的换算。
2、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。
了解余切、正割、余割的定义。
掌握同角三角函数的基本关系式。
掌握正弦、余弦的诱导公式。
了解周期函数与最小正周期的意义。
3、掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、
正切公式。
4、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
5、理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(/x+伊)的简图,理解A、切、伊的物理意义。
6、会由己知三角函数值求角,并会用符号arcsinx、arccosx>arctanx表示。
7、掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。
二、三角函数在高考中的地位
三角函数在高考试题中每年必考,分值一般占15%,对本章知识的考查,一般在选择、填空和解答题的17、18题中出现,为中低档试题。
主要考察对概念的理解水平,灵活运用概念和各种三角公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图像考查等是近儿年的热点。
在复习中,还要特别注意使用单位圆和辅助角,这也是解决三角问题的重要工具。
要训练学生恒等变形能力,培养思维能力和运算能力。
三、历年高考中三角函数试题题型分析
三角函I数是数学工具,因此也成为高考的重点。
它既可以单纯以三角内容命题,也常常与其它数学知识(如不等式、平面向量、数列、解析儿何等)综合命题,这是近年来高考命题的趋向。
例1.(全国一17).(本小题满分10分)
3设左ABC的内角A,B。
所对的边长分别为bc,RacosB-bcosA=-c.
(I)求tanAcotB的值;
(II)求tan(A一B)的最大值.
本题考察三角形中的三角函数问题,利用正弦定理化边为角,用均值不等式求最值时要注意等号成立的条件。
3解:
(I)在ABC中,山正弦定理及acosB-bcosA=-c
3333
pj得sinAcosB-sinBcosA=-sinC=—sin(A+B)=—sinAcosB+—cosAsinB5555
即sinAcosB=4cosAsinB,则tanAcotB=4;
(II)山tanAcotB=4得tanA=4tanB>0
z4tanA-tanB3tanB3.3
tan(A-B)===W-
1+tan*tangl+4tan~Bcot8+4tanB4
当旦仅当4tanB=cotB,tanB=—,tanA=2时,等号成立,2
13
故当tanA=2,tanB=一时,tan(A一B)的最大值为一.
2
例2.(安徽卷17).(本小题满分12分)
已知函数f(x)=cos(2x)+2sin(x)sin(x+—)
本题考察三角函数的二倍角公式,辅助角公式,周期,对称轴方程及三角函数的值域。
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(11)求函数/«)在区间上的值域
ITTT7T
解:
(1)vf(x)=cos(2x-y)+2sin(x-—)sin(x+—)
1V3
—cos2x+——sin2x+(sinx一cosx)(sinx+cosx)
22
=-cos2x+—sin2x+sin2x-cos2x
22
=-cos2x+—sin2x-cos2x
22
=sin(2x-^)
.・.周期丁=竺=勿
2
由2x-—=k7r-^—(keZ),得尤=—+人(keZ)
6223
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/、r勿1、—TCt••—.,
(2)Xe—1,.\2x-—e
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7777yyy?
rJl
因为/(x)=sin(2x-一)在区间[-一,一]上单调递增,在区间[一,一]上单调递减,612332
7F
所以当x=—时,f3)取最大值1
:
.函数图象的对称轴方程为X=k7T+-(keZ)
兀5;r]
又v/(-—)=-—(—)=-,当工二一三时,取最小值一吏
12222122
TT7T
所以函数在区间[-—,一]上的值域为[-
1
例3.(江苏卷)在平而直角坐标系xoy中,以。
火轴为始边做两个锐角a,/3,它们的终边分
(I)求tan(a+”)的值;
(II)求。
+2”的值.
本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.
由条件的cos«=—,cos/7=^—因为a,0为锐角,所以sin«=^^,sin/7=—
105105
因此tan«=7,tan/?
=—
2
zTxctanatanB
(1)tan(a+f3)==-3
1一tanatan/3
(II)tan2/?
=2tan,=£,所以tan1-tan2/?
3
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