运筹学试题及答案解析.docx
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运筹学试题及答案解析
运筹学试题及答案
一、填空题:
(每空格2分,共16分)
1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度运输问题中,如果某一非基变量的检验数为4,则说明如果在该空格中增
加一个运量运费将增加4。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解,则其对偶问题一定存在可行解”,这句话对还是错?
错
4、如果某一整数规划:
MaxZ=X+*
X+9/14X2W51/14
-2X计X1/3
X1,X2>0且均为整数
所对应的线性规划(松弛问题)的最优解为X1=3/2,X2=10/3,MaxZ=6/29,我们现在要对X进行分枝,应该分为X1w1和X1》2。
5、在用逆向解法求动态规划时,fk®)的含义是:
从第k个阶段到第n个阶段的最优解。
6、假设某线性规划的可行解的集合为D,而其所对应的整数规划的可行解集合为B,那么D和B的关系为D包含B
7、已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表(极大化问题,约束条件均为“w”型不等
式)其中X3,X4,X5为松驰变量
⑵对偶问题的最优解:
(5,0,23,0,0)
Xb
b
X
X2
X3
X4
X5
X4
3
0
0
-2
1
3
X1
4/3
1
0
-1/3
0
2/3
X2
1
0
1
0
0
-1
C-Zj
0
0
-5
0
-23
『-213
问:
(1)写出B-1=-1/3.02/3
.00-1
8.
某一个非基变量的检验数
线性规划问题如果有无穷多最优解,则单纯形计算表的终表中必然有
9.极大化的线性规划问题为无界解时,则对偶问题_无解;
10.若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求,假设X=b不符合整数要求,INT(b)是不超
过b的最大整数,则构造两个约束条件:
Xi>INT(bi)+1和Xi 将其并入上述松驰问题中,形成两个分支,即两个后继问题。 11.知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表(极大化问题,约束条件均为“w”型不等式) 其中X4,X5,X6为松驰变量 Xb b X X3 X4 X X6 X1 2 1 1 0 2 0 1 X3 2/3 0 0 1 1 0 4 X5 1 0 -2 0 1 1 6 Cj-Zj 0 0 0 -4 0 -9 问: (1)对偶问题的最优解: 丫=(4,0,9,0,0,0) (2)写出B-1= ■20r 104 J16」 二、计算题(60分) 1、已知线性规划(20分) MaxZ=3X+4X2 2X+4XW123X1+2X2W8 &,X2》0 其最优解为: 基变量 X X2 X3 X5 X3 3/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X2 5/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 Tj 0 0 0 -3/4 -1/2 1)写出该线性规划的对偶问题。 2)若O从4变成5,最优解是否会发生改变,为什么? 3)若b2的量从12上升到15,最优解是否会发生变化,为什么? 4)如果增加一种产品X6,其R=(2,3,1)T,C6=4该产品是否应该投产? 为什么? 解: 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3》3 y1+4y2+2y3>4 y1,y2>0 2)当O从4变成5时, (T4=-9/8 (T5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的,所以最优解不变。 3)当若b2的量从12上升到15 r1 X=9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的,所以最优解的基变量不会发生变化 4)如果增加一种新的产品,则 R'=(11/8,7/8,-1/4)T er6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下,求最优调运方案和最小总费用。 (共15分) 地^ 产地 B2 产量 A1 5 9 2 15 A 3 1 7 11 A 6 2 8 20 销量 18 12 16 B B2 B3 产量/t A1 15 15 A 11 11 A 18 1 1 20 M旦u aa AO aa 18 12 16 B2 B3 丿''量/t A1 5 13 0 15 A -2 0 0 11 A 0 0 0 20 解: 初始解为 计算检验数 销量/t 18 12 16 由于存在非基变量的检验数小于0,所以不是最优解,需调整 调整为: B B2 B3 产量/t Ai 15 15 A 11 11 A 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 重新计算检验数 B B2 B3 产量/t A1 5 13 0 15 A 0 2 2 11 A 0 0 0 20 销量/t 18 12 16 所有的检验数都大于等于0,所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者,规定每个承包商只能且必须 承包一个项目,试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者,总费用为多少? 各承包商对工程的 报价如表2所示: (15分) 项目 投标者、■、 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为: x=oi0o 0010 0001 总费用为50 4.考虑如下线性规划问题(24分) Maxz=-5x1+5x2+13x3 s.t.-x1+X2+3x3<20 l优质参考资料 12xl+4x2+10x3<90 X1,X2,x3>0 回答以下问题: 1)求最优解 2)求对偶问题的最优解 3)当bi由20变为45,最优解是否发生变化。 4)求新解增加一个变量X6,C6=10,ai6=3,a26=5,对最优解是否有影响 5)C2有5变为6,是否影响最优解。 答: 最优解为 1) C -5 5 13 0 0 9 CB Xb b X 茨 X3 X4 X 0 X 20 -1 1 3 1 0 20/3 0 % 90 12 4 10 0 1 9 O-Zj -5 5 13 0 0 13 20/3 -1/3 1/3 1 1/3 0 20 0 X5 70/3 46/3 22/3 0 -10/3 1 70/22 Cj-Zj -2/3 2/3 0 -13/3 0 13 185/33 -34/33 0 1 2/11 -1/22 5 X2 35/11 23/11 1 0 -5/11 3/22 -68/33 0 0 -1/11 -1/11 最优解为X=185/33,X3=35/11 2)对偶问题最优解为 Y=(1/22,1/11,68/33,0,0) 3) 当b仁45时 X=45/11 J丿 -11/90 由于X2的值小于0,所以最优解将发生变化 4)巳'=(3/11,-3/4)T (T6=217/20>0 所以对最优解有影响。 5)当C2=6 (T1=-137/33 (T4=4/11 (T5=-17/22 由于c4大于0所以对最优解有影响 5.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集),每弧旁的数字是(cj,fj)。 (15分) (9,3) (8,4) V3Vt (6,0) (4,1) (9,7)(8,8) Vt V3(6,6) 6.考虑如下线性规划问题(20分) Maxz=3xi+X2+4x3 s.t.6x1+3x2+5x3<9 3x计4X2+5X3<8 X1,X2,x3>0 回答以下问题: 1)求最优解; 2)直接写出上述问题的对偶问题及其最优解; 3)若问题中X2列的系数变为(3,2)T,问最优解是否有变化; 4)C2由1变为2,是否影响最优解,如有影响,将新的解求出。 Cj 3 1 4 0 0 CB Xb b X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 9 6 3 5 1 0 0 X5 8 3 4 5 0 1 Cj-Zj 3 1 4 0 0 0 X4 1 3 -1 0 1 -1 4 X3 8/5 3/5 4/5 1 0 1/5 Cj-Zj 3/5 -11/5 0 0 -4/5 3 X1 1/3 1 -1/3 0 1/3 -1/3 4 X3 7/5 0 1 1 -1/5 2/5 Cj-Zj 0 -2 0 -1/5 -3/5 最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2)对偶问题为 Minw=9y1+8y2 6y1+3y2>3 3y1+4y2>15y1+5y2>4 y1,y2>0 对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/5 3)若问题中X2列的系数变为(3,2) 则R'=(1/3,1/5) (T2=-4/5v0 所以对最优解没有影响 4)C2由1变为2 (T2=-1V0 所以对最优解没有影响 7.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集),每弧旁的数字是(Cj,fj)。 (10分) (5,3)(7,5) V2(5,4)V4 解: (5,4)(7,7) V2(5,5) V4 最大流=11 8.某厂I、U、川三种产品分别经过A、B、C三种设备加工。 已知生产单位各种产品所需的设备台时,设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表: I n 设备能力(台.h) A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单位产品利润 (元) 10 6 4 1)建立线性规划模型,求获利最大的产品生产计划。 (15分) 2)产品川每件的利润到多大时才值得安排生产? 如产品川每件利润增加到50/6元,求最优计划的 变化。 (4分) 3)产品I的利润在多大范围内变化时,原最优计划保持不变。 (2分) 4)设备A的能力在什么范围内变化时,最优基变量不变。 (3分) 5)如有一种新产品,加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h,预期每件为8元,是否值得生产。 (3分) 6)如合同规定该厂至少生产10件产品川,试确定最优计划的变化。 (3分) 解: 1)建立线性规划模型为: MaxZ=10x1+6x2+4x3 x1+x2+x3w100 10x1+4x2+5x3=600 2x1+2x2+6x3W300xj>0,j=1,2,3 获利最大的产品生产计划为: X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)'=(100/3,200/3,0,0,0,100)'Z*=2200/3 2)产品川每件利润到20/3才值得生产。 如果产品川每件利润增加到50/6元,最优计划的变化为: X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)'=(175/6,275/6,25,0,0,0)'Z*=775 3)产品I的利润在[6,15]变化时,原最优计划保持不变。 4)设备A的能力在[60,150]变化时,最优基变量不变。 5)新产品值得生产。 6)最优计划的变化为: X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)'=(190/6,350/6,10,0,0,60)'Z*=706.7 9.给出成性规划问题: (15分) Minz=2x1+3x2+6x3 X1+2X2+X3》2 F "-2x1+x2+3x3<-3 I Xj>0j=1,…,4 要求: (1)写出其对偶问题。 (5分) ⑵利用图解法求解对偶问题。 (5分) (3)利用 (2)的结果,根据对偶问题性质写出原问题最优解。 (5分) 解: 1)该问题的LD为: MaxW=2y1-3y2 y1-2y2<2 2y1+y2<3 y1+3y2<6 y1>0,y2<0 2)用图解法求得LD的最优解为: 丫*=(y1,y2)'=(8/5,-1/5)'W*=19/5 3)由互补松弛定理: 原问题的最优解为: X*=(x1,x2,x3)'=(8/5,1/5,0)' 10.某部门有3个生产同类产品的工厂(产地),生产的产品由4个销售点(销地)出售,各工厂的量,各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于下表中,要求研究 产品如何调运才能使总运量最小? (10分) B B2 B 产量 A1 4 12 4 11 32 A 2 10 3 9 20 A 8 5 11 6 44 销量 16 28 28 24 96\96 解: 最优调运方案为: A1-B3和B428t和4t A2-B1和B416t和4t A3-B2和B428t和16t 最小总运费为: 460元 11.求解下列0-1规划问题maxz=3x+2x2-5x3-2x4+3x5 x1+x2+x3+2x4+x5<4 7x1+3x3-4x4+3x5<8 I 11x「6x2+3x4-3x5>3 h xj=O或1(j=1,…,5) 解: 最优解为: x仁x2=1,其他为0,最优目标函数值为5
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