浙江专版高考数学 仿真卷1.docx
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浙江专版高考数学仿真卷1
(浙江专版)2019年高考数学仿真卷1
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若i是虚数单位,复数z满足(1-i)z=1,则|2z-3|=( )
A. B.
C.D.
B [由题意得z===+i,则|2z-3|=|-2+i|==,故选B.]
2.若a,b都是正数,则的最小值为( )
A.7B.8
C.9D.10
C [=1+++4≥5+2=9,当且仅当2a=b时,等号成立,所以的最小值为9,故选C.]
3.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为( )
A.±B.±1
C.±D.±
A [因为点M到抛物线的焦点的距离为2p,所以点M到抛物线的准线的距离为2p,则点M的横坐标为,即M,所以直线MF的斜率为±,故选A.]
4.函数f(x)=xecosx(x∈[-π,π])的图象大致是( )
B [由题意得f(-x)=-xecos(-x)=-xecosx=-f(x)(x∈[-π,π]),所以函数f(x)为奇函数,函数图象关于原点成中心对称,排除A、C.又因为f′(x)=ecosx+xecosx·(-sinx),则f′(0)=e,即函数f(x)在原点处的切线的斜率为e,排除D,故选B.]
5.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为( )
图1
A.14B.
C.22D.
A [由三视图得该几何体为一个底面为底为3,高为2的三角形,高为4的直三棱柱和一个底面为底为3,高为2的三角形,高为2的三棱锥的组合体,则其体积为4××2×3+×2××2×3=14,故选A.]
6.在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,AB=AC=2,PA=2,则三棱锥PABC外接球的表面积为( )
A.20πB.24π
C.28πD.32π
A [因为∠BAC=60°,AB=AC=2,所以△ABC为边长为2的等边三角形,则其外接圆的半径r==2,则三棱锥PABC的外接球的半径R==,则三棱锥PABC的外接球的表面积为4πR2=20π,故选A.]
7.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )
A.50 B.80
C.120D.140
B [当甲组有两人时,有CCA种不同的分配方案;当甲组有三人时,有CA种不同的分配方案.综上所述,不同的分配方案共有CCA+CA=80种不同的分配方案,故选B.]
8.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x).若对任意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,则使x2f(x)-f
(1) A.{x|x≠±1} B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1) B [设g(x)=x2[f(x)-1],则由f(x)为偶函数得g(x)=x2[f(x)-1]为偶函数.又因为g′(x)=2x[f(x)-1]+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)-2],且2f(x)+xf′(x)<2,即2f(x)+xf′(x)-2<0,所以当x>0时,g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)-2]<0,函数g(x)=x2[f(x)-1]单调递减;当x<0时,g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)-2]>0,函数g(x)=x2[f(x)-1]单调递增,则不等式x2f(x)-f (1) (1)-1⇔g(x) (1)⇔|x|>1,解得x<-1或x>1,故选B.] 9.已知f(x)=x2+3x,若|x-a|≤1,则下列不等式一定成立的是( ) A.|f(x)-f(a)|≤3|a|+3 B.|f(x)-f(a)|≤2|a|+4 C.|f(x)-f(a)|≤|a|+5 D.|f(x)-f(a)|≤2(|a|+1)2 B [∵f(x)=x2+3x,∴f(x)-f(a)=x2+3x-(a2+3a)=(x-a)(x+a+3), ∴|f(x)-f(a)|=|(x-a)(x+a+3)|=|x-a||x+a+3|, ∵|x-a|≤1,∴a-1≤x≤a+1,∴2a+2≤x+a+3≤2a+4, ∴|f(x)-f(a)|=|x-a||x+a+3|≤|2a+4|≤2|a|+4,故选B.] 10.如图,四边形ABCD是矩形,沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD,异面直线CD与A′B所成的角为α,则( ) 图 A.α<∠A′CDB.α>∠A′CD C.α<∠A′CAD.α>∠A′CA D [∵AB∥CD,∴∠A′BA为异面直线CD与A′B所成的角α,假设四边形ABCD是正方形,AB=2,平面A′BD⊥平面ABCD,连接AC交BD于点O,连接A′A,A′C,则A′O⊥平面ABCD,A′O=AO=BO=CO=DO=AC=,∴A′A=A′C=A′B=A′D=2,∴△A′BA,△A′CD是等边三角形,△A′CA是等腰直角三角形,∴∠A′CA=45°,∠A′CD=∠A′BA=60°,即α>∠A′CA,α=∠A′CD,排除A,B,C,故选D.] 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上) 11.设全集U=R,集合A={x|x2-3x-4<0},B={x|log2(x-1)<2},则A∩B=________,∁RA=________. (1,4) (-∞,-1]∪[4,+∞) [A=(-1,4),B=(1,5),所以A∩B=(1,4),∁RA=(-∞,-1]∪[4,+∞).] 12.6的展开式中常数项为________(用数字作答). 135 [二项式6的展开式的通项公式为Tr+1=C(3x)6-rr= 36-rCx ,令6-r=0,得r=4,所以6的展开式中常数项为32C=135.] 13.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则·=____________,cosA=__________. - [由4+5=-3,||=||=||=1得(4+5)2=92,即16+25+40·=9,·=-,·=1×1×cos∠BOC=-,解得cos∠BOC=-,因为∠BOC=2∠A,所以cosA==.] 14.已知变量x,y满足点(x,y)对应的区域的面积________,的取值范围为________. [不等式组对应的平面区域是以点(1,1),(1,3)和为顶点的三角形区域,该区域的面积为×2×=.的几何意义是可行域上的点(x,y)与原点连线的斜率,当(x,y)为点时,min=,当(x,y)为点(1,3)时,max=3,所以∈,令=t∈,则=+=+t,当t=1时,取得最小值2,当t=3时,取得最大值,故的取值范围是.] 15.已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线的渐近线方程为________. x±y=0 [由题意不妨设|PF1|-|PF2|=2a, ∵|PF1|+|PF2|=6a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. ∵|F1F2|=2c>2a,∴△PF1F2最小内角为∠PF1F2=30°,∴在△PF1F2中,由余弦定理得4a2=4c2+16a2-2×2c×4a×cos30°,解得c=a,∴b=a,故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.] 16.甲、乙两人被随机分配到A,B,C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A岗位的人数为随机变量X,则随机变量X的数学期望E(X)=________,方差D(X)=________. [由题意可得X的可能取值有0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则数学期望E(X)=0×+1×+2×=,方差D(X)=2×+2×+2×=.] 17.若函数f(x)=x2(x-2)2-a|x-1|+a有四个零点,则a的取值范围为________. [显然x=0和x=2为函数f(x) 的两个零点.当x≠0且x≠2时,令x2(x-2)2-a|x-1|+a=0得a==设g(x)=则由题意得直线y=a与函数g(x)的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点,在平面直角坐标系内画出函数g(x)的图象如图所示,由图易得当a=-或-10时,直线y=a与函数g(x)的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点,即a的取值范围为.] 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分14分)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知函数f(x)=sin(2x+B)+cos(2x+B)为偶函数,b=f. (1)求b; (2)若a=3,求△ABC的面积S. [解] (1)f(x)=sin(2x+B)+cos(2x+B)=2sin, 由f(x)为偶函数可知B+=+kπ,k∈Z, 所以B=+kπ,k∈Z.5分 又0 b=f=.7分 (2)因为B=,b=,由正弦定理可得sinA==,12分 所以A=或A=. 当A=时,△ABC的面积S=; 当A=时,△ABC的面积S=.14分 19.(本小题满分15分)如图2,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形BFED为矩形,平面BFED⊥平面ABCD,BF=1. 图3 (1)求证: AD⊥平面BFED; (2)点P在线段EF上运动,设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ,试求θ的最小值. [解] (1)证明: 在梯形ABCD中, ∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°, ∴AB=2. ∴BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos60°=3.2分 ∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD. ∵平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED∩平面ABCD=BD,DE⊂平面BFED,DE⊥DB, ∴DE⊥平面ABCD,5分 ∴DE⊥AD,又DE∩BD=D, ∴AD⊥平面BFED.7分 (2)由 (1)可建立以直线DA,DB,DE为x轴,y轴,z轴的如图所示的空间直角坐标系,令EP=λ(0≤λ≤), 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,λ,1), ∴=(-1,,0),=(0,λ-,1),8分 设n1=(x,y,z)为平面PAB的法向量, 由得 取y=1,则n1=(,1,-λ).12分 ∵n2=(0,1,0)是平面ADE的一个法向量, ∴cosθ===. ∵0≤λ≤,∴当λ=时,cosθ有最大值. ∴θ的最小值为.15分 20.(本小题满分15分)设函数f(x)=+. (Ⅰ)求函数f(x)的值域; (Ⅱ)当实数x∈[0,1],证明: f(x)≤2-x2. [解] (Ⅰ)函数f(x)的定义域是[-1,1], ∵f′(x)=, 当f′(x)>0时,解得-1 当f′(x)<0时,解得0 ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,4分 ∴f(x)min=f (1)=f(-1)=,f(x)max=f(0)=2,7分 ∴函数f(x)的值域为[,2]. (Ⅱ)证明: 设h(x)=++x2-2,x∈[0,1],h(0)=0, ∵h′(x)=-(1-x)-+(1+x)-+x =x,10分 ∵(+)=·≤2, ∴h′(x)≤0. ∴h(x)在(0,1)上单调递减,13分 又h(0)=0,∴h(x)≤h(0)=0, ∴f(x)≤2-x2.15分 21.(本小题满分15分)已知椭圆C1: +=1,抛物线C2: y2=4x,过抛物线C2上一点P(异于原点O)作切线l交椭圆C1于A,B两点. 图4 (1)求切线l在x轴上的截距的取值范围; (2)求△AOB面积的最大值. [解] (1)设P(t2,2t)(t≠0),显然切线l的斜率存在, 设切线l的方程为y-2t=k(x-t2),即y=k(x-t2)+2t.1分 由消去x得ky2-4y-4kt2+8t=0, 由Δ=16-16k(-kt2+2t)=0,得k=, 从而切线l的方程为x=ty-t2,3分 令y=0,得切线l在x轴上的截距为-t2. 由得(3t2+4)y2-6t3y+3t4-12=0, 令Δ=36t6-12(3t2+4)(t4-4)>0,得0 则-4<-t2<0,6分 故切线l在x轴上的截距的取值范围为(-4,0).7分 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 (1)知y1+y2=,y1y2=,|AB|=|y1-y2| =· =· =4··,9分 原点O到切线l的距离为d=, ∴S=|AB|×d=2·.12分 令3t2+4=u,∵0 则有S=2· =·, ∴S=· =·. 令y=u+,∵4 ∴y=u+在(4,16)上为增函数, 得8 ∴S=·,当y=∈(8,17)时, Smax=·=.14分 由y=u+=得u=,有t=< 2,故当t=时,△OAB面积S有最大值.15分 22.(本小题满分15分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足=n+r. (1)若a1=2,求数列{an}的通项公式; (2)在 (1)的条件下,设bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证: Tn≥. [解] (1)令n=1,得+r=1,∴r=,1分 则Sn=an,∴Sn-1=an-1(n≥2), 两式相减得=(n≥2),3分 ∴···…·=···…·, 化简得=(n≥2), ∴an=n2+n(n≥2),6分 又a1=2适合an=n2+n(n≥2),∴an=n2+n.7分 (2)证明: 由 (1)知a2n-1=(2n-1)·2n, ∴bn===-,∴T1=≥不等式成立, ∴Tn=-+-+-+…+-(n≥2), ∴Tn=+++…+-2 =+++…+-, ∴Tn=++…+,10分 ∴2Tn=++…++…+. ∵+=≥(仅在k=时取等号), ∴2Tn≥,即结论Tn≥成立.15分
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