抛物线的概念与性质.docx
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抛物线的概念与性质
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精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
年级:
高二辅导科目:
数学课时数:
3
课题抛物线概念与性质
1、掌握抛物线的定义,掌握抛物线的四种标准方程;
教学目标2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程;应用抛物线定义解决一些与焦点
弦长有关的问题。
教学内容
一、知识梳理
1、抛物线的定义
定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F
叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。
思考:
如果定点F在定直线l上,动点的轨迹是什么?
2、抛物线的标准方程和性质
标准方程图形顶点对称轴焦点准线
2(0,0)x轴
y2px
(
p
2
0)
x
p
2
2(0,0)x轴
y2px
(-
p
2
0)
x
p
2
2(0,0)y轴
x2py
(0,
p
2
)
y
p
2
2(0,0)y轴
x2py
(0,-
p
2
)
y
p
2
我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。
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3、直线与抛物线
它们的位置关系无外乎三种情况,即相切、相交、相离。
具体来说:
1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决;
2、只有一个公共点,对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行;
3、有两相异的公共点,表示相割,此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。
常见的问题有:
(1)直线与圆锥曲线位置关系的研究。
包括位置关系的判定,位置关系与参数值,位置关系与曲线方程等。
(2)直线与圆锥曲线相交成弦的问题。
包括弦长的计算,弦的中点,最值,由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程,对称性问
题等等。
弦长的求法:
由
F(x,y)0
AxByC
0
2
axbxc0(a0)
,
弦长
22
d(xx)(1k)
12
2
1k(kl)
为直线斜率.
|a|
注意:
消去x可得关于y的二元方程有
11
2
d(yy)
(1)1
1222
kk|a|
(k为直线l斜率).
求解的基本策略是,将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题,进而转化为一元二次方程的实
根问题,因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用,以及设而不求、整体代入、数形结合的思想
方法技巧在这里起着极为重要的作用。
4、抛物线的特殊性质
2
(1)过抛物线y2px
(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,设FAm,
FBn,O为原点,则有:
(1)
2
p
xx;
(2)
12
4
2
y1yp;(3)kOAkOB4;(4)
2
1
m
1
n
2
p
。
2(p0)于(,)
(2)直线l交抛物线y2pxAx1y、B(x2,y2)两点,O为原点,若OA⊥OB,则直线l经
1
过定点(2p,0),
2
y1y4p,反之亦然(证明略)。
2
二、例题解析
1、抛物线
2
y2x的准线为___
11
y____,焦点坐标为______(0,)
88
2、已知圆2y6x70y2pxp的准线相切,则p_______2
2
x,与抛物线2(0)
3、点M与点F(4,0)的距离比它到直线:
x50的距离小1,则点M的轨迹方程是
2
___________y16x
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2
4、抛物线y2px
22
xy
有一个共同的焦点,则P的取值范围是______(0,18)
(p0)与椭圆1
9m
2
5、抛物线y16x
上一点P到x轴的距离为12,则点P到焦点的距离为__________13
6、一个正三角形的顶点都在抛物线
24
yx上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的面积是(A)
(A)483(B)243(C)
163
9
(D)463
7、若点A的坐标是(3,2),F为抛物线y
2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MA|+|MF|取最小值的M的
坐标为_____(2,2)_
2
8、若抛物线y(k1)x
2y2
与双曲线x10没有公共点,则实数k的取值范围为______(1.1)(1,3)
9、求顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程。
2或2
解:
直线L与X轴交点(4,0),与Y轴交点(0,-3)所以抛物线方程为y16xx12y
焦点弦有关的问题
2
1、已知P(x0,y0)是抛物线y2px
上的点,F是该抛物线的焦点,求证:
p
|PF|x0.
2
[说明]利用抛物线的定义,将点P到焦点的距离转化为到准线的距离,|PF|称为抛物线的焦半径.
证明:
过点(0,y)
Px作准线
0
pp
l:
x的垂线,垂足为Q,则Q(,y0).根据抛物线的定义,
22
pp
|PF||PQ|x0()x0.
22
2
2、在抛物线y=8x上一点到x轴的距离为4,则该点到焦点F的距离为6
3、在抛物线y
2=8x上与焦点F的距离等于6的点的坐标为.4,42
4、过抛物线y
2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=
(A)
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A.8B.10C.6D.4
5、过抛物线
2
yaxa0的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ得长分别是p、q,
则
11
pq
等于(C)
1
A2aBC4aD
2a
解析:
考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于x轴。
4
a
2
6、抛物线y2px
(p0)上有A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点,F是它的焦点,若AF、BF、
CF成等差数列,则(A)
Ax1,x2,x3成等差数列Bx1,x3,x2成等差数列
Cy1,y2,y3成等差数列Dy1,y3,y2成等差数列
2的焦点弦,若AB4,则AB的中点到直线2x10的距离是________
7、AB是抛物线yx
9
4
2
8、若抛物线y4x
的焦点弦长为5,求焦点弦所在直线方程.
[说明]根据焦半径公式,焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示.
解:
抛物线的焦点为F(1,0).设焦点弦的两个端点分别为(1,y)
Ax、B(x2,y2).
1
pp
由条件,AB)25,所以x1x23.
|||AF||BF|(x1)(x2x1x2
22
如果直线AB平行于y轴,那么x1x1,这与x1x23矛盾,所以直线AB不平行于y轴.
2
设焦点弦所在直线方程为yk(x1),联立方程
y
y
k(x
2x
4,
1),
2xk2xk2
2
消去y,得到k2
(2)0,
2
2(k2)
根据韦达定理,x3,求出k2,于是焦点弦所在直线AB的方程为2xy20.
x
1k
2
2
2
9、过抛物线y8x
的焦点F作抛物线的弦AB,当AB32时,求直线AB倾斜角的大小。
答案:
2
1
k,所以倾斜角为
3
00
30或150
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10、已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,1)到焦点的距离是3,求抛物线的方程、
准线方程、焦点坐标以及m的值。
[说明]根据点M的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下,进而确定抛物线的方程形式.
2pyp
解:
设抛物线方程为x2(0),其准线方程为
p
y.
2
p
根据抛物线的定义,有13
2
,所以p4.
2
抛物线的方程为x8y
,准线方程为y2,焦点坐标为F(0,2),将点M(m,1)的坐标代入方程
2
x8y
,算得m22
直线与抛物线
1、抛物线
2
yx上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是(A)
A.(1,1)B.(
1
2
1
4
39
)C.)
(,D.(2,4)
24
2
2、过点(0,1)作直线,使它与抛物线y4x
仅有一个公共点,这样的直线有(C)
A.1条B.2条C.3条D.0条
2
3、直线yxm交抛物线xy
于A、B两点,若OAOB,则m_______1
4、抛物线y
2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为43,则焦点到AB的距离为2
5、过A(-1,1),且与抛物线
22
yx有一个公共点的直线方程为222xy1220
及X=-1
2
6、在抛物线y8x
中,以(1.1)为中心的弦所在的直线方程为_________4xy30
2pxp
7、已知直线l过点A(4,0)且与抛物线C:
y2(0)交于P、Q两点,若以PQ为直径的圆恒过原点O,
求抛物线C的方程。
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8、给定直线l:
y2x16,抛物线C:
2(0)
yaxa。
(1)当抛物线C的焦点在直线l上时,确定抛物线C的方程。
(2)若△ABC的三个顶点都在
(1)所确定的抛物线C上,且点A的纵坐标y8,△ABC的重心恰在抛物
A
线C的焦点上,求直线BC的方程。
2
答案:
(1)y32x
2
(2)y8.代入y32x
A
2
得xA2则A(8,2),设Cx1,y1Bx2,y2.lAB直线方程代入y32x
由韦达定理及重心坐标公式
x
1
y
y
x
2
3
y
2
3
2
8
8
0
求得
1
b10,k.lBC:
4xy400
4
9、已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:
x1相切,点C在l上。
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P且斜率为3的直线与曲线M相交于A、B两点,求线段AB的长;
(3)问:
△ABC能否为正三角形?
若能,求点C的坐标;若不能,说明理由。
解:
(1)因为动圆M过定点P(1,0),且与定直线l:
x1相切
所以由抛物线定义知:
圆心M的轨迹是以定点P(1,0)为焦点,定直线l:
x1为准线的抛物线
2
所以圆心M的轨迹方程为y4x
------4分
(2)由题知,直线AB的方程为y3(x1)------6分
所以
y
2
y
3(
4x
x
1)123
解得:
),(3,23)
A(,B------8分
33
16
|AB|----10分
3
(3)假设△ABC能为正三角形,则设点C的坐标为(1,y)---11分
由题知
16
|AB||AC||BC|13分
3
即:
42316
2)
2222
()(y)4(y23)(------14分
333
由于上述方程无实数解,因此直线l上不存在这样的点C。
------16分
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10、若抛物线
2
y2x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线yxm对称,且
1
x1x,求m的值。
2
2
答案:
m
3
2
2
11、若抛物线yax1上存在关于直线x+y=0对称的两点,求a的范围。
2
[解析]:
提示:
设A(m,n),B(-n,-m)为抛物线yax1上关于x+y=0对称的两点,则
2
nam1
(1)
2
m
an
1
(2)
1
(1)-
(2)得(0)
mnmn(3)
a
2m2ama2aa
2
(1)+(3)得a
(1)0,故判别式a4
(1)0,又a≠0
∴
a
3
4
三、总结与反思
四、课后作业
1、抛物线
2
x
y的准线方程是(C)
8
A.
1
xB.
32
1
xC.y=2D.y=4
4
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2y2
2、与椭圆4x520有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线方程是(B)
2B.y24xC.x24yD.x4y
2
A.y4x
2pxp
3、已知A、B是抛物线y2(0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物
线的焦点,则直线AB的方程是(C)
3
A.x=pB.xp
2
5
C.xp
2
D.3p
4、已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为(D)
2B.x24yC.x24yD.x8y
A.x8y
2
5、已知抛物线x2=4y,过焦点F,倾斜角为
2=4y,过焦点F,倾斜角为
4
的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB的长为(A)
A.8B.42C.6D.32
6、过点M(2,4)作与抛物线y
2=8x只有一个公共点的直线l有(C)
A.0条B.1条C.2条D.3条
2
7、直线ykx2与抛物线y8x
交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值为()
(A)1或2(B)1(C)2(D)13
8、抛物线y
2=8x的焦点为F、P在抛物线上,若|PF|=5,则P点的坐标为(C)
A.(3,26)B.(3,-26)
C.(3,26)或(3,-26)D.(-3,26)或(-3,-26)
9、设F为抛物线y
2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若FAFBFC0则|FA|+|FB|+|FC|=(B)
(A)9(B)6(C)4(D)3
2
10、动圆M经过点A3,0且与直线l:
x3相切,则M的轨迹方程为y12x
2
11、若点M到点F1,0的距离比它到直线x0的距离大1,则点M的轨迹方程为y4x
或
y0x0
2
12、抛物线y4x
上的两点A、B到焦点的距离之和为10,则线段AB中点到y轴的距离为4
2
13、顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线3x4y12上的抛物线方程是y16x
或
2
x12
y
14、等腰直角三角形AOB内接于抛物线y
2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积为
2
4p
2
15、抛物线y=4x
上的点到直线y=4x-5的最近距离是
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16、顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线,截直线2xy10所得弦长为15,求抛物线方程。
2
答案:
y12x
2
或y4x
2
17、已知直线l:
yxm与抛物线y4x
交于A、B两点,
(1)若AB10,求m的值;
(2)若OAOB,求m的值.
解:
设Ax1,y1、Bx2,y2
(1)
y
y
xm
2mxm2
2240
x------------------------------1分
4x
2m4
2
2
4m
0
x
1
x
2
42m
-----------------------------------------------2分
xx
12
2
m
ABx1x210,42m210,m2---------------2分
2
m1,m2---------------------------------------------------------1分
(2)OAOB,x1x2y1y20-----------------------------------1分
x1xxmxm0,
212
2
2x1xmxxm0-----------------------------------------2分
212
2mmm
2
2m420,
2m
m40,m0orm4,---------------------------------2分
经检验m4满足-------------------------------------------------------1分
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