学年高中数学第二章数列21数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式学案.docx

学年高中数学第二章数列21数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式学案.docx

《学年高中数学第二章数列21数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学第二章数列21数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式学案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学年高中数学第二章数列21数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式学案

2.1数列的概念与简单表示法

第一课时　数列的概念与通项公式

数列的概念

[提出问题]

观察下列示例，回答后面问题

（1）正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，.

（2）－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16.

（3）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：

1740,1823,1906,1989,2072，….

（4）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：

一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：

，，，，，….

问题：

观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？

提示：

按照一定的顺序排列．

[导入新知]

数列的概念

（1）定义：

按照一定顺序排列的一列数称为数列．

（2）项：

数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项（或称为首项），a2称为第2项，…，an称为第n项．

（3）数列的表示：

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．

[化解疑难]

1．数列的定义中要把握两个关键词：

“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．

2．项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．

3．{an}与an是不同概念：

{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项.

数列的分类

[提出问题]

问题：

观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？

这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？

提示：

数列

（1）中有6项，数列

（2）中有4项，数列（3）（4）中有无穷多项；数列

（1）中每一项都小于它的前一项，数列

（2）中的项大小不确定，数列（3）中每一项都大于它的前一项，数列（4）中每一项都小于它的前一项．

[导入新知]

数列的分类

分类标准

名称

含义

按项的个数

有穷数列

项数有限的数列

无穷数列

项数无限的数列

按项的变

化趋势

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列

常数列

各项相等的数列

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

[化解疑难]

在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…，100.表示有穷数列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列．

数列的通项公式

[提出问题]

问题：

仍然观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？

这种关系是否可以表示为一个公式？

提示：

每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示．

[导入新知]

数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

[化解疑难]

1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．

2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

数列的概念及分类

[例1]　已知下列数列：

（1）0,0,0,0,0,0；

（2）0，－1,2，－3,4，－5，…；

（3）0，，，…，，…；

（4）1,0.2,0.22,0.23，…；

（5）0，－1,0，…，cosπ，….

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．（填序号）

[解析]　

（1）是常数列且是有穷数列；

（2）是无穷摆动数列；

（3）是无穷递增数列；

（4）是无穷递减数列；

（5）是无穷摆动数列．

[答案]　

（1）　

（2）（3）（4）（5）　（3）　（4）　

（1）　

（2）（5）

[类题通法]

判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．

[活学活用]

给出下列数列：

（1）2009～2016年某市普通高中生人数（单位：

万人）构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.

（2）无穷多个构成数列，，，，….

（3）－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，5次幂……构成数列－2,4，－8,16，－32，….

（4）精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列

1,1.4,1.41,1.414，…；

2,1.5,1.42,1.415，….

分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．

解：

有穷数列：

82,93,105,119,129,130,132,135.

无穷数列：

，，，，…；

－2,4，－8,16，－32，…；

1,1.4,1.41,1.414，…；

2,1.5,1.42,1.415，….

递增数列：

82,93,105,119,129,130,132,135；

1,1.4,1.41,1.414，….

递减数列：

2,1.5,1.42,1.415，….

常数列：

，，，，….

摆动数列有：

－2,4，－8,16，－32，….

由数列的前几项求通项公式

[例2]　写出下列数列的一个通项公式：

（1），2，，8，，…；

（2）9,99,999,9999，…；

（3）1，2，3，4，…；

（4）－，，－，，….

[解]　

（1）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：

，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝（n∈N*）．

（2）各项加1后，变为10,100,1000，10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1.

（3）因为1＝1＋，2＝2＋，3＝3＋，4＝4＋，…，

所以该数列的一个通项公式为an＝n＋.

（4）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝（－1）n.

[类题通法]

此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法．这些方法的具体对象为：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．

[活学活用]

写出下列数列的一个通项公式：

（1）0,3,8,15,24，…；

（2）1，－3,5，－7,9，…；

（3）0，，，，…；

（4）1,11,111,1111，….

解：

（1）观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.

（2）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝（－1）n＋1（2n－1）．

（3）因为5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为an＝（n∈N*）．

（4）原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝（10n－1）.

通项公式的简单应用

[例3]　已知数列{an}的通项公式是an＝.

（1）写出该数列的第4项和第7项；

（2）试判断和是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．

[解]　

（1）由通项公式an＝可得

a4＝＝，a7＝＝.

（2）令＝，得n2＝9，

所以n＝3（n＝－3舍去），

故是该数列中的项，并且是第3项；

令＝，得n2＝，

所以n＝±，

由于±都不是正整数，

因此不是数列中的项．

[类题通法]

1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．

2．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．

[活学活用]

已知数列{an}的通项公式为an＝qn，且a4－a2＝72.

（1）求实数q的值；

（2）判断－81是否为此数列中的项．

解：

（1）由题意知q4－q2＝72⇒q2＝9

或q2＝－8（舍去），

∴q＝±3.

（2）当q＝3时，an＝3n，显然－81不是此数列中的项；

当q＝－3时，an＝（－3）n，

令（－3）n＝－81＝－34，也无解．

∴－81不是此数列中的项.

[典例]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，求n为何值时，an有最小值？

并求出最小值．

[解]　∵an＝n2－5n＋4＝2－，

∴可知对称轴为n＝＝2.5.

又n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，

其最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.

[易错防范]

1．忽视了借助二次函数求最值，而认为当n＝1时取得最小值．

2．由an＝2－知n＝时取最小值，忽视n∈N*.

3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*（或它的有限子集{1,2,3，…，n}）这一约束条件．

[成功破障]

求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项．

解：

已知－2n2＋9n＋3＝－22＋，

由于n为正整数，

故当n＝2时，取得最大值为13，

所以数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项为第2项，值为13.

[随堂即时演练]

1．将正整数的前5个数排列如下：

①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有（　　）

A．①　　　　　　　B．①②

C．①②③D．①②③④

解析：

选D　数列是按“一定顺序”排列的一列数．因此选D.注意此题易错选B.

2．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的（　　）

A．第100项B．第12项

C．第10项D．第8项

解析：

选C　∵an＝，令＝0.08，

解得n＝10或n＝（舍去）．

3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.

解析：

根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵an＝3－2n，

∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.

答案：

3－4n　

4．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．

解析：

由＝n－2可知，an＝n2－2n，

令n2－2n＝15，得n＝5（n＝－3舍去）．

答案：

5

5．已知an＝.

（1）求a3；

（2）若an＝，求n.

解：

（1）将n＝3代入an＝，

得a3＝＝.

（2）将an＝代入an＝，

得＝，解得n＝8.

[课时达标检测]

一、选择题

1．下面有四个结论：

①数列的通项公式是唯一的；

②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；

③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；

④每个数列都有通项公式．

其中叙述正确的有（　　）

A．①②　　　　　　　　　B．②③

C．③④D．①④

解析：

选B　数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．

2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于（　　）

A．70B．28

C．20D．8

解析：

选C　由an＝

得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.

3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是（　　）

A．an＝（－1）n·（2n－1）

B．an＝（－1）n·（2n－1）

C．an＝（－1）n＋1·（2n－1）

D．an＝（－1）n＋1·（2n－1）

解析：

选A　数列各项正、负交替，故可用（－1）n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝（－1）n·（2n－1）．

4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是（　　）

A．递增数列　　　　　　B．递减数列

C．常数列D．摆动数列

解析：

选A　an＝＝1－，∴n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．

5．下列命题：

①已知数列{an}，an＝（n∈N*），那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项；

②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝；

③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；

④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．

其中正确命题的个数为（　　）

A．4B．3

C．2D．1

解析：

选A　对于①，令an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第1项．①正确．

对于②，数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，，，…⇒

an＝.②正确．

对于③，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29.

③正确．

对于④，由an＋1－an＝3＞0，易知④正确．

二、填空题

6．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．

解析：

令＝，解得n＝4（n＝－5舍去），所以是第4项．

答案：

4

7．已知数列{an}的前4项为11,102,1003,10004，…，则它的一个通项公式为________．

解析：

由于11＝10＋1,102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.

答案：

an＝10n＋n

8．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．

解析：

令an＝n2－8n＋12＜0，

解得2＜n＜6，

又因为n∈N*，

所以n＝3,4,5，一共有3项．

答案：

3

三、解答题

9．求下列数列的一个可能的通项公式：

（1）1，－1,1，－1，…；

（2）1,10,2,11,3,12，…；

（3）1＋，1－，1＋，1－，….

解：

（1）an＝（－1）n＋1或an＝

（2）an＝

或an＝.

（3）an＝1＋（－1）n＋1.

10．数列{an}中，已知an＝（n∈N*）．

（1）写出a10，an＋1，a；

（2）79是不是该数列中的项？

若是，是第几项．

解：

（1）a10＝＝，

an＋1＝＝，

an2＝＝.

（2）假设79是该数列的第n项，则79＝，

∴n2＋n－240＝0.

解之，得n＝15或n＝－16（舍去）．

故79是该数列的第15项．

11．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求a2015；

（3）2016是否为数列{an}中的项？

解：

（1）设an＝kn＋b（k≠0），则有

解得k＝4，b＝－2.

∴an＝4n－2.

（2）a2015＝4×2015－2＝8058.

（3）令2016＝4n－2，解得n＝504.5∉N*，

∴2016不是数列{an}中的项．

12．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2.

（1）求a3＋a5；

（2）探究是否为此数列中的项；

（3）试比较an与an＋1（n≥2）的大小．

解：

∵a1·a2·a3·…·an＝n2（n∈N*），①

∴当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝（n－1）2.②

由，得an＝（n≥2）．

（1）∵an＝（n≥2），∴a3＋a5＝＋＝.

（2）∵＝＝a16，∴是数列中的第16项．

（3）n≥2时，an－an＋1＝－

＝＝>0，

∴an>an＋1.