届全国大联考高三第四次联考数学试题解析版.docx
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届全国大联考高三第四次联考数学试题解析版
2020届全国大联考高三第四次联考
数学试题
一、单项选择题
1.已知会合A
x|x2
3x
40,B
y|y2x
3,则AUB(
)
A.[3,4)
B.(1,
)
C.(3,4)
D.(3,
)
【答案】B
【分析】分别求解会合A,B再求并集即可.
【详解】
因为Ax|x23x40{x|1x4},By|y2x3{y|y3},所
以AUB(1,).
应选:
B
【点睛】
此题考察会合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.
2.若直线
2x
ym0与圆x2
2x
y2
2y3
0订交所得弦长为2
5,则m
(
)
A.1
B.2
C.5
D.3
【答案】A
【分析】将圆的方程化简成标准方程,再依据垂径定理求解即可.
【详解】
圆x2
2x
y2
2y
3
0的标准方程
(x
1)2
(y
1)2
5,圆心坐标为(
1,1),半径
为5,因为直线2x
y
m0与圆x2
2x
y2
2y
3
0订交所得弦长为25,
因此直线2x
y
m
0
过圆心,得2(
1)
1
m
0
即m
1.
应选:
A
【点睛】
此题考察了依据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.
3.抛物线x23ay的准线方程是y1,则实数a()
第1页共17页
3
3
4
4
A.
B.
C.
D.
4
4
3
3
【答案】C
【分析】依据准线的方程写出抛物线的标准方程,再比较系数求解即可.
【详解】
因为准线方程为
y1
2
4y,因此3a
4,即a
4
因此抛物线方程为x
.
3
应选:
C
【点睛】
此题考察抛物线与准线的方程.属于基础题.
4.已知p:
cosxsin
y
,q:
x
y则p是q的(
)
2
A.充分而不用要条件
B.必需而不充分条件
C.充分必需条件
D.既不充分也不用要条件
【答案】B
【分析】依据引诱公式化简
sin
y
cosy再剖析即可.
2
【详解】
因为cosx
sin
y
cosy,因此q成立能够推出p成立,但p成立得不到q成立,
2
比如cos
cos5
而
5
因此p是q的必需而不充分条件.
3
3
3
3
应选:
B
【点睛】
此题考察充分与必需条件的判断以及引诱公式的运用
属于基础题.
5.一个圆锥的底面和一个半球底面完整重合,假如圆锥的表面积与半球的表面积相等,
那么这个圆锥轴截面底角的大小是()
A.15B.30C.45D.60
【答案】D
【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,从而求
得l2R即可得圆锥轴截面底角的大小.
【详解】
第2页共17页
设圆锥的母线长为
l,底面半径为
R,则有R2
RlR2
2R2,解得l
2R,因此圆
锥轴截面底角的余弦值是
R
1
60.
l
底角大小为
2
应选:
D
【点睛】
此题考察圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
6.已知F是双曲线C:
kx2y24|k|(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C
的一条渐近线的距离为()
A.2kB.4kC.4D.2
【答案】D
【分析】剖析可得k0,再去绝对值化简成标准形式,从而依据双曲线的性质求解即可.
【详解】
当k0
时,等式kx2
y2
4|k|不是双曲线的方程;当k0
时,kx2
y2
4|k|
4k
可化为
y2
x2
1,可得虚半轴长b
2,因此点F到双曲
4k
4
线C的一条渐近线的距离为
2.
应选:
D
【点睛】
此题考察双曲线的方程与点到直线的距离
.属于基础题.
7.对于函数
f(x)
sin
x
在区间
π,π的单一性,以下表达正确的选项是(
)
6
2
A.单一递加
B.单一递减
C.先递减后递加
D.先递加后递减
【答案】C
【分析】先用引诱公式得f(x)sinxcosx,再依据函数图像平移的
6
3
方法求解即可.
【详解】
函数f(x)sinx
cosx
的图象可由y
cosx向左平移
个单位得
6
3
3
到,如下图,f(x)在
π,π上先递减后递加.
2
第3页共17页
应选:
C
【点睛】
此题考察三角函数的平移与单一性的求解.属于基础题.
8.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、M分别是AB、AD、AA1的中
点,又P、Q分别在线段AB
、AD
上,且AP
AQ
m(0ma),设平面
MEFI
11
11
1
1
平面MPQ
l,则以下结论中不可立的是(
)
A.l//平面BDD1B1
B.lMC
C.当m
a
D.当m变化时,直线
l的地点不变
时,平面MPQMEF
2
【答案】C
【分析】依据线面平行与垂直的判断与性质逐一剖析即可.
【详解】
因为
PQ//B1D1,
EF
ABAD
EF//BD,
A1PAQm,
因为
因此
1
因此
、分别是
、
的中点
因此PQ//EF,因为面MEFI面MPQ
l,因此PQ//EF//l.选项A、D明显成立;
因为BD//EF//l,BD
平面ACC1A1,因此l
平面ACC1A1
因为MC
平面
ACC1A1,因此l
MC,因此B项成立;
易知AC
平面MEF,
AC
平面MPQ,而直线
AC1
与
AC不垂直,因此C项不可立.
1
1
1
应选:
C
【点睛】
此题考察直线与平面的地点关系.属于中档题.
2
|OF|
1
9
.已知抛物线y2px(p0)
F
为抛物线的焦点且
MN
为过焦点的弦,若
,
,
|MN|
8,则VOMN的面积为(
)
第4页共17页
A.22B.32C.42D.32
2
【答案】A
【分析】依据|OF|
1
可知
2
y4x
再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求
解即可.
【详解】
由题意可知抛物线方程为
y2
4x,设点M
x1,y1点
Nx2,y2,则由抛物线定义
知,MN||MF||NF|x1
x22,|MN|8则x1
x2
6.
由y2
4x得y12
4x1,y22
4x2则y12
y22
24.
又MN为过焦点的弦,因此y1y2
4,则y2
y1
y12
y22
2y1y242,因此
SVOMN
1
y2y1
2
2.
|OF|
2
应选:
A
【点睛】
此题考察抛物线的方程应用
同时也考察了焦半径公式等
.属于中档题.
10.在VABC中,内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且acosBbsinA
c.
若a
2,VABC的面积为3(2
1),则b
c
(
)
A.5
B.22
C.4
D.16
【答案】C
【分析】依据正弦定理边化角以及三角函数公式可得
A
4
再依据面积公式可求得
bc
6(2
2)
再代入余弦定理求解即可.
【详解】
VABC中,acosB
bsinAc,由正弦定理得sinAcosB
sinBsinAsinC,
又sinC
sin(A
B)sinAcosB
cosAsinB,
∴sinBsinA
cosAsinB,又sinB0,∴sinA
cosA,∴tanA
1,又A(0,
),
∴A
4
.∵SVABC
1bcsinA
2bc3(
21),
2
4
∴bc
6(2
2),∵a
2,∴由余弦定理可得
a2
(b
c)2
2bc
2bccosA,
第5页共17页
∴(bc)24(22)bc4(22)6(22)16,可得bc4.
应选:
C
【点睛】
此题主要考察认识三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
11.存在点Mx0,y0在椭圆x2
y2
1(ab0)
上,且点M在第一象限,使得过
a2
b2
x0x
y0y
1
垂直的直线经过点
0,
b
,则椭圆离心率
点M且与椭圆在此点的切线
2
b2
2
a
的取值范围是(
)
A.0,2
2
C.0,
3
D.
3,1
B.
1
3
2
2
3
【答案】D
【分析】依据题意利用垂直直线斜率间的关系成立不等式再求解即可
.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为
x0x
y0y
1,因此切线的斜率为
b2x0
a2
b2
a2y0
b
2
3
y0
b
2
2
2
2
2
由
bx0
2
1,解得y0
2c
2
b,即b
2c,因此ac2c,
2
x0
y0
a
因此c3.
a3
应选:
D
【点睛】
此题主要考察了成立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
12.已知正三棱锥ABCD的全部极点都在球O的球面上,其底面边长为4,E、F、
G分别为侧棱
AB
,AC,AD的中点.若O在三棱锥A
BCD内,且三棱锥ABCD
的体积是三棱锥
O
BCD体积的4倍,则别的接球的体积与三棱锥
OEFG体积的比
值为(
)
A.63
B.83
C.123
D.243
【答案】D
【分析】如图,平面EFG截球O所得截面的图形为圆面,计算AH4OH,由勾股
第6页共17页
定理解得R
6,别的接球的体积为
24
6
,三棱锥O
EFG体积为
2
,获得
3
3
答案.
【详解】
如图,平面EFG截球O所得截面的图形为圆面.
正三棱锥ABCD中,过A作底面的垂线AH,垂足为H,与平面EFG交点记为K,
连结OD、HD.
依题意VABCD4VO
BCD,因此AH
4OH,设球的半径为
R,
在RtVOHD中,OD
R,HD
3
BC
43,OH
1
R
OA
,
3
3
3
3
2
由勾股定理:
R243
R
3
3
2
,解得R
6,别的接球的体积为
24
6
,
3
因为平面EFG//平面BCD,因此AH
平面EFG,
球心O到平面EFG的距离为KO,
则KOOA
KAOA
1AH
R
2R
R
6,
2
3
3
3
因此三棱锥O
EFG体积为1
1
3
42
6
2,
3
4
4
3
3
因此别的接球的体积与三棱锥
O
EFG体积比值为243.
应选:
D.
【点睛】
此题考察了三棱锥的外接球问题,三棱锥体积,球体积,意在考察学生的计算能力和空间想象能力.
第7页共17页
二、填空题
x2
y2
1(a
0,b
0)的两条渐近线斜率分别为
k1,k2,若k1k2
3,
13.若双曲线
2
2
a
b
则该双曲线的离心率为
________.
【答案】2
【分析】由题得k1k2
b2
3,再依据b2
e2
1求解即可.
a2
a2
【详解】
双曲线x2
y2
1
的两条渐近线为
y
bx,可令k1
b,k2
b,则
a2
b2
a
a
a
k1k2
b2
3,因此b2
e2
13,解得e2.
a2
a2
故答案为:
2.
【点睛】
此题考察双曲线渐近线求离心率的问题
.属于基础题.
14.已知在等差数列
an中,a7
17,a1
a3
a5
15,前n项和为Sn,则
S6
________.
【答案】39
【分析】设等差数列公差为
d,
从而求得
首项为a1,再利用基本量法列式求解公差与首项
S6即可.
【详解】
设等差数列公差为d,首项为a1,依据题意可得
a7
a16d17
解得
a1
a1
2d
a1
4d15
a1
1
16
1
d
因此S6
65339.
3
2
故答案为:
39
【点睛】
此题考察等差数列的基本量计算以及前
n项和的公式,属于基础题.
15.已知抛物线y2
2px
p0
的焦点和椭圆
x2
y2
1
的右焦点重合,直线过抛
4
3
第8页共17页
物线的焦点F
与抛物线交于
P、
Q两点和椭圆交于
A、B两点,M为抛物线准线上
一动点,知足
PF
MF
8
,
MFP
,当VMFP面积最大时,直线AB的方程
3
为______.
【答案】y
3
x
1
【分析】依据均值不等式获得
PF
MF
16,△
MFP
43,依据等号成立条件得
S
到直线AB的倾斜角为
,计算获得直线方程.
3
【详解】
由椭圆x2
y2
1
,可知c
1
,p
1,p
2,
y2
4x,
4
3
2
S△MFP
1PF
MFsin
3PF
MF,
2
3
4
8PF
MF
2
PF
MF
,PF
MF
16
,
S△MFP
3PF
MF
3
16
4
3(当且仅当PF
MF4,等号成立),
4
4
QMF
4,F1F
2,
FMF1
,
MFF
1
,
6
3
直线AB的倾斜角为
,
直线AB的方程为y
3x1.
3
故答案为:
y
3
x1.
【点睛】
此题考察了抛物线,椭圆,直线的综合应用,意在考察学生的计算能力和综合应用能力.
16.已知三棱锥PABC,PAPB
PC,VABC是边长为
4的正三角形,D,E
分别是PA、AB的中点,F为棱BC上一动点(点C除外),
CDE,若异面
7
2
直线AC与DF所成的角为
,且cos
,则CF______.
10
第9页共1
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