空间几何体知识点归纳.docx

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空间几何体知识点归纳

实用文档

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：

用各顶点字母，如五棱柱ABCDEA'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱

柱AD'

几何特征：

两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：

用各顶点字母，如五棱锥PA'B'C'D'E'

几何特征：

侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

定义：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：

用各顶点字母，如五棱台PA'B'C'D'E'

几何特征：

①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：

定义：

以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

标准文案

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几何特征：

①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：

定义：

以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：

①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：

定义：

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：

①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：

定义：

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：

①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图

1三视图：

正视图：

从前往后侧视图：

从左往右俯视图：

从上往

下

2画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：

斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于O。

画直观图时，把它们画

成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使x'O'y'45（或135），它们确定的平面

表示水平面。

（2）.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的

线段；

（3）.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，

长度为原来的一半。

5用斜二测画法画出长方体的步骤：

（1）画轴

（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

标准文案

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1.3空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：

各个面面积之和

2圆柱的表面积S2rl2r23圆锥的表面积

4圆台的表面积Srlr2RlR25球的表面积

Srlr2

S4R2

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积

V

S底h

2

锥体的体积V

1S底h

3

3台体的体积

V

1

S上S下

S下）

h4球体的体积

（S上

3

V4R3

3

标准文案

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基础练习

1选择题

1．如图的组合体的结构特征是（）

A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱

C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台

[答案]C

2．有下列命题：

①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．

其中正确的有（）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案]B

3．（2013～2014·南京模拟）经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的（）

[答案]A

4．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的

圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

标准文案

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A．

（1）

（2）

B．

（1）（3）

C．

（1）（4）

D．

（1）（5）

[答案]D

5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为

3，则这个圆锥的全面积是（）

A．3πB．33πC．6πD．9π

解析：

设圆锥底面半径为R，

1

∴2·2R·3R＝3，∴R＝1，母线l长为2，

∴S全＝πR2＋πRl＝π＋2π＝3π.答案：

A

6．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是（）

A．63B．36

C．11D．12

解析：

设长方体长、宽、高分别为a，b，c，不妨设ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得（abc）

2＝108，∴V＝abc＝63.

答案：

A

7．（2013·湖北卷）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组

标准文案

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成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几

何体均为多面体，则有（）

A．V1

C．V2

答案：

C

8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆

锥母线分成的两段的比是（）

A．1∶3B．1∶（3－1）

C．1∶9D.3∶2

解析：

由题意可知，

截面面积与底面面积之比为1∶3，

∴截面半径与底面半径之比为1∶3，

∴这两段母线长之比为1∶3－1.

答案：

B

二、填空题

1．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．

标准文案

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[答案]圆柱

2．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是

________（填序号）．

[答案]④

3．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于

EF、PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．

解析：

三个几何体都是棱柱．

答案：

3

4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．

解析：

通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为

2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，

标准文案

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3

∴S表＝3×（2×1）＋2×（4×22）＝6＋23.

答案：

6＋23

2

5．如图，已知圆柱体底面圆的半径为πcm，高为2cm，AB、CD分别是两底面的直径，

AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm（结果保留根式）．

答案：

22

6．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是

180°，圆台的表面积是（）

分析：

由题目可获取以下主要信息：

①求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积；

②上、下底面面积易得，主要求侧面积．

解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．

解析：

如图所示，设圆台的上底面周长为

，因为扇环的圆心角是

180°，

C

故C＝π·SA＝2π×10，

标准文案

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∴SA＝20，

同理可得SB＝40，

∴AB＝SB－SA＝20，

∴S表面积＝S侧＋S上＋S下

＝π（r1＋r2）·AB＋πr12＋πr2

＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202

＝1100π（cm2）．

故圆台的表面积为1100πcm2.

7.如右图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为面积为（）

解析：

圆锥高

＝

42－22＝2

3，画轴截面积图（如右图），则2

h

接圆柱的底半径

x＝1.

则圆柱的表面积

S＝2π×12＋2π×1×3＝（2＋23）π.

3的圆柱，圆柱的表

32－x

3＝2.故圆锥内

答案：

（2＋23）π

强化提升

一选择题

1．在棱柱中（）

标准文案

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A．只有两个面平行

B．所有的棱都平行

C．所有的面都是平行四边形

D．两底面平行，且各侧棱也互相平行

[答案]D

2．下列命题中，正确的是（）

A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

[答案]D

3．（2012－2013·嘉兴高一检测）如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中

两个完全一样的是（）

A．

（1）

（2）

B．

（2）（3）

C．（3）（4）

D．

（1）（4）

[答案]B

[解析]在图

（2）、（3）中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对

面，故图

（2）、（3）完全一样，而

（1）、（4）则不同

[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判

断．

标准文案

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4．下列说法不正确的是（）

A．圆柱的侧面展开图是一个矩形

B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D．圆台平行于底面的截面是圆面

[答案]C

5．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（）

A．一个球体

B．一个球体中间挖出一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

[答案]B

[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.

6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（）

标准文案

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A．圆台B．四棱锥

C．四棱柱D．四棱台

[答案]D

7．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）

A．

（1）

（2）

B．

（2）（3）

C．（3）（4）

D．

（1）（4）

[答案]

D

8．（2012－2013·安徽淮南高三模拟

）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同

的是（

）

A．①②B．①③C．①④D．②④

[答案]D

[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各

不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．

[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．

标准文案

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下图是最基本的常见几何体的三视图.

几何体直观图形正视图侧视图俯视图

正方体

长方体

圆柱

圆锥

圆台

球

9．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是（）

①角的水平放置的直观图一定是角．

②相等的角在直观图中仍相等．

③相等的线段在直观图中仍然相等．

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

A．0

B．1

C．2

D．3

[答案]

C

[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长

度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．

10．利用斜二测画法得到：

标准文案

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①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．

以上说法正确的是（）

A．①

B．①②

C．③④

D．①②③④

[答案]

B

[解析]

根据画法规则，平行性保持不变，与

y轴平行的线段长度减半．

二填空题

1．如图，在透明塑料制成的长方体

－1

111容器中灌进一些水，将容器底面一边

BC

ABCDABCD

置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：

①水的形状成棱柱形；②

水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是

________．

[答案]①③

2．下列图形：

①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．

[答案]②④⑤

[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线

段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．

3．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数

是________．

标准文案

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[答案]5

[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．

4．（2012～2013·烟台高一检测）已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形

中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．

[答案]①②③④

5．（2012－2013·湖南高三“十二校联考”）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和

侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成

一个棱长为4的正方体．

标准文案

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[答案]3

[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图

（1）所示的四棱

锥A－A1B1C1D1，

如图

（2）所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一个棱长为

4的正方体．

6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4,4）

在直观图中的对应点是M′，则点

M′的坐标为________，点M′的找法是________．

[答案]

′（4,2）

在坐标系

x

′′

′中，过点（4,0）

和

y

′轴平行的直线与过点（0,2）

M

Oy

和x′轴平行的直线的交点即是点

M′.

[解析]

在x′轴的正方向上取点

M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1

和

M2

分别作平行于

y

′轴和

x

′轴的直线，则交点就是

′.

M

标准文案

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7．如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知

′′＝6，′′＝4，则

AB

边的实际长度是________．

AC

BC

[答案]

10

[解析]

由斜二测画法，可知△

ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，

AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝

AC2＋BC2＝10.

8．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△

AOB的面积是________．

[答案]16

[解析]由图易知△AOB中，底边OB＝4，

又∵底边OB的高为8，

1

∴面积S＝2×4×8＝16.

标准文案

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9．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

则原图形的周长是________

[答案]8

[解析]原图形为

OABC为平行四边形，

OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，

∴四边形OABC周长为8.

章节练习

一、选择题

1．右面的三视图所示的几何体是（）．

标准文案

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A．六棱台B．六棱锥

C．六棱柱D．六边形（第1题）

2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（）．

A．1∶3B．1∶3C．1∶9D．1∶81

3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，

则该几何体的俯视图为（）．

（第3题）

4．A，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆（圆心与球心重合的截面圆）有

（）．

A．一个B．无穷多个

C．零个D．一个或无穷多个

5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（）．）．

ABCD

6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有（）．

A．1块

B．2块

标准文案

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C．3块

D．4块

7．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（）．

A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同

B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变

D．斜二测坐标系取的角可能是135°

8．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）．

A．①②B．①③C．①④D．②④

9．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（

）．

ABCD

10．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是（）．

A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心

标准文案

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B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心

C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心

D．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心

二、填空题

11．一圆球形气球，体积是8cm3，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积

是27cm3．则气球半径增加的百分率为．

12．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是

9和15，则这个棱柱的侧面积是．

13．右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：

①如果A是多面体的下底面，那么上面的面是；

②如果面

F

在前面，从左边看是面

，那么上面的面是

．

B

14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是．

三、解答题

15．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积

标准文案

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为6p，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积．

16．下图是一个几何体的三视图（单位：

cm）

（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积及体积.

17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，

AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体

积．

18．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们

的体积V正方体，V球，V圆柱的大小．

19．如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时水

所形成的圆锥的高恰为a，求原来水面的高度．

2

20．如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长方形，面积

分别为Q1，Q2．求四棱柱的侧面积．

标准文案

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参考答案

一、选择题

1．B

解析：

由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥．

2．A

解析：

由设两个球的半径分别为

r

，，则4p

r

2∶4π

2＝1∶9.∴

r

2∶2＝1∶9，

R

R

R

即r∶R＝1∶3．

3．C

解析：

在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，∴小长方形也

位于俯视图的左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长方形一定位于俯视图的下侧，

∴图C正