导数压轴专治学霸1.docx
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导数压轴专治学霸1
导数压轴专治学霸
一.解答题(共20小题)
1.已知函数f(x)=ex(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数.
(1)设g(x)=e﹣xf(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围;
(2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:
x0>x1.
2.设
.
(1)求证:
当x≥1时,f(x)≥0恒成立;
(2)讨论关于x的
方程根的个数.
3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).
(1)当a=1时,判断g(x)=exf(x)的单调性;
(2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围.
4.已知函数
.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在
成立,求整数a的最小值.
5.已知函数f(x)=ex﹣lnx+ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:
f(x)>0.
6.已知函数f(x)=ex﹣x2﹣ax﹣1.
(Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围;
(Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣ex+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.
7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对∀x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围.
8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=
.
(Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a;
(Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围.
9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a为整数,函数f(x)恰好有两个零点,求a的值.
10.已知函数f(x)=xlnx﹣ax2,a∈R.
(1)若函数f(x)存在单调增区间,求实数a的取值范围;
(2)若x1,x2为函数f(x)的两个不同极值点,证明x12x2>e﹣1.
11.已知函数f(x)=
x3﹣a(x+1)2,
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)只有一个零点,求实数a的取值范围.
12.已知函数
.
(1)当0<m<2时,证明:
f(x)只有1个零点;
(2)证明:
曲线f(x)没有经过原点的切线.
13.已知函数f(x)=4lnx+x2﹣2mx(m∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若直线l为曲线
的切线,求证:
直线l与曲线
不可能有2个切点.
14.已知函数f(x)=(x+1)ex+
+2ax,a∈R
(1)讨论f(x)极值点的个数
(2)若x0(x0≠﹣2)是f(x)的一个极值点,且f(﹣2)>e﹣2,证明:
f(x0)≤1.
15.己知函数f(x)=(x﹣a)2ex+b在x=0处的切线方程为x+y﹣1=0,函数g(x)=x﹣k(lnx﹣1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)的极值;
(3)设F(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的最小值),若F(x)在(0,+∞)上恰有三个零点,求实数k的取值范围.
16.已知函数
,且y=x﹣1是曲线y=f(x)的切线.
(1)求实数a的值以及切点坐标;
(2)求证:
g(x)≥f(x).
17.已知函数f(x)=x2﹣x﹣alnx,a∈R.
(1)若不等式f(x)<0无解,求a的值;
(2)若函数f(x)存在两个极值点x1、x2,且x1<x2,当
恒成立时,求实数m的最小值.
18.设a,b∈R,已知函数f(x)=alnx+x2+bx存在极大值.
(Ⅰ)若a=1,求b的取值范围;
(Ⅱ)求a的最大值,使得对于b的一切可能值,f(x)的极大值恒小于0.
19.已知函数f(x)=x﹣1nx
(1)求函数f(x)的极值;
(2)设函数g(x)=xf(x).若存在区间[m,n]⊆[
,+∞),使得函数g(x)在[m,n]上的值域为[k(m+2)﹣2,k(n+2)﹣2],求实数k的取值范围.
20.已知a≠0,函数
,且曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直.
(Ⅰ)求函数
在区间(0,+∞)上的极大值;
(Ⅱ)求证:
当x∈(0,+∞)时,
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