全国卷2文科数学试题及答案解析.docx
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全国卷2文科数学试题及答案解析
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
学@科网
1.i23i
A.32iB.32iC.32iD.32i
2.已知集合A1,3,5,7,B2,3,4,5,则AB
A.3B.5C.3,5D.1,2,3,4,5,7
3.函数
fx
xx
ee
2
x
的图像大致为
4.已知向量a,b满足|a|1,ab1,则a(2ab)
A.4B.3C.2D.0
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3
6.双曲线
22
xy
221(a0,b0)
ab
的离心率为3,则其渐近线方程为
A.y2xB.y3xC.2
yxD.
2
3
yx
2
7.在△ABC中,cos5
C
25
,BC1,AC5,则AB
A.42B.30C.29D.25
.资料
11111
8.为计算S1,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
23499100
开始
N0,T0
i1
是否
i100
NN
1
i
SNT
1
输出S
TT
i1
结束
A.ii1B.ii2
C.ii3D.ii4
9.在正方体
ABCDABCD中,E为棱CC的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为
11111
A.2
2
B.
3
2
C.
5
2
D.7
2
10.若f(x)cosxsinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是
A.
π
4
B.
π
2
C.
3π
4
D.π
11.已知
F,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F160,则C的离心率
1
为
A.
1
3
2
B.23C.
31
2
D.31
12.已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x).若f
(1),2则
f
(1)f
(2)f(f(50)
A.50B.0C.2D.50
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________.
x2y5≥0,
14.若x,y满足约束条件x2y3≥0,则zxy的最大值为__________.
x50,
≤
15.已知
5π1
tan()
α,则tanα__________.
45
16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30,若△SAB的面积为8,则
.资料
该圆锥的体积为__________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。
第22、23为选考题。
考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
记
S为等差数列{an}的前n项和,已知a17,S315.
n
(1)求{}
a的通项公式;
n
(2)求
S,并求Sn的最小值.
n
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000
年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,,17)建立模型①:
y?
30.413.5t;根据2010年
至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,,7)建立模型②:
y?
9917.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
19.(12分)
如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,PAPBPCAC4,O为AC的中点.
.资料
(1)证明:
PO平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC2MB,求点C到平面POM的距离.
20.(12分)
设抛物线
24
C:
yx的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
21.(12分)
已知函数1321
fxxaxx.
3
(1)若a3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:
f(x)只有一个零点.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x2cosθ,
(θ为参数),直线l的参数方程为
y4sinθ
x1tcosα,
y2tsinα
(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
设函数f(x)5|xa||x2|.
(1)当a1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
.资料
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.D2.C3.B4.B5.D6.A
7.A8.B9.C10.C11.D12.C
二、填空题
13.y=2x–214.915.
3
2
16.8π
三、解答题
17.解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
2
(2)由
(1)得Sn=n–8n=(n–4)
2
–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
y
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$=99+17.5×9=256.5(亿元).
y
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一
条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年
.资料
至2016年的数据建立的线性模型$y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变
化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1
亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更
可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.学科@网
19.解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.
连结OB.因为AB=BC=
2
2
AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=
1
2
AC=2.
由
222
OPOBPB知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由
(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC=
1
2
AC=2,CM=
2
3
BC=
42
3
,∠ACB=45°.
所以OM=25
3
,CH=
OCMCsinACB
OM
=45
5
.
所以点C到平面POM的距离为45
5
.
20.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
.资料
由
yk(x1)
2
y4x
得
22(224)20
kxkxk.
2
16k160,故
2
2k4
xx
122
k
.
所以
2
4k4
ABAFBF(x1)(x1)
122
k
.
2
4k4
由题设知
2
k
8
,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由
(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
y2(x3),即yx5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
yx5
,
00
2
(yx1)
200
(x1)16.
0
2
解得
x
0
y
0
3,
或
2
x
0
y
0
11,
6.
因此所求圆的方程为
22
(x3)(y2)16或
22
(x11)(y6)144.
21.解:
(1)当a=3时,f(x)=
1
3
32
xxx,f′(x)=
333
2
x6x3.
令f′(x)=0解得x=323或x=323.
当x∈(–∞,323)∪(323,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(323,323)时,f′(x)<0.
故f(x)在(–∞,323),(323,+∞)单调递增,在(323,323)单调递减.
(2)由于
2
xx,所以f(x)0等价于
10
3
x
23a0
xx1
.
设g(x)=
3
x
23a
xx1
,则g′(x)=
22
x(x2x3)
22
(xx1)
≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在
(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.学·科网
又f(3a–1)=
21121
626()0
aaa,f(3a+1)=
366
1
3
0
,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
.资料
22.解:
(1)曲线C的直角坐标方程为
22
xy
416
1
.
当cos0时,l的直角坐标方程为ytanx2tan,
当cos0时,l的直角坐标方程为x1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程
22
(13cos)t4(2cossin)t80.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为
t,t2,则t1t20.
1
4(2cossin)
又由①得122
13cos
tt,故2cossin0,于是直线l的斜率ktan2.
23.解:
(1)当a1时,
2x4,x1,
f(x)2,1x2,
2x6,x2.
可得f(x)0的解集为{x|2x3}.
(2)f(x)1等价于|xa||x2|4.
而|xa||x2||a2|,且当x2时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.
由|a2|4可得a6或a2,所以a的取值范围是(,6][2,).
.资料
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