从高考题谈类比思想的作用.docx
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从高考题谈类比思想的作用
从高考题谈类比思想的作用
?
36?
中学教研(数学)2005年第2期
移至P1(A,P1,D1在
正方体的同一个侧面
内)或P2(过P作PP2
∥BC1交BC于P2,
A,B,P2在正方体的
同一个底面内,如图
10)时,问题立刻迎刃
而解了.由此可见,"数
学转化"对问题的解决
是何等的重要!
图10
解法3(向量法)
如图9,=(一4,0,4),商=(0,4,0)
设平面ABD1的法向量为:
(1,Y,z),则
?
=0,.=0,
且p{一4十4z=0,{j,=0,【4y=0,【2=1,
.
.
.
:
(1,0,1),
又=(一4,0,1),
.
.
.
可得P到平面ABD1的距离为
=
=:
学.
此解法并不复杂,但要求学生会用平面的法向
量来解决点到平面的距离的问题,这一点课本并没
有展开讨论.据此,笔者认为,适当拓宽空间向量的
应用范围,尤其是强化其在求角,距离等计算方面的
应用.也许是有意义的.
总之,2004年高考立几题(江苏卷)备受关注,大
家从不同的视角,见仁见智.但笔者认为,研究高考
题,应结合我们当前的新课程教学的实践,明了高考
的正确导向,认真思考我们正在进行着的立几
(9(B))的教学,才是最重要的.
参考文献
1全日制普通高级中学教科书(试验修订本-必修)
数学(第--~(-FB)),人民教育出版社,2002
22004年高考数学试题(江苏卷)
3渠东剑.把数学思考引向深入.中学教研(数学),
2004
(2)
考与中考?
?
高考与中考-?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考-?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与
从高考题谈类比思想的作用
●徐鸿斌蒋忠明(浙江台州市路桥中学318050)
中考
学
教
研
中
学
教
研
高考与中考?
高考与中考?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考?
?
高考与中考?
高考与中考-?
高考与中考?
?
高考与中考-?
高考与中考?
?
高考与中考
类比是指根据两个(或两类)不同的对象之间在
某些方面有相同或相似之处,猜测它们在其他方面
也可能相同或相似,并作出某种判断的推理方法.虽
然类比不能做为严格的推理方法,但是它在数学研
究中,根据事物间的相似点提出假设和猜想,把已知
事物的性质推广到类似事物等方面上有重大作用.
对此波利亚曾说过:
"没有这些思路(普遍化,特殊化
和类比的通用的基本思路),特别是没有类比,在初
等或高等数学中也许就不会有发现."开普勒也说
过:
"我最珍视类比,它是我最可信赖的老师.它知道
自然界的一切秘密,在几何学中尤其不能忽视它."
《全日制义务教育数学课程标准(实验稿》强调,
在教学中应把证明作为探索活动的自然延续和必要
发展,引导学生从问题出发,根据观察实验的结果,
运用归纳类比的方法首先得出猜想,然后再进行证
明,这十分有利于学生对证明的全面理解.在教学过
程中,为了培养学生数学创新意识,教师也要有意识
地渗透类比思想方法.
1一道典型的高考题
在平面几何里,有勾股定理:
"设AABC的两边
AB,AC互相垂直,则AB十AC=BC."拓展到空
间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面
积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:
"设三棱锥』4一BCD的3个侧面ABC,ACD,ADB
两两互相垂直,则——
.
(2003全国文史类第15题)
请你尝试解决这道高考题,也许通过这一问题
的解决,你会体验到类比这一思想方法的妙用.其正
2005年第2期中学教研(数学)?
37-
确答案是:
SA+SA④+SADB=S阳).
2类比思想的妙用举例
2.1通过平面与空间的类比,有助于发现新的结论
类比作为一种推理方法,它既不同于归纳推理
也不同于演绎推理,它是某种类型的迁移性,相似性
的推理方式.应用类比可以在两个不同的知识领域
之间实行知识的过渡.因此,人们常常把类比方法誉
为理智的桥梁,是信息转移的桥梁因此,我们在教
学过程中,要有意识地对学生进行直觉思维能力的
训练,着重训练学生的类比归纳猜想能力.
例1如图1,若从点.所作的两条射线OM,
ON上分别有点M1,M2与点N1,N2,则三角形
zxOM1N1与zxOM2N2的面U,TL比:
△CM22
g篇?
.如图2,若从点.所作的不在同一平面
上的三条射线OP,OQ和OR上,分别有点Pl'P2,
点Q1,Q2和点R1,R2,则类似的结论为——.
(2002年上海市春季高考试题)
0
0
图1图2
本题是平面几何与立体几何的类比,从图形上
有点与线,线与面,三角形与三棱锥进行类比.于是
就可以大胆地提出两三棱锥O—P1Q1R1与.一
P2Q:
Rz的体积之比Yo-PIQIRI
=
OP1
V0P
?
?
2.一
oRur2乙^2u^
它的证明思路也是由平面几何中面积公式类比而来
的.
事实上,如图3所示,连结P1Q1,Q1R1,R1P1,
P2Q2,Q2R2,R2P2,过R1,R2分别作平面OQP的
垂线,垂足为H1,H2,由o,Rl'R2三点共线知,o,
H1,H2三点也共线,
又'.'R1H1上平面OPQ,R2H2上平面OPQ,
.
'
.
R1H1∥R2H!
AOR1Hlco,'xOR21-12,
RlH1OR1
叶
R2H2OR2'
:
!
!
皇!
墨!
一c3.OP1Q1'RIH1
P2.2Rz号s△0P2H2
一
lOp
1"OQ1~sinLP10Q1鱼
oP2?
OQ2?
sinZP2O02R2H2
:
..
OP2O02OR2'
因此,上述类比是
确的
可见运用类比方法
关键是善于发现不同对
之间的"相似".它是以
个对象之间的类似为基础
的.波利亚说:
"两个系统图3
可作类比,如果它们各自的部分之间,在其可以清楚
定义的一些关系上一致的话."
例2o是AABC内任意一点,连结AO,130,
CO并延长交对边于A,B,C(如图4),则
AA+BB+CC=1...,一1'
这是平面几何中的一道例子,其证明常采用面
积法,即
0.4.OB.OC
AA.BB.CC
一—
SLx—
o~c++—
Szx—
OAB一一
1
S△腰.S△埘.S△腰S△腰
C
B
C
图4图5
我们可以运用类比法,得到猜想:
o是四面体内任意一点,连结AO,t30,CO,
DO并延长交对边于A,B,C,D(如图5),则
+BB+CC+DE)_1.A4一一一一'
?
38?
中学教研(数学)2005年第2期
事实上,上述结论是完全正确的.其证明方法也
完全可以类比面积法,即采用体积法证明:
OA.OB.OC.OD
AA.BB.CC.DD
vo一日0D.
vo—CDA.
Vo—DAB.
vo—ABC
一
一
肋
.
一
CnA
.
一
啪
.
一
ABc
一
!
=一1
VA—BED
2.2类比在解题中具有启迪思维的作用
经常有这样的情况:
长时间沉思于某一问题而
未得解决,然而在某一时刻,在其沉思圈子之外有一
个信息倒起了很大的启发作用,触发信息的过渡,使
问题得以解决,这往往得益于类比.正如康德所说:
"每当理解缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往
往能指引我们前进."特别是研究立体几何时,往往
会得益于平面几何中的类比问题.
类比的特性是:
两个对象的某些属性是相同的,
或者表面上毫无共同之处,只是在某种观点上或某
一
抽象层次上是相似的,它的结论不是简单的模仿
复制,而是创造性地设想.特别是当人们面临一个比
较生疏的问题时,往往可以联想一个比较熟悉的问
题作为类比对象,熟悉问题的解决途径和方法常可
以启发生疏问题的解决途径和方法.
例3在等差数列{n}中,若al0=0,则有等式
丑1+a2+…+丑
n
:
al+a2+…+a19一
(<19,∈
N.)成立.类比上述性质,相应地:
在等比数列{b}
中,若b9=1,则有等式——成立.
(2000年上海市高考试题)
本题是一道小巧而富有思考的妙题,主要考查
学生观察分析能力,抽象概括能力,运用类比的思想
方法由等差数列{a}而得到等比数列{b}的新的一
般性结论.笔者在教学测验时发现有三分之二的学
生得零分,究其原因,主要是学生习惯于收敛思维而
对类比不太理解,很多学生只套用已知结论公式,而
很少会创造性地解题
我们从更一般的角度来分析等差数列{},由
题设,如果丑:
0,那么有血】+丑2+…+丑=血】+丑2
+…+a2k一
卜(,z<2k一1,∈N)成立.又如果k
+=P+q,其中k,",P,q∈N.,对于等差数列
{n}则有ak+n,=n+口.;类比于等比数列{b},则
有bkb,=6,于是,我们又可类比得到新的结论:
如
果bk=1,则有等式6】b2…b=blb2…b2一1一(<
2k一1,∈N)成立.结合本题k=9,于是有b】b2
…
b,=b】b2…b】7一(7z<17,,z∈N).
在解题过程中,寻找解题的突破口,优化解题方
法,往往离不开类比联想.再比如,
例4如图6.从一块
边长为a的正三角形纸板
的三个角截去同样大小的
四边形,然后按虚线把三
边折起来做成一个无盖的
纸盒,要使纸盒的容积最
大,应取多少?
图6
分析为什么截去的
3个四边形是同样大/b?
所截得的四边形还有什么
特点?
如果截得的四边形大小不一样,会出现什么
后果?
解设截去的四边形的另一边长为^,也即纸
盒的高为
h?
tan30.=.
底面积s=吉(a一2)?
sin60.:
等(n一2).
因此,无盖纸盒的容积为
V=hS=譬?
鲁(a一2x)=丢?
(a一2z),
因为口一2x>0,4x>0,(口一2)+(口一2x)+
4x=2a(常数),
所以V=÷?
(口一2x)
=
丢?
丢(n一2x)2.4
≤?
(弩)3:
a,3.
当且仅当n一2x4x,即詈时,大:
.
类比1如果将上题中的"正三角形纸板"换成
"正方形纸板".
如图7,从一块边长为a的正方形纸板的四角
截去同样大小的四边形,然后按虚线把四边折起来
做成一个无盖的纸盒,要使纸盒的容积最大,小四边
形的一边长应取多少?
分析类比上一题,我们不难分析出:
截去的4
个四边形不但同样大小,而且都是小正方形,为什
2005年第2期中学教研(数学)?
39?
≤(号.)=.
当n一2x4,即詈时,Vt~
?
tan2?
口0
54''
注:
当=3时,=30.,最大=a3
当=4时,=45.,t~一-万2a3.
图8图9
类比3如果将"正方形"变为"矩形","菱形",
情况又将如何?
比如:
如图9,长为n,宽为b的矩形(a≠b),从
4个角截去同样大小的边长为St?
的正方形,然后按
虚线把它折起来做成一个无盖的纸盒,要使纸盒的
容积最大,St?
应取多少?
请同学们自己去探究.
经历类比3后,可让学生展开联想的翅膀,透过
现象看本质,是否还可以从中挖掘出更一般的结论
来呢?
和经验归纳法一样,类比也是一种探索性的推
理方法,其优势是具有较强的创造性,它是利用原有
认知结构,借助类比,可以有效地学习新知,掌握新
知,对已有知识进一步作恰当类比,又可以将这些知
识有机地系统起来.
参考文献
1波利亚.数学与猜想.北京:
科学出版社,1984
2徐斌艳等数学课程与教学论.杭州:
浙江教育出
版社.2003
3肖柏荣,潘娉娇.数学思想方法及其教学示例.南
京:
江苏教育出
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- 考题 类比 思想 作用