抛物线焦点弦问题.docx
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抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题
河北省武安市第一中学郅武强
抛物线焦点弦问题较多,由焦点引出弦的几何性较集中,现总结如下:
一.弦长问题:
例斜率为1的直线经过抛物线
24yx=的焦点,与抛物线相交A.B两点,求线段AB的长。
分析:
利用弦长公式12
dx=-能解此题,但运算量较大也较复杂,如果能够运
根据抛物线的定义,11
AFx=+同理21
BFx=+
于是得
122
ABAFBFxx=+=++
由题已知
{
21
4yxyx
=-=消去y得2
610xx-+=
故126xx+=∴628
AB=+=注:
焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式:
12ABxxp
=++或
12AByyp
=++。
二.通径最短问题:
例:
已知抛物线的标准方程为2
2ypx=,直线l过焦点,和抛物线交与A.B两点,求
AB的最小值并求直线方程。
解:
①如果直线l的斜率不存在,则直线l的方程为
2p
x=
2ABp=
②如果斜率存在,不妨设斜率为k,则直线的方程为
(
2pykx=-,与抛物线方程联立方程组得
22(2ypx
pykx==-⎧⎨⎩消去y得22222
(204kpkxkppx-++=
若0k≠则222
440kpp∆=+>
1222p
xxpk+=+
则
1222222ppABxxppppkk=++=+
+=+
当k→∞时AB
最小即min2ABp=此时2p
x=
三.两个定值问题:
例:
过抛物线2
2ypx=的焦点的一条直线和抛物线相交,两个焦点的横、纵坐标为1x、2x、
1y、2y,求证:
2
114pxy=
,212yyp=-。
证明:
①联立22(2ypxpykx==-⎧⎨⎩消去y得22222
(20(0
4kpkxkppxk-++=≠
2
124pxx=
同理消去y可得2
12yyp=-;
②斜率为0时,直线与抛物线不能有两个交点;
③斜率不存在时,2
114pxy=,2
12yyp=-同样是定值;从上所述:
2
114pxy=,2
12yyp=-
四.一个特殊直角问题:
过抛物线2
2(0ypxP=>的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点,若点A、B在抛物线
的准线上的射影分别是1A,1B求证:
1190AFB︒
∠=。
设A坐标为(1x,1y)B坐标为(2x,2y)
11(,2pAy-,12(,
2pBy-
12(,FBPy=-,12(,FBPy=-
2
1212FAFAPyy⋅=+又由上题可知120FAFA⋅=,212yyP=-。
五.线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题
例:
定长为3的线段AB的两端点在抛物线2
yx=上移动,设点M为线段AB的中点,求
点M到y轴的最小距离。
解:
抛物线焦点1(,04F,准线
1
:
4lx=-
,设点A、B、M在准线l上的射影分别是1A、1B、1M,设点00(,Mxy则
111111(22AABBAABBAB+=
+≥又
1014MMx=+
3AB=∴01342x+≥,所以
5
4x≥,
即0x的最小值是5
4
∴点M到y轴的最小距离是5
4,当且仅当AB过点F
是取得最小距离。
六.一条特殊的平行线
例:
过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:
直线MQ平行于抛物线的对称轴。
设抛物线的标准方程为22ypx=,设P、Q的坐标为
11(,xy,22(,xy
则PO的直线坐标为
11(,22PyPx--又2112yxp=带入M的纵坐标2112
111222PyPyPyyxyp-=-=-=
又2
2
1212PyyPyy-=-⇒=⇒
M的坐标为02yy=故直线MQ平行于抛物线的对称轴。
七.一个特殊圆
例:
求证:
以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
证明:
设抛物线的方程为2
2ypx=,则焦点(,02PF,
准线2P
x=-
,设以过焦点F的弦AB为直径的圆的
圆心M,A、B、M在准线l上的射影分别是
1A、1B、1M则11AABBAFBFAB
+=+=
又
111
2AABBMM+=
∴
11
2MMAB=
,即1MM为以AB为直径的圆的半径,且准线l⊥1MM
∴命题成立。
本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质,认识这几条性质可以更清楚地认识抛物线。
八.一个特殊值:
例:
已知抛物线
2
11212(2
12422112
2412121121122(,2(
24
pp
xypykxpypxxxxxppmnypxnxnpAxyppmnpmnmnpxxxx+=+=-==⎧⎧+++⎪=+==+=⇒+===⎨⎨⎪⎩⎩++22ypx=过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两部分,则
112
mnp
+=
①假设直线AB的斜率不存在则
112mnpmnp
==⇒
+=②若AB的斜率存在,不妨设斜率为k则直线AB的方程为
2(2
2pykxypx=-=⎧⎨⎩
设1
1
(,Axy,2
2
(,Bxy则2
11122
4pxypp
xx+=+=⎧⎪⎨⎪⎩
又12pmx=+
22
p
nx=+1221212112
(
24
xxpmn
ppmnmn
pxxxx++++===++
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