全等三角形试题汇编学生版.docx
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全等三角形试题汇编学生版
全等三角形试题汇编
1.如图①,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,AB=AC,AD=AE,然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,连接BD,CE,得到图②,将BD、CE分别延长至M、N,使DM=
BD,EN=
CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)在图②中,BD与CE的数量关系是 ;
(2)在图③中,猜想AM与AN的数量关系,∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想.
2.已知:
在△ABC中,D为BC边上一点,B,C两点到直线AD的距离相等.
(1)如图1,若△ABC是等腰三角形,AB=AC,则点D的位置在 ;
(2)如图2,若△ABC是任意一个锐角三角形,猜想点D的位置是否发生变化,请补全图形并加以证明;
(3)如图3,当△ABC是直角三角形,∠A=90°,并且点D满足
(2)的位置条件,用等式表示线段AB,AC,AD之间的数量关系并加以证明.
3.在△DEF中,DE=DF,点B在EF边上,且∠EBD=60°,C是射线BD上的一个动点(不与点B重合,且BC≠BE),在射线BE上截取BA=BC,连接AC.
(1)当点C在线段BD上时,
①若点C与点D重合,请根据题意补全图1,并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ;
②如图2,若点C不与点D重合,请证明AE=BF+CD;
(2)当点C在线段BD的延长线上时,用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).
4.如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴上,点B是第一象限的点,且AB⊥y轴,且AB=OA,点C是线段OA上任意一点,连接BC,作BD⊥BC,交x轴于点D.
(1)依题意补全图1;
(2)用等式表示线段OA,AC与OD之间的数量关系,并证明;
②连接CD,作∠CBD的平分线,交CD边于点H,连接AH,求∠BAH的度数.
5.已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.
(1)判断AC与图中的那条线段相等,并证明你的结论;
(2)若CE的长为
,求BG的长.
6.在△ABC中,AD是△ABC的角平分线.
(1)如图1,过C作CE∥AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连接AF,求证:
AF⊥AD;
(2)如图2,M为BC的中点,过M作MN∥AD交AC于点N,若AB=4,AC=7,求NC的长.
7.阅读材料,解答问题:
在数学课上,李老师和同学们一起探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角的平分线,作法如下:
①如图1,在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE;
②分别以D、E为圆心,以大于
的长为半径作弧,两弧交于点C;
③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.
小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角平分线,作法如下:
①如图2,利用三角板上的刻度,在OA和OB上
分别画点M、N,使OM=ON;
②分别过点M、N作OM、ON的垂线,交于点P;
③作射线OP,则OP就是∠AOB的平分线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线.
请你按要求完成下列问题:
(1)李老师用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的方法是 .
(2)小聪的作法正确吗?
请说明理由.
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法(要求:
画出图形,并简述过程和理由)
8.
(1)已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线AF交BC于F,BD⊥AF于D,CE⊥AF于E.求证:
DE=BD﹣EC.
(2)对于
(1)中的条件改为:
直线AF在△ABC外,与BC的延长线相交于F,其他条件不变,上述结论仍成立吗?
(请画出图形)若不成立,请写出正确的关系式.(不用证明)
9.已知:
如图,△ABC和△DEF都是等腰直角三角板,∠BAC=90°,∠EDF=90°.
(1)请你利用这两块三角板画出BC的中点(用示意图表示);
(2)当我们把△DEF的顶点E与A点重合时,使ED、EF与BC相交,设交点为P、G(点P在点G的左侧),你能否证明BP+CG与PG的关系,请你完成自己的证明.
10.已知,如图,三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AB的中点,直线l经过点C,分别过点A、B作l的垂线,即AD⊥CE,BE⊥CE,
(1)如图1,当CE位于点F的右侧时,求证:
△ADC≌△CEB;
(2)如图2,当CE位于点F的左侧时,求证:
ED=BE﹣AD;
(3)如图3,当CE在△ABC的外部时,试猜想ED、AD、BE之间的数量关系,并证明你的猜想.
11.如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M.
(1)求证:
△EGM为等腰三角形;
(2)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论.
12.已知:
如图,在△ABC中,如果∠A是锐角,点D,E分别在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=
∠A.
求证:
BD=CE.
13.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,作∠ACM,使得∠ACM=
∠ABC,点D是直线BC上的动点,过点D作直线CM的垂线,垂足为E,交直线AC于F.
(1)当点D与点B重合时,如图1所示,DF与EC的数量关系是 ;
(2)当点D在直线BC上运动时,DF和EC是否始终保持上述数量关系呢?
请你画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形,并证明此时DF与EC的数量关系.
14.已知:
在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上(点E不与点C、D重合),且∠EAC=2∠EBC.
(1)如图1,若∠EBC=27°,且EB=EC,则∠DEB= °,∠AEC= °.
(2)如图2,
①求证:
AE+AC=BC;
②若∠ECB=30°,且AC=BE,求∠EBC的度数.
15.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=BC,CE=EA.试探究线段EF与EG的数量关系,并加以证明.
16.在平面直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,点B与点C都在x轴上,且点B在点C的左侧,满足BC=OA,若﹣3am﹣1b2与anb2n﹣2是同类项且OA=m,OB=n.
(1)m= ;n= .
(2)点C的坐标是 .
(3)若坐标平面内存在一点D,满足△BCD全等△ABO,试求点D的坐标.
17.已知:
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°.
(1)按要求作图:
(保留作图痕迹)
①延长BC到点D,使CD=BC;
②延长CA到点E,使AE=2CA;
③连接AD,BE并猜想线段AD与BE的大小关系;
(2)证明
(1)中你对线段AD与BE大小关系的猜想.
18.已知△ABC中,M为BC的中点,直线m绕点A旋转,过B,M,C分别作BD⊥m于点D,ME⊥m于点E,CF⊥m于点F.当直线m经过点B时,如图1,可以得到
.
(1)当直线m不经过B点,旋转到如图2,图3的位置时,线段BD,ME,CF之间有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想.
图2,猜想:
;
图3,猜想:
.
(2)选择第
(1)问中任意一种猜想加以证明.
19.如图1,有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°,点D在边AB上,且AD=BD=CD.△EDF绕着点D旋转,边DE,DF分别交边AC于点M,K.
(1)如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK MK(填“>”,“<”或“=”),你的依据是 ;
(2)如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK MK(填“>”或“<”);
(3)猜想:
如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK MK,试证明你的猜想.
20.阅读材料,解答问题
数学课上,同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法.
小惠说:
如图1,我用相同的两块含30°角的直角三角板可以画角的平分线.画法如下:
(1)在∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON;
(2)把直角三角板按如图所示的位置放置,两斜边交于点P.
射线OP是∠AOB的平分线.
小旭说:
我只用刻度尺就可以画角平分线.
请你也参与探讨,解决以下问题:
(1)小惠的做法正确吗?
说明理由;
(2)请你和小旭一样,只用刻度尺画出图2中∠QRS的平分线,并简述画图的过程.
21.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,D在BC上,AD=DC.
(1)求∠BAD的大小.
(2)若BD=1,求点D到AC的距离.
(3)在
(2)的条件下,求△ADC的AD边上的高线长.
22.如图,点E在线段AB上,AD⊥AB,BC⊥AB,△DEC是等腰直角三角形,且∠DEC=90°.求证:
AB=AD+BC.
23.在Rt△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,点D为射线AB上一点,连接CD,过点C作线段CD的垂线l,在直线l上,分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF,连接AE、BF.
(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A、B重合),如图1
①请你将图形补充完整;
②线段BF、AD所在直线的位置关系为 ,线段BF、AD的数量关系为 ;
(2)当点D在线段AB的延长线上时,如图2
①请你将图形补充完整;
②在
(1)中②问的结论是否仍然成立?
如果成立请进行证明,如果不成立,请说明理由.
24.在△ABC中,AB=AC,点D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段CB上,且∠BAC=90°时,那么∠DCE= 度;
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①如图2,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图3,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图3补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需证明).
(3)结论:
α与β之间的数量关系是 .
25.阅读下列材料:
如图1,在四边形ABCD中,已知∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°.求证:
CD=AB.
小刚是这样思考的:
由已知可得,∠CAB=30°,∠DAC=75°,∠DCA=60°,∠ACB+∠DAC=180°,由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E,则AB=AE,∠E=∠D.
在△ADC与△CEA中,
∵
∴△ADC≌△CEA,
得CD=AE=AB.
请你参考小刚同学思考问题的方法,解决下面问题:
如图2,在四边形ABCD中,若∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D,请问:
CD与AB是否相等?
若相等,请你给出证明;若不相等,请说明理由.
26.已知:
∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.
(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:
AB+AD=AC;
(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想
(1)中的结论是否发生改变并说明理由.
27.已知:
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,过点C作BC的垂线l,把一个足够大的三角板的直角顶点放到点A处(三角板和△ABC在同一平面内),绕着点A旋转三角板,使三角板的直角边AM与直线BC交于点D,另一条直角边AN与直线l交于点E.
(1)当三角板旋转到图1位置时,若AC=
,求四边形ADCE的面积;
(2)在三角板旋转的过程中,请探究∠EDC与∠BAD的数量关系,并证明.
28.请阅读下列材料:
问题:
将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图1所示的方式摆放.其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N.探究线段OM与ON的数量关系.
小聪同学的思路是:
连接OC,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)直接写出上面问题中线段OM与ON的数量关系;
(2)将这幅直角三角板如图2所示的方式摆放.使点D落在BA的延长线上,DE∥AC,FD的延长线与CA的延长线交于点M,BC的延长线与DE交于点N.点O是AB的中点.连接ON、OM、MN.请你判断线段OM与ON的数量关系和位置关系,并证明你的结论.
29.已知:
在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC平分∠BAD,在DA的延长线上任取一点E,连接EC,作∠ECF=
∠BCD,使CF与AB的延长线交于F、连接EF,请画出完整图形,探究:
线段BF、EF、ED之间具有怎样的数量关系,并说明理由.
30.已知在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB与M,DN⊥AC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关系?
试证明你的发现.
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