九年级联考数学大题.docx
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九年级联考数学大题
九年级联考数学大题
1.徐州市云龙湖风景区即将迎来春季旅游高峰期,一家纪念品商店通过调查发现,最近A、B两种纪念品销售最火,该商店计划一次购进两种纪念品共100件,已知这两种纪念品的进价和售价如下表:
A
B
进价
18
26
售价
30
40
设该商店购进A纪念品x件,全部售完这两种纪念品该商店获得利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)如果该商店购进这100件纪念品的成本预算不超过2160元,那么如何进货才能使获得的利润最大?
最大利润为多少元?
解:
(1)∵该商店购进A纪念品x件,则购进B纪念品(100-x)件,
∴y=(30-18)x+(40-26)(100-x)=-2x+1400;
(2)根据题意可得:
18x+26(100-x)≤2160,
解得x≥55,
∴55≤x≤100,
在y=-2x+1400中,-2<0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=55时,y有最大值,最大值为y=-2×55+1400=1290,此时100-55=45,
∴该商店购进A纪念品55件,B纪念品45件时,获得的利润最大,最大利润为1290元.
2.某文具店按6元/本,4元/本购进甲、乙两种笔记本共100本,将甲种笔记本按8元/本销售.根据以往的销售经验可知,乙种笔记本的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系的图象如图所示.
第2题图
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设销售完这100本笔记本后获得的总利润为W(元),求乙种笔记本销售单价为多少元时获得最大利润,求出最大利润及此时分别购进甲、乙两种笔记本的数量.
解:
(1)由函数图象可知,y与x之间是一次函数的关系,设y=kx+b,
将点(5,50),(9,10)代入y=kx+b得
,解得,
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+100(5≤x≤9);
(2)由
(1)可知
W=y(x-4)+(100-y)×(8-6)
=-10x2+160x-400
=-10(x-8)2+240,
∵-10<0,∴x=8时,W最大=240,
此时y=-10x+100=20,100-y=80,
答:
当乙种笔记本销售单价为8元时,获得利润最大,最大利润为240元,此时购进的甲、乙笔记本的数量分别为80本、20本.
3.为维护长沙市的生态环境,政府决定对市区周边水域的水质进行改善,这项工程由甲、乙两个工程队承包,乙工程队单独施工140天后甲工程队加入,甲、乙两个工程队合作40天后,共完成总工程的,且乙工程队单独完成这项工程需要的天数是甲工程队的3倍.
(1)求甲工程队单独完成这项工程需要多少天?
(2)若施工工期不超过300天,则甲工程队至少要施工多少天?
(3)在
(2)的条件下,若甲工程队每天需支付的工程款为10000元,乙工程队每天需支付的工程款为3000元,应如何安排甲、乙两个工程队才能按时完成工程,且支付的总工程款最少?
解:
(1)设甲工程队单独完成这项工程需要x天,则乙工程队需要3x天,
根据题意得:
(+)×40+=,
解得x=200,
经检验,x=200是原方程的解,且符合题意.
答:
甲工程队单独完成这项工程需要200天;
(2)由
(1)可知,乙工程队单独完成这项工程需要600天,若安排甲工程队施工m天,则乙工程队还需施工
=(600-3m)天,
∵施工工期不超过300天,
∴600-3m≤300,解得m≥100,
∴甲工程队至少要施工100天;
(3)设所需支付的总工程款为w元,则
w=10000m+3000(600-3m)
=1000m+1800000,
∵1000>0,
∴w随m的增大而增大,即当m=100时,w最小,此时600-3m=300(天).
答:
当乙工程队施工300天,同时甲工程队在此期间施工100天刚好完成这项工程,且需支付的工程款最少.
4.在矩形ABCD中,CD=3,AD=5,点E是边AD上一点,且=,点F为CD上一点,连接EF,过点E作PE⊥EF交矩形的边于点P,连接PF.
(1)如图①,若点F与点C重合,试猜想线段AP、CD、AD之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若EP交AB于点P,求证:
△FDE∽△PAE;
(3)如图③,若EP交BC于点P,且EF·PE=,求的值.
第4题图
(1)解:
AP=AD-CD.
理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,∴∠AEP+∠APE=90°,
∵PE⊥EF,∴∠AEP+∠DEC=90°,
∴∠APE=∠DEC,
∵AD=5,=,∴AE=3,DE=2,
∴AE=CD,∴△APE≌△DEC(AAS),
∴AP=DE,∵DE=AD-AE=AD-CD,
∴AP=AD-CD;
(2)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,∴∠AEP+∠APE=90°,
∵PE⊥EF,∴∠AEP+∠DEF=90°,
∴∠APE=∠DEF,
∴△FDE∽△PAE;
(3)解:
如解图,过点P作PG⊥AD于点G,则PG=CD=3,由
(1)得DE=2,
同
(2)可证△FDE∽△EGP,
第4题解图
∴==,
∴EF=PE,
∵EF·PE=,
∴PE2=,解得PE=(负值舍去),
∴EF=3,
∴在Rt△DEF中,DF==,
∴=,即=.
5.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,点D为AB上一动点,以DB为边在△ABC的同侧作正方形DBEF.
(1)如图①,当点D与点A重合时,分别延长AC、BC交BE、EF于点G、H.求证:
△GAB≌△HBE;
(2)如图②,若EF经过点C,求证:
BC2=AB·CE;
(3)如图③,若点F在AC上,EF交BC于点M,CM∶MB=1∶5,且FM≤ME,求tanA的值.
第5题图
(1)证明:
∵四边形ABEF是正方形,
∴∠ABG=∠E=90°,AB=BE.
∵∠BCA=90°,
∴∠GAB+∠ABC=∠ABC+∠HBE=90°,
∴∠GAB=∠HBE.
在△GAB和△HBE中,
,
∴△GAB≌△HBE(ASA);
(2)证明:
∵四边形DBEF是正方形,
∴∠ABE=∠E=90°,
∵∠BCA=90°,
∴∠CAB+∠ABC=∠ABC+∠EBC=90°,
∴∠CAB=∠EBC.
在△CAB和△EBC中,
,
∴△CAB∽△EBC,
∴=,
∴BC2=AB·CE;
(3)解:
设正方形DBEF的边长为a,FM=x,则ME=EF-FM=a-x,
∵FM≤ME,∴x≤a-x,∴a≥2x,
∵CM∶MB=1∶5,
∴CM∶CB=1∶6,
∵FE∥DB,△CFM∽△CAB,
∴==,
∴AB=6FM=6x,AD=AB-BD=6x-a,
∵∠AFD+∠CFM=90°,∠CMF=∠BME,∠EBM+∠BME=90°,
∴∠AFD=∠BME,
又∵∠ADF=∠E=90°,
∴△AFD∽△BME,
∴=,即=,化简得
2a2-7xa+6x2=0,即(a-2x)(2a-3x)=0,
∴a=2x或a=x,
又∵a≥2x,
∴a=2x,
在Rt△ADF中,tanA===.
6.已知点O是△ABC内任意一点,连接OA并延长到点E,使得AE=OA,以OB,OC为邻边作▱OBFC,连接OF,与BC交于点H,连接EF.
(1)如图①,若△ABC为等边三角形,线段EF与BC的位置关系是________,数量关系为________;
(2)如图②,若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边),
(1)中的两个结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请写出正确结论再给予证明;
(3)如图③,若△ABC是等腰三角形,AB=AC=2,BC=3,请你直接写出线段EF的长.
第6题图
解:
(1)EF⊥BC,EF=BC;
【解法提示】
(1)如解图①,连接AH,
第6题解图①
∵四边形OBFC是平行四边形,
∴BH=HC,OH=HF,
又∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,AH⊥BC,∠ABC=60°,
在Rt△ABH中,AH=AB·sin60°=AB=BC,
又∵OA=AE,OH=HF,
∴AH=EF,AH∥EF,
∴EF⊥BC;
∵AH=BC,AH=EF,
∴BC=EF,
∴EF=BC;
(2)EF⊥BC成立,EF=BC不成立,正确结论为EF=BC;
第6题解图②
证明:
如解图②,连接AH,
∵四边形OBFC是平行四边形,
∴BH=HC,OH=HF,
又∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AH⊥BC,∠ABH=45°,
∴AH=BH=BC,
又∵OA=AE,OH=HF,
∴AH是△OEF的中位线,
∴AH=EF,AH∥EF,
∴EF⊥BC,EF=2AH=BC;
(3)EF=.
7.如图①,在菱形ABCD和等边三角形BGF中,∠ABC=60°,点G在BC边上,点P是DF的中点,连接PG、PC.
(1)判断PG与PC的关系,并证明;
(2)将△BGF绕点B顺时针旋转60°,如图②,线段PC、PG还满足
(1)中的结论吗?
写出你的猜想,并给出证明;
(3)若将△BGF绕点B顺时针旋转120°,如图③,连接CG,PC=,求CG的长.
第7题图
解:
(1)PC⊥PG,PG=PC;
证明:
如解图①,延长GP交DC于点E,
∵点P是DF的中点,∴DP=FP,
∵△BGF是等边三角形,
∴∠FGB=60°,∴∠CGF=180°-60°=120°,
又∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴∠DCG=120°,
∴DC∥GF,
∴∠PDE=∠PFG,
在△PED和△PGF中,
,
∴△PED≌△PGF(ASA),
∴PE=PG,DE=FG,
∵DC=BC,
∴DC-DE=BC-FG=BC-BG,
即CE=CG,
第7题解图①
∴CP是EG的中垂线,即PC⊥PG,
在Rt△CPG中,∠PCG=60°,
∴PG=PC;
(2)猜想仍满足
(1)中结论.
证明:
如解图②,延长GP交DA于点M,连接MC,GC,
∵点P是线段DF的中点,
∴DP=FP.
∵∠ABC=60°,∠CBG=60°,△BGF是等边三角形,
∴点F在AB的延长线上,∠BFG=60°,
∴GF∥BC∥AD,
第7题解图②
∴∠MDP=∠GFP,
在△DPM和△FPG中,
,
∴△DPM≌△FPG(ASA),
∴PM=PG,DM=FG=BG,
在△CDM和△CBG中,
,
∴△CDM≌△CBG(SAS),
∴CM=CG,∠DCM=∠BCG,
∴∠MCG=∠DCB=120°,
∵PM=PG,
∴PC⊥PG,∠PCG=∠MCG=60°,
第7题解图③
∴PG=PC;
(3)如解图③,延长GP到点H,使PH=PG,连接CH,DH,过点F作FN∥DC,
∵∠ABC=60°,∠CBG=120°,△BFG是等边三角形,
∴点G在AB的延长线上,点F在CB的延长线上,
∵点P是线段DF的中点,∴FP=DP,
在△GFP和△HDP中,
,
∴△GFP≌△HDP(SAS),
∴GF=HD,∠GFP=∠HDP,
∴GF∥HD.
∵FN∥AG∥DC,
∴∠GFN=∠GFP+∠PFN=120°,
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=∠GFP+∠PFN=120°,
∵△BFG是等边三角形,
∴GF=GB,∴HD=GB,
在△HDC和△GBC中,,
∴△HDC≌△GBC(SAS),
∴CH=CG,∠DCH=∠BCG,
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°,
即∠HCG=120°,
∵CH=CG,PH=PG,
∴PG⊥PC,∠GCP=60°,
∵PC=,
∴CG=2.
8.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,2),抛物线的对称轴交x轴于点D.
第8题图
(1)求抛物线的表达式;
(2)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
并求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标;
(3)在抛物线的对称轴是否存在点P,使∠DPC=∠DCP,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)将A(-1,0),B(4,0),C(0,2)代入y=ax2+bx+c中得,
,解得,
故抛物线的表达式为y=-x2+x+2;
(2)由
(1)知抛物线对称轴为x=,OB=4,OC=2,则BD=,如解图①,连接BF,CF,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
第8题解图①
将B(4,0),C(0,2)代入得,
解得,
∴直线BC的解析式为y=-x+2,
设E(m,-m+2),F(m,-m2+m+2),
∴EF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m,
∴S四边形BDCF=S△BCD+S△BFC
=BD·OC+EF·OB
=××2+×(-m2+2m)×4
=-m2+4m+
=-(m-2)2+(0<m<4),
当m=2时,yE=-m+2=-×2+2=1,
∴当m=2时,四边形CDBF的面积最大,最大面积为,此时E点的坐标为(2,1)即E(2,1);
(3)存在.
y=-x2+x+2=-(x-)2+,则D(,0),
在Rt△OCD中,OC=2,OD=,
由勾股定理得:
CD==,
第8题解图②
如解图②,
①当CD=DP1时,∠DP1C=∠DCP1,
∴P1(,);
②当CD=DP2时,∠DP2C=∠DCP2,
∴P2(,-),
综上所述,P点的坐标为
P1(,),P2(,-).
9.如图,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C的坐标为(8,0),连接AB、AC.
第9题图
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,求△AMN面积的最大值;
(3)点H为x轴上一点,是否存在以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象过点A(0,4)、C(8,0),
∴,解得,
∴二次函数的解析式为y=-x2+x+4;
(2)设点N的坐标为(t,0),
∵y=-x2+x+4,令y=0,即-x2+x+4=0,解得x1=8,x2=-2,
∴B(-2,0),
第9题解图①
如解图①,过点M作MD⊥x轴于点D.
∵MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴=,
∵NM∥AC,
∴△BMN∽△BAC,
∴=,∴=,
∵B(-2,0),A(0,4),C(8,0),N(t,0),
∴AO=4,BC=10,BN=t+2,
∴MD===(t+2),
∴S△AMN=S△ABN-S△BMN
=BN·OA-BN·MD
=×(t+2)×4-×(t+2)×(t+2)
=-(t-3)2+5(-2 ∴当t=3时,△AMN的面积最大,最大值为5; (3)存在以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形,点H的坐标为(-8,0)或(8+4,0)或(8-4,0)或(3,0). 【解法提示】如解图②,可分三种情况讨论: ①AH=AC;②HC=AC;③AH=HC; 第9题解图② 设点H的坐标为(n,0), 则AC2=AO2+OC2=42+82=80,AH2=OH2+OA2=n2+16,HC2=(n-8)2=n2-16n+64. ①当AH=AC时,H在H1处,则n2+16=80,解得n1=-8,n2=8(与点C重合,舍去), 此时点H的坐标为(-8,0); ②当HC=AC时,H在H2或H4处,则(n-8)2=80,解得n=8±4, 此时点H的坐标为(8+4,0)或(8-4,0); ③当AH=HC时,H在H3处,则n2+16=n2-16n+64,解得n=3, 此时点H的坐标为(3,0). 综上所述,存在以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形,点H的坐标为(-8,0)或(8+4,0)或(8-4,0)或(3,0). 10.如图,已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)与坐标轴交于A、B、C三点(A点在B点左侧),B(1,0),OC=3OB. 第10题图 (1)求抛物线的解析式; (2)若点D是抛物线上一动点,且在直线AC下方,求△ACD面积的最大值; (3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)∵B(1,0),∴OB=1, ∵OC=3OB,∴OC=3,∴C(0,-3), ∵抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)过B(1,0)、C(0,-3)两点, ∴,解得, ∴抛物线的解析式为y=x2+x-3; (2)如解图①,过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N, 在y=x2+x-3中,令y=0, 得x2+x-3=0,解得x1=-4,x2=1, ∴A(-4,0). 设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0), 将点A(-4,0)、C(0,-3)的坐标分别代入, 得,解得, ∴直线AC的解析式为y=-x-3, 设点D(x,x2+x-3),-4 ∴DM=-x-3-(x2+x-3) =-(x+2)2+3, ∴当x=-2时,DM取最大值为3, 此时S△ACD=DM·(AN+ON)=×4×DM=2×3=6, ∴△ACD面积的最大值为6; 第10题解图 (3)如解图②, (i)AC为平行四边形的边: ①当点P在x轴下方时,过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1,此时四边形ACP1E1为平行四边形, ∵C(0,-3), ∴设P1(x,-3), ∴x2+x-3=-3, 解得x1=0(舍去),x2=-3, ∴P1(-3,-3); ②当点P在x轴上方时,平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P, 当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形, ∵yC+yP=yA+yE=0, ∴点P的纵坐标为3, ∴设P(x,3), ∴x2+x-3=3, 解得x=或x=, ∴P2(,3)和P3(,3); (ii)AC为平行四边形的对角线,易得此时点P与点P1重合. 综上所述,存在3个符合题意的点P,其坐标分别是P1(-3,-3),P2(,3),P3(,3). 11.如图,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点. (1)请直接写出B、C两点的坐标,并求抛物线的解析式及顶点D的坐标; 第11题图 (2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P是第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标; (3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MN∥AB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t(秒),当t为何值时,存在△QMN为等腰直角三角形? 解: (1)B(4,0),C(0,3); 设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4), 把C(0,3)代入y=a(x+2)(x-4), 解得a=-, ∴抛物线的解析式为: y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+3, 又∵y=-x2+x+3=-(x-1)2+, ∴顶点D的坐标为(1,); 【解法提示】将x=0代入y=-x+3,解得y=3, ∴C(0,3), 将y=0代入y=-x+3,解得x=4, ∴B(4,0); (2)当DP∥BC时,由题知DE∥PF, 此时四边形DEFP是平行四边形, 设直线DP的解析式为y=mx+n, ∵直线BC的解析式为: y=-x+3, ∴m=-,∴y=-x+n, 把D(1,)代入y=-x+n,解得n=, ∴直线DP的解析式为y=-x+, ∴联立,解得x=3或x=1(舍去), ∴把x=3代入y=-x+,解得y=, ∴P的坐标为(3,); (3)由题意可知: 0≤t≤6, 设直线AC的解析式为: y=m1x+n1, 把A(-2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1, 得,解得, ∴直线AC的解析式为: y=x+3, 由题意知: QB=t, 如解图①,当∠NMQ=90°时,则OQ=4-t, 把x=4-t代入y=-x+3,得y=t, ∴M(4-t,t),MQ=t, ∵MN∥x轴,∴点N的纵坐标为t, 把y=t代入y=x+3,解得x=t-2, ∴N(t-2,t), ∴MN=(4-t)-(-2)=6-t, 当MN=MQ时,则6-t=t,解得t=, 此时QB=,符合题意; 如解图②,当∠QNM=90°时, ∵QB=t,∴点Q的坐标为(4-t,0) ∴把x=4-t代入y=x+3,得y=9-t, ∴N(4-t,9-t),∴NQ=9-t, ∵MN∥x轴,∴点M的纵坐标为9-t, ∴把y=9-t代入y=-x+3,解得x=2t-8, ∴M(2t-8,9-t), ∴MN=(2t-8)-(4-t)=3t-12, 当NQ=MN时,∴9-t=3t-12,解得t=, ∴此时QB=,符合题意; 如解图③,当∠NQM=90°, 过点Q作QE⊥MN于点E, 过点M作MF⊥x轴于点F, 设QE=a,把y=a代入y=-x+3, ∴x=4-a, ∴M(4-a,a), 把y=a代入y=x+3,∴x=a-2, ∴N(a-2,a), ∴MN=(4-a)-(a-2)=6-2a, 当MN=2QE时, ∴6-2a=2a,∴a=,∴M(2,) ∴MF=QE=EM=EN=QF=,OF=2, ∴OQ=OF-QF=,∴QB=OB-OQ=, ∴此时t=,符合题意, 综上所述,当t=或或时,存在△QMN为等腰直角三角形. 第11题解图
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