第三章集合及其运算精.docx
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第三章集合及其运算精
第三章集合及其运算
集合论产生于16世纪末。
当时,只是由于微积分学的需要,人们只对数集进行了研究。
19世纪末,即1876一1883年间,康托尔(GaorgeCantor1845一1918年,德国数学家)对任意元素的集合进行了系统的研究,提出了无限集的势、序型等概念,奠定了集合论的基础。
康托尔被公认为集合论的创始人。
集合论是一门研究数学基础的学科,它试图从一个比“数”更简单的概念——集合(sets)出发,定义数及其运算,进而发展到整个数学。
在这一点上它取得了极大的成功。
我们介绍集合论则不仅因为此,而且因为计算机科学及应用的研究,也和集合论理论有着极密切的关系。
集合不仅可用来表示数及其运算,更可以用于非数值信息的表示和处理。
像数据的删节、插入、排序,数据间关系的描述,数据的组织和查询都很难用传统的数值计算来处理,但却可以用集合运算来实现。
德国数学家康托尔(cantor)开创的集合论被称为朴素集合论,因为他没有对集合论作完全形式的刻划,从而导致了理论的不一致(产生了悖论,见3.1.2节)。
为弥补朴素集合论的不足,本世纪初出现了各种公理化的集合论体系。
1904--1908年间,策墨罗(Zormelo)给出了第一个集合论的公理系统。
之后,集合论迅速发展,逐步形成公理化集合论和抽象集合论;并且在集合论的基础上,实变函数论、泛函分析、概率论和信息论等许多数学学科,先后建立起来。
集合论已成为现代数学中重要的组成部分。
鉴于离散数学学科所要达到的目的,我们不准备引入复杂、抽象的集合论形式系统,但我们将借鉴公理化集合论的思想,以避免悖论;同时将利用已有的形式化知识,使集合论的介绍更加简明、深入。
集合及其运算的有关基础知识,在中学课本上已有介绍,因此我们在第一篇里已经使用了一些集合论术语。
但是,为了知识的系统性和完整性,本章仍然要对这些知识作扼要的介绍,有些方面的讨论较之中学数学要更宽广、更深入、更系统,因而抽象性抽象性和理论性更强。
3.1集合的基本概念
3.1.1集合及其元素
集合是作为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。
严格地说这算不得集合的定义,因为“总体”只是“集合”一词的同义反复。
在集合论中,集合是一个不作定义的原始概念(就像几何学中的点、线、面等概念)。
不过,上述关于集合概念的描述,有益于对它的内涵作直观的理解和认识。
例3.1
(1)“南京大学全体学生”为一集合,其组成对象是学生。
(2)“全体自然数0,1,2,3,…”为一集合,其组成对象是各自然数。
(注意,我们所说的自然数与中学课本定义的自然数略有不同,这是计算机界目前的一个流行做法,让自然数有别于正整数,包括数0。
)
(3)获1988年诺贝尔文学奖的作家构成一个集合,尽管它只有一个对象——埃及作家纳吉布•马夫兹。
(4)育才中学的所有班级组成一集合,其组成对象是班级,而不是学生,因为集合中对象是整体识别的。
(5)“好书”的全体不构成集合,因为难以对每一本书的好坏作出确定的判断。
(6)方程x(x2-2x+1)=0的所有根组成一个集合,它只有一个对象0和一个(而不是两个)对象1,因为集合中对象是相互区别的。
(7)方程x2+x+1=0的根组成一个集合。
当讨论复数时,它由两个对象组成;当讨论实数时,它是一个没有任何对象的特定集合。
组成集合的对象称为集合的成员(members)或元素(elements)
请注意,这里“对象”的概念是相当普遍的,可以是任何具体的或抽象的客体,还可以是集合,因为人们有时以集合为其讨论的对象,而又需涉及它们的一个总体——以集合为其元素的集合。
例如,育才中学所有班级的全体构成的集合,以学生班级集体为其元素;又如集合{1,{1,2},{1},2},其中成员有1,2,又有以1,2为元素的集合。
因此,尽管集合与其成员是两个截然不同的概念,但一个集合完全可以成为另一个集合的元素。
通常用大写拉丁字母A,B,C等表示集合,用小写字母a,b,c等表示集合的元素。
但是,这种表示形式不是绝对的。
a作为A的元素时,并不排斥a作为集合的可能性。
同样,集合A也可能是别的集合的元素。
元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念。
当对象a是集合A的成员时,称a属于A,记为
a∈A
当对象a不是集合A的成员时,称a不属于A,记为
(a∈A)或aA
对任何对象a和任何集合A,或者aA或者aA,两者恰居其一。
这正是集合对其元素的“确定性”要求。
集合的规定方式有三种:
(l)列举法:
规定一个集合A时,将A中元素—一列举,或列出足够多的元素以反映A中成员的特征,表示形如
A={a1,a2,…,an}或A={a1,a2,a3,…}
(2)描述法;规定一个集合A时,将A中元素的特征用一个谓词公式来描述,表示形如
A={xP(x)}或A={x:
P(x)}
其意义为:
集合A由且仅由满足谓词公式P(x)的对象所组成,即
aA当且仅当P(a)真
注意:
A={xP(x)}中x为约束变元,它仅仅是集合的符号表示的一部分,没有独立的意义,A中完全可能没有x这个元素。
对x可以改名,却不能代入。
即{xP(x)}={yP(y)}(P中无约束变元y),但{5P(5)}没有意义。
(3)归纳法:
在3.3节中详细介绍。
在前面几章里,我们已用归纳法定义了公式集合、个体项集合等。
例3.2
(1){0,l}={xx=0∨x=l}
(2)N={0,1,2,3,…}={xx是自然数}
I+={1,2,3,…}={xx是正整数}
(3)Nn={0,1,2,…,n-1}={xxN∧0≤x<n}
(4)I={…,-3,-2,-l,0,l,2,3,…}={xx是整数}
(5)E={…,-4,-2,0,2,4,…}={xx是偶数}
={xxI∧2x}(2x表示2整除x)
(6)前n个自然数集合的集合
={{0},{0,1},{0,1,2},…}
={xx=NnnI+}
={NnnI+}
(7)没有任何元素的特定集合(称为空集)记为
={}={xxx}
定义3.1空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集(finitesets),否则称为无限集(infinitesets)。
集合中成员的个数称为集合的基数(cardinality)(无穷集合的基数概念将在以后重新严格定义)。
集合A的基数表示为A。
例3.3例4.2之(l)(3)(7)是有限集,其它为无限集。
{0,1}=2,=0,{}=1.注意a{a},前者为一对象,后者为仅含该对象的单元素集合;{},前者是没有元素的集
合,后者是恰含一个元素——空集的单元素集。
3.1.2外延公理、概括公理和正规公理
集合论依赖于三大基本原理:
外延公理(extensionalityaxiom)、概括公理(comprehensionaxiom)和正规公理(regularityaxiom)。
它们从根本上规定了集合概念的意义。
外延公理:
两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。
即对任意集合A,B。
A=Bx(xAxB)
例3.4根据外延公理,
{0,l}={l,0}={x∣x(x2-2x+l)=0}={xx=1∨x=0}
因此,外延公理事实上刻划了集合的下列特性:
集合成员的“相异性”、“无序性”,及集合表示形式的不唯一性。
概括公理:
对任意个体域,任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。
即对给定个体域U,对任意谓词公式P(x),存在集合s,使得
S={xxU∧P(x)}
概括公理规定了集合成员的确定性,以及集合的描述法表示的理论依据,它还规定了空集的存在性,P(x)永假时集合S为空集。
康脱的朴素集合论不是这样表述概括原理的,他描述如下,并称之为抽象原理(abstractionprinciple)。
抽象原理:
对任意谓词公式P(x),均存在集合S,使得
S={xP(x)}
朴素集合论的问题就出在这里。
罗素(Russell)指出;滥用抽象原理导致集合论悖论。
罗素悖论:
考虑谓词xx.据抽象原理;有集合B,使
B={xxx}
现在问;“BB吗?
”若回答是,则B满足谓词xx,即BB;若回答否,则B不满足谓词xx,从而有(BB),即BB。
于是有
BBBB
因此,在我们今后的讨论中,总是约定有一个个体域作为讨论的基础,它被称为全集,常记为U。
虽然我们也用S={xp(x)}表示P(x)所规定的集合(正像先前已指出的那样),但它总被认为是
S={xxU∧P(x)}
的简写,因为约定xU恒真,从而从合取式中省略xU。
正规公理:
不存在集合A1,A2,A3,…,使得…A3A2A1
正规公理的一个自然推论是:
对任何集合A,{A}A(否则有…AAA)。
从而规定了集合{A}与A的不同层次性,因而正规公理也就规定了集合不能是自己的成员
3.1.3子集合
定义3.2集合A称为集合B的子集合(或子集,subsets),如果A的每一个元素都是B的元素,即
x(xAxB)
A是B的子集,表示为AB(或BA),读作“A包含于B”(或“B包含A”)。
集合之间的子集关系或包含关系是集合之间最重要的关系之一。
读者必须彻底弄清子集关系和隶属关系这两个完全不同的概念。
例3.5{a,b}{a,c,b,d},{a,b,c}{a,b,c},{a}{a,b},但a{a,b},只有a{a,b}。
不过存在这样两个集合,其中一个既是另一个的子集、又是它的元素。
例如,{l}{1,{l}},且{1}{1,{l}}。
关于子集关系我们有以下定理和定义(以下表示术语“当且仅当”)。
定理3.1对任意集合A,B,A=B当且仅当AB且BA。
特别地,对任意集合A,AA。
证A=Bx(xAxB)
x((xA→xB)∧(xB→xA))
x((xA→xB)∧x(xB→xA)
AB∧BA
定理3.2对任意集合A,AU。
证因xU恒真,因而x(xAxU)恒真,故AU。
定理3.3设A,B,C为任意集合,若AB,BC,则AC。
证设x为A中任一元素.由于AB,因此xB;又因为BC,故xC。
这就是说,A的所有元素都是C的成员,故AC。
定理3.l和定理3.3的证明方法、形式完全不同,前者利用谓词演算知识,后者为通常数学证明,两者各有利弊,读者都应熟悉之。
定理3.4对任何集合A,A。
证因x恒假,故x(xxA)恒真,即A恒真。
定理3.5空集是唯一的。
证设有空集1,2.据定理3.4,应有12和21,从而由定理3.1知1=2。
定理3.6设A为一有限集合,An,那么A的子集个数为2n。
证A有子集:
没有元素的子集,计
个(
=1);恰含A中一个元素的子集计
个,恰含A中两个元素的子集计
个,…,恰含A中n个元素的子集计
个。
因此A的子集个数为
+
+…+
=2n
设集合A={1,,{1,3}},则A有23=8个子集,分别为:
,{1},{},{{1,3}},{1,},{1,{1,3}},{,{1,3}},{1,,{1,3}}。
定义3.3集合A称为集合B的真子集,如AB且AB。
“A是B的真子集”记为AB。
显然,是所有非空集合的真子集。
3.2集合运算
集合运算指以集合为运算对象、以集合为值的运算。
3.2.1并、交、差、补运算
定义3.4设A,B为任意集合。
(l)A∪B称为A与B的并集(unionset),定义为
A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
∪称为并运算。
(2)A∩B称为A与B的交集(intersectionset),定义为
A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
∩称为交运算。
(3)A-B称为A与B的差集(differenceset),定义为
A-B={x∣x∈A∧xB}
-称为差运算。
(4)A–称为A的补集(complementset),定义为
A–=U-A={xxA}
–称为补运算,它是一元运算,是差运算的特例。
例3.6设U={0,1,2,3,…,9},A={2,4},B={4,5,6,7},C={0,8,9},D={l,2,3}:
AB={2,4,5,6,7},ABCD=U
AB={4},AC=
A-B={2},B-A={5,6,7},A-C={2,4}
A–={0,l,3,5,6,7,8,9},B–={0,l,2,3,8,9}
定理3.7设A,B,C为任意集合,*代表运算或,那么
(l)A*A=A(等幂律)
(2)A*B=B*A(交换律)
(3)A*(B*C)=(A*B)*C(结合律)
(4)A=A,AU=U
A=,AU=A
(5)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)(分配律)
(6)A(AB)=AA(AB)=A(吸收律)
证
(1),
(2),(3),(5),(6)由逻辑运算∧,∨的相应定律立得。
现证(4)。
对任意x,
xAxA∨x
xA(x为假)
故A=A。
而
xAxA∧x
x(x为假)
故A=。
其余两式请读者补证。
定理3.8对任意集合A,B,C,
(l)A–A=,A–=A,A–U=
(2)A–(BC)=(A–B)(A–C)
A–(BC)=(A–B)(A–C)
证我们只证
(2)中第一式,其余留给读者,
对任意x,
xA–(BC)xA∧┐(xBC)
xA∧┐(xB∨xC)
xA∧xB∧xC
(xA∧xB)∧(xA∧xC)
(xA–B)∧(xA–C)
x(A–B)(A–C)
故A–(BC)=(A–B)(A–C)。
定理3.9对任意集合A,B
(1)A––=A,U–=,–=U
(2)AA–=U,AA–=
(3)(AB)–=A–B–
(AB)–=A–B–
(4)A–B=AB–
证
(1),
(2),(4)易证,现证(3)的第一式。
(AB)–=U–(AB)
=(U–A)(U–B)
=A–B–
定理3.10对任意集合A,B,C,D,
(1)AAB.
(2)ABA
(3)A–BA
(4)AB,A–B=,AB=B,AB=A四命题等价。
(5)若AB,则B–A–
证
(1),
(2),(3),(5)易证,我们仅证明(4)。
设(4)中4个命题为P,Q,R,S,我们来证明PQRSP,从而证实4命题等价。
(PQ):
设A–B,aA–B,即aA,但aB,这与AB矛盾.故A–B=。
得证。
(QR):
为证AB=B,需证
1)BAB。
但由定理3.10之
(1),此已得证。
2)ABB。
为此设x为AB中任一元素,从而xA或xB。
当xB时目的已达到。
当xA时,若xB,则xA–B,与A–B=矛盾。
故xB。
总之,AB中元素x必为B中元素,2)又得证。
综合1)、2)可知AB=B。
(RS):
因AB=B,故
AB=A(AB)=A(吸收律)
(SP):
设AB=A。
为证AB,又设x为A中任一元素。
由此及AB=A,可知xB。
故AB得证。
定理3.11对任意集合A,B.若它们满足
(l)AB=U
(2)AB=那么B=A–
证B=B
=B(AA–)
=(BA)(BA–)
=U(BA–)
=(AA–)(BA–)
=(AB)A–
=A–
=A–
本定理的证明使用了集合等式证明的第三种方法(回忆前两种方法:
(a)利用谓词演算,(b)自然语言叙述的数学证明),利用已知等式进行推演。
这种方法简明,但难度较大。
本定理用第二种方法来证较繁锁,但思路清晰,易掌握。
先证BA–。
设xB,由于AB=,故xA,即xA–,BA–得证。
再证A–B。
设xA–,则xA;由于AB=U,故必有xB,A–B又得证。
因此B=A–。
3.2.2幂集运算和广义并、交运算
定义3.5对任意集合A,ρ(A)称为A的幂集(powersets),定义为
ρ(A)={x|xA}
即A的全体子集构成A的幂集。
由于,A,AA故必有ρ(A),Aρ(A)。
例3.7
(1)A={a,b}时,ρ(A)={,{a},{b},{a,b}}。
(2)A={0,1,2}时,ρ(A)={,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}{0,1,2}}。
我们曾指出,当集合A的基数为n时,A有2n个子集,因此|ρ(A)|=2n。
定理3.12设A,B为任意集合,AB当且仅当ρ(A)ρ(B)。
证先证必要性。
设AB。
为证ρ(A)ρ(B),又设X为ρ(A)中任一元素,从而XA。
由于AB,故XB,从而有Xρ(B)。
ρ(A)ρ(B)得证
再证充分性。
设ρ(A)ρ(B),反设AB不成立,那么至少有一元素aA,但aB。
考虑单元素集合{a},{a}ρ(A),但{a}ρ(B),与ρ(A)ρ(B)矛盾,AB得证。
为了讨论广义的并、交运算,需要以下术语。
定义3.6若集合C的每个元素都是集合,则称C为集合族(collections)。
若集合族C可表示为
C={Sd|dD}
则称D为集合族的标志集(indexset)。
例3.8C={{0},{0,1},{0,1,2},…}为一集合族,它没有标志集。
若集合族C={A1,A2,A3,…},则C的标志集为正整数集I+;集合族C={S甲,S乙,S丙},则C的标志史为集合{甲,乙,丙}。
定义3.7设C为集合族,且C非空。
(l)
称为C的广义并,定义为
(2)
称为C的广义交。
定义为
(3)当集合族C={Ad|dD}时,
和
可分别表示为
,
当D为自然数集N时,它们又可分别表示为
,
显然,当C={A,B}时,
,
例3.9
(1)当C={{0},{0,1},{0,l,2},…}时,
=N,
={0}。
(2)当C={S1,S2,S3}时,
定理3.13对任意集合A和集合族C,有
证我们只证第一式,第二式雷同。
设x为任一元素,
故
定理3.14对任意集合A和集合族C,有
证证第一式,第二式留给读者.
设
,那么xA,且对每一个SC,xS。
于是,对每一SC,xA-S,故
。
反之,设
,则对每一SC,均有xA-S,从而xA且对每一SC,xS,此即xA而x
。
故
。
两方面的证明证实
。
定理3.14的自然推论是
定理3.15对任意集合族C有
定理3.16对任意集合
.
证设x为任一元素,
故
.
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- 第三 集合 及其 运算