精品初一复习课件实际问题与一元一次方程一.docx
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精品初一复习课件实际问题与一元一次方程一
实际问题与一元一次方程
(一)
知识集结
知识元
相遇问题
知识讲解
相遇问题是路程问题中常见的基础题目,也是中考中常考的题型之一。
搞清楚路程、速度、时间三者的关系式,利用线路图进行分析,直线型的相等关系为:
两者路程的和等于两者相距的路程;环形跑道问题的相等关系为:
同时同地出发时,首次相遇时两者路程的和等于一圈的长。
例题精讲
相遇问题
例1.
两人骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行,2小时后相遇。
已知甲骑车每小时比乙每小时多走2千米,求甲,乙两人的速度。
【答案】
甲的速度为16千米/时,乙的速度为14千米/时
【解析】
题干解析:
相等关系为:
甲走的路程+乙走的路程=60解:
设甲的速度为x千米/时,乙的速度为(x-2)千米/时,由题意,得:
2x+2(x-2)=604x=64x=16x-2=14答:
甲的速度为16千米/时,乙的速度为14千米/时。
例2.
甲、乙两人同时同地同向而行,甲的速度是4千米/小时,乙的速度比甲慢,半小时后,甲调头往回走,再走10分钟与乙相遇,求乙的速度.
【答案】
乙的速度为2千米/时
【解析】
题干解析:
画出线路图,分清数量关系,相等关系式为:
甲半小时走的路程=乙半小时走的路程+乙10分钟走的路程+甲10分钟走的路程。
解:
设乙的速度为x千米/时,由题意,得:
=
x+
x+
x=2答:
乙的速度为2千米/时。
例3.
甲、乙两人在400米的环形跑道上跑步,从同一起点同时出发,甲的速度是每秒5米,乙的速度是每秒3米,
(1)如果背向而行,两人多久第一次相遇?
(2)如果同向而行,两人多久第一次相遇?
【答案】
解:
(1)设x秒两人第一次相遇,由题意,得:
5x+3x=4008x=400x=50答:
50秒两人第一次相遇。
(2)设x秒两人第一次相遇,由题意,得:
5x-3x=4002x=400x=200答:
200秒两人第一次相遇。
【解析】
题干解析:
相等关系为:
背向而行时,第一次相遇时两人的路程的和=一圈的路程;同向而行时,第一次相遇时两人的路程差=一圈的路程。
追及问题
知识讲解
快者走的路程-慢者走的路程=原来相距的路程。
例题精讲
追及问题
例1.
甲车每小时行60千米,1小时后,乙车从同一地点出发追赶甲车,如果乙车速度为每小时80千米,几小时后可以追上甲车?
【答案】
3小时后可以追上甲车
【解析】
题干解析:
借助于线路图分析数量关系,列出一元一次方程。
解:
设乙x小时后可以追上甲,由题意,得:
601+60x=80x80x-60x=6020x=60x=3答:
乙3小时后可以追上甲车。
例2.
甲、乙两相站距480千米,一列慢车从甲站开出,每小时行90千米,一列快车从乙站开出,每小时行140千米。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行,问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行,问多少小时后两车相距600千米?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,问多少小时后快车与慢车相距600千米?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,问多少小时后快车追上慢车?
【答案】
解:
(1)设快车开出x小时后两车相遇.由题意,得:
140x+90(x+1)=480230x=390x=1答:
快车开出1小时后两车相遇。
(2)设x小时后两车相距600公里,由题意,得:
(140+90)x+480=600230x=120
答:
小时后两车相距600公理。
(3)设x小时后两车相距600公里,由题意,得:
(140-90)x+480=60050x=120x=2.4答:
2.4小时后两车相距600公理。
(4)设x小时后快车追上慢车,由题意,得:
140x=90x+48050x=480x=9.6答:
9.6小时后快车追上慢车。
【解析】
题干解析:
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
(1)相遇问题:
等量关系是:
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
(2)相背而行:
等量关系是:
两车所走的路程和+480公里=600公里。
(3)追及问题:
等量关系为:
快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
(4)追及问题:
等量关系为:
快车的路程-慢车走的路程=480公里。
水流行船问题
知识讲解
顺水(风)速=静水(风)速+水流(风)速;
逆水(风)速=静水(风)速-水流(风)速。
例题精讲
水流行船问题
例1.
汽船从甲地顺水开往乙地,所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5h。
已知船在静水中的速度为18km/h,水流速度为2km/h,求甲、乙两地之间的距离?
【答案】
解:
设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时,由题意,得:
(18+2)(x-1.5)=(18-2)xx=7.5(18-2)
7.5=120答:
甲、乙两地之间的距离为120km。
【解析】
题干解析:
相等关系式为:
汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。
例2.
某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回,到达A、B两地之间的C地,一共航行了7小时,已知此船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米,求A、B两地之间的路程。
【答案】
解:
设A、B两码头之间的航程为x千米,则B、C间的航程为(x-10)千米,由题意,得:
+
=7x=32.5答:
A、B两地之间的路程为32.5千米。
【解析】
题干解析:
属于行船问题,这类问题中要弄清:
(1)顺水速度=船在静水中的速度+水流速度;
(2)逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。
相等关系为:
顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
工程问题
知识讲解
工作效率工作时间=工作总量
工作时间=工作总量工作效率
工作效率=工作总量工作时间
工作总量通常用1来表示。
例题精讲
工程问题
例1.
一项工程甲单独做6天完成,乙单独做10天完成,甲独做1天后,甲、乙两人合作,又做了x天完成这项工程的.根据题意列出方程:
_______________.
【答案】
【解析】
题干解析:
设这项工程总量为1,甲每天完成工程的
,乙每天完成工程的
,根据题意列出方程.
例2.
整理一批数据,由一人做需要80小时完成,现在计划先由一些人做2个小时,再增加5人做8小时,完成这项工作的
,怎样安排参与整理数据的具体人数?
【答案】
解:
设先由x人做了2个小时,再由(x+5)人做了8小时,由题意,得:
2x+8(x+5)=80x=2X+2=7答:
开始安排2人做2小时,接着安排7人做8小时。
【解析】
题干解析:
相等关系式为:
开始完成的工作量+后来完成的工作量=总工作量的
例3.
一个蓄水池有甲,乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开9小时可将满水池排空,若将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙水管后几小时可注满水池?
【答案】
解:
设打开丙水管后x小时可注满水池,由题意,得:
13x=30x=
答:
打开丙水管后
小时后可注满水池。
【解析】
题干解析:
相等关系式为:
甲乙2小时的工作量+甲乙丙x小时的工作量=1
配套问题
知识讲解
配套问题中根据已知条件分清数量关系,尤其是倍数关系。
例题精讲
配套问题
例1.
某车间有60名工人生产太阳能,1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个,怎样分配工人生产镜片和镜架,能使每天生产的产品配套?
设x人生产镜片,可列方程为( ).
A.2×200x=50(60﹣x)
B.200x=2×50(60﹣x)
C.2×50x=200(60﹣x)
D.50x=2×200(60﹣x)
【答案】B
【解析】
题干解析:
解:
设x人生产镜片,由题意得,200x=2×50(60﹣x).故选:
B.
例2.
某车间100个工人,每人平均每天可加工甲零件18个或乙零件24个,要使每天加工的甲、乙零件配套(4个甲零件配3个乙零件),应如何分配工人加工甲零件和乙零件?
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
设分配x人加工甲零件,(100﹣x)人加工乙零件,根据题意得:
18x×3=(100﹣x)×24×4,解得:
x=64,则100﹣64=36(人),答:
分配64人加工甲零件,36人加工乙零件.
与利润有关的题目
知识讲解
商品销售问题中的相等关系:
商品利润=商品售价-商品进价=商品标价折扣率-商品进价
商品利润率=
商品售价=商品标价折扣率
例题精讲
与利润有关的题目
例1.
A种饮料比B种饮料单价少1元,小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共花了13元,如果设B种饮料单价为x元/瓶,那么下面所列方程正确的是( ).
A.2x+3(x+1)=13
B.2(x+1)+3x=13
C.2(x﹣1)+3x=13
D.2x+3(x﹣1)=13
【答案】C
【解析】
题干解析:
解:
设B种饮料单价为x元/瓶,则A种饮料单价为(x﹣1)元,
根据小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共花了13元,
可得方程为:
2(x﹣1)+3x=13.故选C.
例2.
某企业生产一种产品,每件成本为400元,销售价为510元,本季度销售了m件,为进一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售将提高10%,要使销售利润(销售利润=销售价-成本价)保持不变,该产品每件的成本价应降低多少元?
【答案】
解:
设该产品每件的成本价应降低x元,由题意,得:
[510(1-4%)-(400-x)]
m(1+10%)=(510-400)mx=10.4答:
该产品每件的成本价应降低10.4元。
【解析】
题干解析:
相等的关系式为:
(售价-进价)
销售量=总利润
例3.
今年某网上购物商城在“双11购物节”期间搞促销活动,活动规则如下:
①购物不超过100元不给优惠;②购物达到100元但不超过500元的,全部打9折;③购物超过500元的,其中500元部分打9折,超过500元部分打8折.
(1)小丽第1次购得商品的总价(标价和)为200元,按活动规定实际付款多少元.
(2)小丽第2次购物花费490元,与没有促销相比,第2次购物节约了多少钱?
(请利用一元一次方程解答)
(3)若小丽将这两次购得的商品合为一次购买,是否更省钱?
为什么?
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
(1)200×0.9=180(元)答:
按活动规定实际付款180元.
(2)∵500×0.9=450(元),490>450,∴第2次购物超过500元,设第2次购物商品的总价是x元,依题意有500×0.9+(x–500)×0.8=490,解得x=550,550–490=60(元).答:
第2次购物节约了60元钱.(3)若小丽将这两次购得的商品合为一次购买,更省钱,原因如下:
若小丽将这两次购得的商品合为一次购买,则购得商品总价为200+550=750(元)需要付款为:
500×0.9+(750–500)×0.8=450+200=650(元),没有合并购买实际付款为180+490=670(元)>650(元),答:
若小丽将这两次购得的商品合为一次购买,比没有合并购买更省钱.
与利润率有关的题目
知识讲解
商品销售问题中的相等关系:
商品利润=商品售价-商品进价=商品标价折扣率-商品进价
商品利润率=
商品售价=商品标价折扣率
例题精讲
与利润率有关的题目
例1.
一件衣服售价为200元,六折销售,仍可获利20%,则这件衣服的进价是 元.
【答案】
100
【解析】
题干解析:
解:
设进价是x元,则(1+20%)x=200×0.6,解得:
x=100.则这件衬衣的进价是100元.
例2.
目前节能灯在城市已基本普及,某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:
(1)如何进货,进货款恰好为46000元?
(2)为确保乙型节能灯顺利畅销,在
(1)的条件下,商家决定对乙型节能灯进行打折出售,且全部售完后,乙型节能灯的利润率为20%,请问乙型节能灯需打几折?
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200﹣x)只,由题意得25x+45(1200﹣x)=46000解得:
x=400购进乙型节能灯1200﹣x=1200﹣400=800只.答:
购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.
(2)设乙型节能灯需打a折,0.1×60a﹣45=45×20%,解得a=9,答:
乙型节能灯需打9折.
练习题
单选题
练习1.
成都市为减少雾霾天气采取了多项措施,如对城区主干道进行绿化.现计划把某一段公路的一侧全部栽上银杏树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是( ).
A.5(x+21﹣1)=6(x﹣1)
B.5(x+21)=6(x﹣1)
C.5(x+21﹣1)=6x
D.5(x+21)=6x
【答案】A
【解析】
题干解析:
解:
因为设原有树苗x棵,则路的长度为5(x+21﹣1)米,由题意,得5(x+21﹣1)=6(x﹣1),故选:
A.
填空题
练习1.
一件衣服售价为200元,六折销售,仍可获利20%,则这件衣服的进价是 元.
【答案】
100
【解析】
题干解析:
解:
设进价是x元,则(1+20%)x=200×0.6,解得:
x=100.则这件衬衣的进价是100元.
解答题
练习1.
已知甲、乙两地相距120千米,乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后,乙从B地出发,与甲相向而行经过10小时后相遇,求甲乙的速度?
【答案】
甲的速度为5千米/小时,乙的速度为6千米/小时
【解析】
题干解析:
相等关系为:
甲走的路程+乙走的路程=120解:
设甲的速度为x千米/小时,则乙的速度为(x+1)千米/小时,依题意得,2x+10x+10(x+1)=12022x=110X=5X+1=6答:
甲的速度为5千米/小时,乙的速度为6千米/小时
练习2.
甲、乙两人同时同地同向而行,甲的速度是4千米/小时,乙的速度比甲慢,半小时后,甲调头往回走,再走10分钟与乙相遇,求乙的速度.
【答案】
乙的速度为2千米/时
【解析】
题干解析:
画出线路图,分清数量关系,相等关系式为:
甲半小时走的路程=乙半小时走的路程+乙10分钟走的路程+甲10分钟走的路程。
解:
设乙的速度为x千米/时,由题意,得:
=
x+
x+
x=2答:
乙的速度为2千米/时。
练习3.
甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,甲带着一只狗,当甲追乙时,狗先追上乙,再返回遇上甲,再返回追上乙,依次反复,直至甲追上乙为止,已知狗的速度为15千米/小时,求此过程中,狗跑的总路程是多少?
【答案】
狗的总路程是37.5千米
【解析】
题干解析:
追击问题,不能直接求出狗的总路程,但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。
狗跑的总路程=它的速度
时间,而它用的总时间就是甲追上乙的时间。
解:
设甲用x小时追上乙,根据题意,得:
5x=3x+5x=2.5狗的总路程:
15×2.5=37.5答:
狗的总路程是37.5千米。
练习4.
汽船从甲地顺水开往乙地,所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5h。
已知船在静水中的速度为18km/h,水流速度为2km/h,求甲、乙两地之间的距离?
【答案】
解:
设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时,由题意,得:
(18+2)(x-1.5)=(18-2)xx=7.5(18-2)
7.5=120答:
甲、乙两地之间的距离为120km。
【解析】
题干解析:
相等关系式为:
汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。
练习5.
某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回,到达A、B两地之间的C地,一共航行了7小时,已知此船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米,求A、B两地之间的路程。
【答案】
解:
设A、B两码头之间的航程为x千米,则B、C间的航程为(x-10)千米,由题意,得:
+
=7x=32.5答:
A、B两地之间的路程为32.5千米。
【解析】
题干解析:
属于行船问题,这类问题中要弄清:
(1)顺水速度=船在静水中的速度+水流速度;
(2)逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。
相等关系为:
顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
练习6.
一个蓄水池有甲,乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开9小时可将满水池排空,若将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙水管后几小时可注满水池?
【答案】
解:
设打开丙水管后x小时可注满水池,由题意,得:
13x=30x=
答:
打开丙水管后
小时后可注满水池。
【解析】
题干解析:
相等关系式为:
甲乙2小时的工作量+甲乙丙x小时的工作量=1
练习7.
某企业生产一种产品,每件成本为400元,销售价为510元,本季度销售了m件,为进一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售将提高10%,要使销售利润(销售利润=销售价-成本价)保持不变,该产品每件的成本价应降低多少元?
【答案】
解:
设该产品每件的成本价应降低x元,由题意,得:
[510(1-4%)-(400-x)]
m(1+10%)=(510-400)mx=10.4答:
该产品每件的成本价应降低10.4元。
【解析】
题干解析:
相等的关系式为:
(售价-进价)
销售量=总利润
练习8.
甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米,甲让乙先跑5米,然后奋力去追,问几秒后甲追上乙?
【答案】
解:
设x秒后,甲追上了乙,由题意,得:
7x=6.5x+5x=10答:
10秒后甲追上乙。
【解析】
题干解析:
相等关系为:
甲跑的路程=乙跑到路程+5
练习9.
一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做10天完成,现在由乙独做几天后,剩下的部分由甲独做,先后共花12天完成,问乙做了几天?
【答案】
解:
设乙做了x天,则甲做了(12-x)天,由题意,得:
+
x=1X=8答:
乙做了8天。
【解析】
题干解析:
相等关系为:
甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量
练习10.
用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身15个,或制盒底42个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒,现有108张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底,可以正好制成整套罐头盒?
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
设用x张铁皮制盒身,则制盒底的张数是(108﹣x),根据题意得:
15x=(108﹣x)×42÷2,15x=2268﹣21x,15x+21x=2268﹣21x+21x36x÷36=2268÷36,x=63,108﹣x=108﹣63=45.答:
用63张制盒身,45张制盒底,可以正好制成整套罐头盒.
练习11.
一件商品,成本价5元,按标价的8折出售每件还可以获利2元,问商品的标价是多少?
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
相等关系式为:
售价-进价=利润解:
设商品的标价为x元,由题意,得:
80%x-5=2x=8.75答:
商品的标价是8.75元。
练习12.
某商品的销售价格每件900元,为了参加市场竞争,商店按售价的9折再让利40元销售,此时仍可获利10%,此商品的进价是多少元?
【答案】
解:
设商品的进价为x元,由题意,得:
-40=
x=700答:
商品的进价为700元。
【解析】
题干解析:
解答本题的关键是读懂题意,找到等量关系,正确列出方程,再求解。
练习13.
平价商场经销的甲、乙两种商品,甲种商品每件售价60元,利润率为50%;乙种商品每件进价50元,售价80元
(1)甲种商品每件进价为 元,每件乙种商品利润率为 .
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件,恰好总进价为2100元,求购进甲种商品多少件?
(3)在“元旦”期间,该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动:
按上述优惠条件,若小华一次性购买乙种商品实际付款504元,求小华在该商场购买乙种商品多少件?
【答案】
解:
(1)设甲的进价为x元/件,则(60﹣x)÷x=50%,解得:
x=40.故甲的进价为40元/件;乙商品的利润率为(80﹣50)÷50=60%.
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50﹣x)件,由题意得,40x+50(50﹣x)=2100,解得:
x=40.即购进甲商品40件,乙商品10件.(3)设小华打折前应付款为y元,①打折前购物金额超过450元,但不超过600元,由题意得0.9y=504,解得:
y=560,560÷80=7(件),②打折前购物金额超过600元,600×0.82+(y﹣600)×0.3=504,解得:
y=640,640÷80=8(件),综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件.
【解析】
题干解析:
(1)设甲的进价为x元/件,根据甲的利润率为50%,求出x的值;
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50﹣x)件,再由总进价是2100元,列出方程求解即可;(3)分两种情况讨论,①打折前购物金额超过450元,但不超过600元,②打折前购物金额超过600元,分别列方程求解即可.
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