中考数学专题复习正方形详细答案.docx

中考数学专题复习正方形详细答案.docx

《中考数学专题复习正方形详细答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题复习正方形详细答案.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学专题复习正方形详细答案

中考数学复习专题——正方形

一•选择题（共4小题）

1.（无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH

的顶点G、H都在边AD上，若AB=3,BC=4则tan/AFE的值（）

A.等于』B.等于

C.等于計D.随点E位置的变化而变化

2.

（宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG丄AB.EI丄AD，FH丄AB,FJ丄AD,垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于（）

A]JD

A.1B.—C.二D.,

3.（湘西州）下列说法中，正确个数有（）

1对顶角相等；

2两直线平行，同旁内角相等；

3对角线互相垂直的四边形为菱形；

4对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（张家界）下列说法中，正确的是（）

A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

B.对角线相等的平行四边形是正方形

c•相等的角是对顶角

D•角平分线上的点到角两边的距离相等

•填空题（共7小题）

5.（武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，贝U/BEC的度数是

6.（呼和浩特）如图，已知正方形ABCD点M是边BA延长线上的动点（不与

点A重合），且AMvAB,ACBE由厶DAM平移得到.若过点E作EH丄AC,H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得/DHC=60时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=一HM；③无论点M运动到何处，/CHM一定大

于135°.其中正确结论的序号为

AE=DF=2BE与AF相交于点G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的长为

8.（咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点E

9.

（江西）在正方形ABCD中，AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线

上一点，若PD=2AP贝UAP的长为.

10.（潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合，点B在y轴的

正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正

方形AB'C'的位置，B'C与CD相交于点M，则点M的坐标为.

Df

11.（台州）如图，在正方形ABCD中,AB=3,点E，F分别在CD,AD上,CE=DFBE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:

3,则厶BCG的周长为.

三.解答题（共6小题）

12.（盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF连接AE、AF、CECF,如图所示.

（1）求证：

△ABE^AADF;

（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

13.（吉林）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且BE=CF

求证：

△ABE^ABCF

14.（白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.

（1）求证：

△BGF^AFHC

（2）设AD=a,当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积.

15.（潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DELAM于点E,BFLAM于点F,连接BE

（1）求证：

AE=BF

（2）已知AF=2四边形ABED的面积为24,求/EBF的正弦值.

16.（湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BEAE与DF相交于点O.

（1）求证：

△DAF^AABE

17.（遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点0,点EF分别在ABBC上（AEvBE）,且/EOF=90,0EDA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.

（1）求证：

OM=ON.

（2）若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点，求MN的长.

BC

答案解析

•选择题（共4小题）

1.（无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH

的顶点G、H都在边AD上，若AB=3,BC=4则tan/AFE的值（）

A.等于:

B.等于」

C.等于計D.随点E位置的变化而变化

【分析】根据题意推知EF//AD,由该平行线的性质推知厶AEH^AACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.

【解答】解：

：

EF/AD,

•••/AFE=/FAQ•••△AEIH^AACD,

.型q/

设EH=3xAH=4x•••HG=GF=3x

tan/AFE=tan/FAG=；=_

故选：

A.

2.

（宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,

A.1B.C.D.

234

【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；

【解答】解：

•••四边形ABCD是正方形，

•••直线AC是正方形ABCD的对称轴，

•••EG丄AB.EI丄AD,FH丄AB,FJ丄AD,垂足分别为G,I,H,J.

•••根据对称性可知：

四边形EFHG的面积与四边形EFJ的面积相等，

--S阴=S正方形ABCLF,

/:

?

故选：

B.

3.（湘西州）下列说法中，正确个数有（）

1对顶角相等；

2两直线平行，同旁内角相等；

3对角线互相垂直的四边形为菱形；

4对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得

答案.

【解答】解：

①对顶角相等，故①正确；

2两直线平行，同旁内角互补，故②错误；

3对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；

4对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，

故选：

B.

4.（张家界）下列说法中，正确的是（）

A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

B.对角线相等的平行四边形是正方形

C•相等的角是对顶角

D.角平分线上的点到角两边的距离相等

【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.

【解答】解：

A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；

B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意;

C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；

D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；

故选：

D.

二•填空题（共7小题）

5.（武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，贝U/BEC的度数是30或

150°.

【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.

【解答】解：

如图1，

图1

•••四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，

•••AB=BC=CD=AD=AE=DEZBAD=/ABC=ZBCD=/ADC=90，/AED=/ADE=/

DAE=60，

•••/BAE=/CDE=150,又AB=AEDC=DE

•••/AEB=/CED=15，

贝9/BEC/AED-/AEB-/CED=30.

如图2，

图2

D

•••△ADE是等边三角形，

•••AD=DE

•••四边形ABCD是正方形，

•••AD=DC

•••DE=DC

:

丄CED=/ECD

•••/CDE=/ADC-/ADE=90-60°30°,

•••/CED/ECD丄（180°-30°=75°,

/./BEC=360-75°x2-60°=150°.

故答案为：

30°或150°.

6.（呼和浩特）如图，已知正方形ABCD点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AMVAB,ACBE由厶DAM平移得到.若过点E作EH丄AC,H

为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得/DHC=60时，2BE=DM;②无论点M运动到何处，都有DM==HM;③无论点M运动到何处，/CHM一定大

△ADM中，DM=2AM,即可得到DM=2BE依据点M是边BA延长线上的动点（不

DHM是等腰直角三角形，

进而得出DM^HM;依据当/DHC=60时，/ADH=60-45°15°,即可得到Rt

与点A重合），且AMVAB，可得/AHMV/BAC=45，即可得出/CHM>135°.

【解答】解：

由题可得，AM=BE,

•••AB=EM=AD

•••四边形ABCD是正方形，EH丄AC,

•••EM=AH,/AHE=90，/MEH=/DAH=45=/EAH,

•••EH=AH

•••△MEH^ADAH（SAS,

•••/MHE=ZDHA,MH=DH,

•••/MHD=ZAHE=90,ADHM是等腰直角三角形，

•••DM==HM，故②正确；

当/DHC=60时，/ADH=60-45°15°,

•••/ADM=4°-15°30°,

•••RtAADM中，DM=2AM,

即DM=2BE,故①正确；

•••点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AMvAB,

•••/AHMvZBAC=45,

•••/CHM>135°故③正确；

故答案为：

①②③.

CD

BEAM

7.（青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,

AE=DF=2BE与AF相交于点G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的长为—工

Z

【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得/BAE=/D=90,然后利用边角边”证明△ABE^ADAF得/ABE=ZDAF,进一步得/AGE=/BGF=90,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.

【解答】解：

•••四边形ABCD为正方形，

•••/BAEND=90,AB二AD,

在厶ABEft^DAF中，

fAB=AD

•••・ZBAE二ZD,

AE二DF

•••△ABE^ADAF（SAS,

•••/ABE=ZDAF,

•••/ABEfZBEA=90,

•••/DAF+ZBEA=90,

:

丄AGE=ZBGF=90,

•••点H为BF的中点，

•••GH二BF,

2

•••BC=5CF=CD-DF=5-2=3,

•BF=「厂亠「「二j,

故答案为：

丄

8.（咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点E的坐标为（2,3）,则点F的坐标为（-1,5）.

【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标.

【解答】解：

如图，过点E作x轴的垂线EH,垂足为H•过点G作x轴的垂线EG,垂足为G,连接GE、F0交于点0'.

•••四边形0EFG是正方形，

•••OG=EQ/GOM=ZOEH/OGM=ZEOH在厶OGM与△EOH中，

'ZOGIS-ZEOH

彳OG=EO

ZGOM-ZOEH

•••△OGM^AEOH（ASA

•••GM=OH=2OM=EH=3

•••G（-3,2）.

•••点F与点O关于点O'对称,•••点F的坐标为（-1,5）故答案是：

（-1,5）.

MQH裳

9.（江西）在正方形ABCD中，AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP则AP的长为2或2讥或届-症.

【分析】根据正方形的性质得出AC丄BD,AC=BD,OB=OA=OC=ODAB=BC=AD=CD=6/ABC=90,根据勾股定理求出ACBD求出OA、OBOC、OD,画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可.

【解答】解：

•••四边形ABCD是正方形，AB=6,

•AC丄BD,AC=BDOB=OA=OC=ODAB=BC=AD=CD=6/ABC=/DAB=90,

在RtAABC中，由勾股定理得：

'=67,

--0A=0B=0C=0D=3，,

AD=6,PD=2AP

•••AP=2

设AP=x,贝UDP=2x

10.（潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合，点B在y轴的

正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正

【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB=1/BAB=30°/B'AD=60证RtA

ADM^RtAAB'M得/DAM=./B'AD=3,由DM=ADtan/DAM可得答案.

AM，

•••将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABC，

•••AD=AB=1/BAB=3Q°•••/B'AD=60

在RtAADM和RtAABM中，

..何二血

•汕胡，

•••RtAADM^RtAABM（HQ,•••/DAM=/B'AM=/B'AD=30

•••DM=ADtan/DAM"=，

故答案为：

（-1,三

11.（台州）如图，在正方形ABCD中,AB=3,点E，F分别在CD,AD上,CE=DF

BE,CF相交于点G•若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:

3,则厶BCG的周长为.

【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的:

.，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长.

【解答】解：

•••阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:

3,

•••阴影部分的面积为?

X9=6,

•••空白部分的面积为9-6=3,

由CE=DFBC=CD/BCEWCDF=90,可得△BCE^ACDF

•••△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为X3=,

乙£

设BG=aCG=b则,;ab已,

又•••a2+b2=32,

aF+2ab+b2=9+6=15,

即（a+b）2=15,

.a+b=—,即BG+CG二—,

•••△BCG的周长=•—+3,

故答案为：

'+3.

•解答题（共6小题）

12.（盐城）在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF连接AE、AF、CECF,如图所示.

（1）求证：

△ABE^AADF;

（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

【分析】

（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;

【解答】证明：

（1）v正方形ABCD,

•••AB=AD,

•••/ABD=ZADB,

•••/ABE=/ADF,

在厶ABE与△ADF中

BE=DF

•••△ABE^AADF（SAS;

四边形AECF是菱形.

理由：

•••正方形ABCD,

•••OA=OCOB=OD,AC丄EF,

•••OB^BE=ODnDF,

即OE=OF

vOA=OCOE=OF

•••四边形AECF是平行四边形,

•••AC丄EF,

•••四边形AECF是菱形.

13.（吉林）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且BE=CF

求证：

△ABE^ABCF

【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明;

【解答】证明：

•••四边形ABCD是正方形，

•••AB=BC/ABE=ZBCF=90,

在厶ABEftABCF中,

fAB=BC

、ZABE=ZBCF,

•••△ABE^ABCF

14.（白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是

BC,BE,CE的中点.

（1）求证：

△BGF^AFHC

（2）设AD=a,当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积.

【分析】

（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可;

（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可.

【解答】解：

（1）v点F,G,H分别是BC,BECE的中点，

•••FH//BE,FH=-BE,FH=BG

•••/CFH2CBG

•••BF=CF

•••△BGF^AFHC

（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：

EF丄GH且EF=GH

•••在△BEC中，点，H分别是BE,CE的中点，

GH=_匚：

二，且GH//BC,

•••EF丄BC,

•••AD//BC,AB丄BC,

•••AB=EF=GH=a，

矩形ABCD的面积=汀■二，，一j：

'.

15.（潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE!

AM于点E，BF丄AM于点F,连接BE

（1）求证：

AE=BF

（2）已知AF=2四边形ABED的面积为24,求/EBF的正弦值.

BA

【分析】

（1）通过证明厶ABF^ADEA得到BF=AE

（2）设AE=x贝UBF=xDE=AF=2利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与厶ADE的面积之和得到，.？

x?

>+.?

x?

2=24,解方程求出x得到AE=BF=6则EF=x

-2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.

【解答】

（1）证明：

•••四边形ABCD为正方形，

•BA=AD/BAD=90,

•••DE!

AM于点E,BF!

AM于点F,

•/AFB=90,/DEA=90,

vZABF+ZBAF=90,/EAD^ZBAF=90,

•••/ABF=ZEAD,

在厶ABFft^DEA中

'ZBFA=ZDEA

AB二DA

•••△ABF^ADEA（AAS,

•••BF=AE

（2）解：

设AE=x贝UBF=xDE=AF=2

v四边形ABED的面积为24,

•••,：

?

x?

x+?

x?

2=24,解得xi=6,X2=-8（舍去）,

•••EF=x-2=4,

在RtABEF中,BE=,「=2T,

./lclEF42^13

•-SinZEBF=L=；•16.（湘潭）如图,在正方形ABCD中,AF=BEAE与DF相交于点0.

（1）求证：

△DAF^AABE；

（2）求ZAOD的度数.

【分析】

（1）利用正方形的性质得出AD=ABZDAB=ZABC=90,即可得出结论；

（2）利用

（1）的结论得出ZADF=ZBAE,进而求出ZADF+ZDAO=90,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.

【解答】

（1）证明：

v四边形ABCD是正方形,

•••ZDAB=ZABC=90,AD=AB,

rAD=AB

在厶DAF和厶ABE中，*ZDAF二,

AF=BE

•••△DAF^AABE（SAS,

（2）由

（1）知，△DAF^AABE

•••/ADF=ZBAE

•••/ADF+ZDAO二/BAE+ZDAO二/DAB=90,

•••/AOD=180-（ZADF+DAO）=90°.

17.（遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在ABBC上（AEvBE）,且ZEOF=90,OEDA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.

（1）求证：

OM=ON.

（2）若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点，求MN的长.

nc

A/

【分析】

（1）证厶OAM^AOBN即可得；

（2）作OH丄AD,由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH二HA=2HM=4,再根据勾股定理得OM=2匚由直角三角形性质知MN=7OM.

【解答】解：

（1）v四边形ABCD是正方形，

•••OA=OBZDAO=45,ZOBA=45,

•••ZOAM=ZOBN=135,

vZEOF=90,ZAOB=90,

•ZAOM=ZBON,

•△OAM^AOBN（ASA）,

•OM=ON;

•••正方形的边长为4,

•••0H=HA=2

•••E为0M的中点，

•••HM=4,

则0M=；〔上+，一-=2!

•••MN=】0M=2—.