第1章 133 最大值与最小值.docx
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第1章133最大值与最小值
1.3.3 最大值与最小值
1.会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).(重点)
2.掌握含参数的最值问题的讨论.(难点)
3.掌握函数的极值与最值的联系与区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理 函数的最大(小)值与导数
阅读教材P32“例1”以上部分,完成下列问题.
1.函数的最大值与最小值.
(1)如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.
(2)如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.
函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最大(小)值,那么函数的最大(小)值惟一.
2.利用导数求函数的最值
求可导函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)上的极值;
(2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.
1.判断正误:
(1)函数的最大值一定是函数的极大值.( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值.( )
(3)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( )
【答案】
(1)×
(2)√ (3)×
2.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上________.(填序号)
①无最值; ②有极值;
③有最大值;④有最小值.
【解析】 f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.
【答案】 ①
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
_______________________________________________
解惑:
_______________________________________________
疑问2:
_______________________________________________
解惑:
_______________________________________________
疑问3:
_______________________________________________
解惑:
_______________________________________________
[小组合作型]
求函数在给定区间上的最值
求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-
x2-2x+5,x∈[-2,2];
(2)f(x)=e-x-ex,x∈[0,1].
【精彩点拨】 首先利用函数求极值,再比较极值与端点值的大小,确定最值.
【自主解答】
(1)f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
令f′(x)=0,得x1=-
,x2=1.
当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:
x
-2
-
1
(1,2)
2
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-1
7
从上表可知,函数f(x)在[-2,2]上的最大值是7,最小值是-1.
(2)f′(x)=
′-(ex)′=-
-ex=-
.
当x∈[0,1]时,f′(x)<0恒成立,
即f(x)在[0,1]上是减函数.
故当x=1时,f(x)有最小值f
(1)=
-e;
当x=0时,f(x)有最大值f(0)=e-0-e0=0.
求函数最值的四个步骤
(1)求函数的定义域;
(2)求f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)列出关于x,f(x),f′(x)的变化表;
(4)求极值、端点值,确定最值.
[再练一题]
1.(2016·盐城质检)函数y=x+2cosx在区间
上的最大值是________.
【导学号:
01580015】
【解析】 ∵y′=1-2sinx,x∈
,
令y′=0,得x=
.
由于f(0)=2,f
=
+
,f
=
,
∴函数的最大值为
+
.
【答案】
+
由函数的最值确定参数的值
已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
【精彩点拨】 首先求出f′(x).然后讨论a的正负,根据函数f(x)的单调性得出用a,b表示的函数的最值,从而列出关于a,b的方程组,求a,b.
【自主解答】 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.
求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
(1)当a>0,且x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
单调递增
b
单调递减
-16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,f
(2)=-16a+3 ∴f (2)=-16a+3=-29,解得a=2. (2)当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29. 又f(-1)=-7a-29, f (2)=-16a-29>f(-1), ∴f (2)=-16a-29=3,解得a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 1.本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值,同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响,且最值也受a的符号的影响,因此需要对a的符号进行分类讨论. 2.已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型,解决该类问题的基本方法是待定系数法,列出关于参数的方程(组),从而求出参数的值,但在用参数表示最值时,需要根据参数的情况分类讨论. [再练一题] 2.设
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