人教版数学第二十四章圆第13讲两圆关系及弧长和扇形面积.docx
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人教版数学第二十四章圆第13讲两圆关系及弧长和扇形面积
第13讲两圆关系及弧长和扇形面积
考点·方法·破译
1.理解掌握圆与圆的五种位置关系,会根据距离与半径的数量关系,确定圆与圆的位置关系,能根据圆与圆的位置关系,探究相应半径与距离的数量关系;
2.会计算弧长与扇形面积以及圆锥、圆柱的侧面积和全面积,并会借助分割与转化的思想巧求阴影部分的面积。
经典·考题·赏析
经典·考题·赏析
【例1】已知两圆半径分别为2和3,圆心距为d,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是()
A.0<d<1B.d>5C.0<d<1或d>5D.0≤d<1或d>5
【解法指导】两圆的五种位置关系中无公共点的有外离和内含两种,圆心距分别为大于半径之和、小于半径之差,则本题应选D
【变式题组】
1.大圆半径为6,小圆半径为3,两圆圆心距为10,则这两圆的位置关系为()
A.外离B.外切C.相交D.内含
2.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm,圆心距7cm,则两圆的位置关系为()
A.外离B.外切C.相交D.内切
3.已知⊙O1与⊙O2半径分别为1和4,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是()
4.若两圆的直径分别是2㎝和10㎝,圆心距为8㎝,则这两个圆的位置关系是()
A.内切B.相交C.外切D.外离
【例2】如图,⊙O1,⊙O2,⊙O3两两相外切,⊙O1的半径r1=1,⊙O2的半径r2=2,⊙O3的半径r3=3,则△O1O2O3是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
【解法指导】根据外切两圆圆心距与两圆半径关系:
d=R+r,得O1O2=3,O2O3=5,O1O3=4,它们满足勾股定理,所以△O1O2O3是直角三角形。
本题选B.
【变式题组】
5.如图所示,点A、B在直线MN上,⊙A、⊙B的半径均为1㎝,⊙A以每秒2㎝的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t之间的关系式为r=1+t(t≥0),当点A出发后秒两圆相切。
6.如图,两个等圆⊙O与⊙O′外切,过点O作⊙O′的两条切线OA、OB,A、B是切点,则∠AOB=
【例3】(彬州)如图已知扇形的半径为,圆心角的度数为,若将此扇形围成一个圆锥,则围成的圆锥的侧面积为()
A.4πcm2B.6πcm2C.9πcm2D.12πcm2
【解法指导】解圆锥的问题关键点:
圆锥的侧面积就是展开扇形的面积,故要计算圆的面积的三分之一。
解:
S=π×62×
,本题应选D
【变式题组】
7.圆锥的底面半径为8,母线长为9,则该圆锥的侧面积为()
A.36πB.48πC.72πD.144π
8.已知圆锥的底面半径长为5,侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°,则该圆锥的母线长等于
9.现有30%圆周的一个扇形彩纸片,该扇形的半径为40cm,小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目,她打算剪去部分扇形纸片后,利用剩下的纸片制作一个底面半径为10㎝的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)那么剪去的扇形纸片的圆心角为()
A.9°B.18°C.63°D.72°
【例4】
(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分别以AC、BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为(结果保留π)
(2)(新疆)如图
(2),已知菱形ABCD的边长为1.5cm,B、C两点在扇形AEF的
上,求
的长度及扇形ABC的面积
【解法指导】
(1)本题考察直角三角形、扇形面积、由图可知阴影部分的面积=半圆AC的面积+半圆BC的面积-Rt△ABC的面积,所以S阴影=
π·22+
π·12—
×2×4=
π-4,故填
π-4
(2)本题要用补形法
解:
连接AC,∵四边形ABCD是菱形且边长为1.5,∴AB=BC=1.5,∴AB=BC=1.5,又∵B、C两点在扇形AEF的
上,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,
的长=
=
(cm),S扇形ABC=
Lr=
·
·1.5=
π(cm2)
【变式题组】
10.如图,把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2,两圆相交于A、B,且O1A⊥O2A,则图中阴影部分的面积是()
A.4π-8B.8π-16C.16π-16D.16π-32
11.如图,正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上,四条边与小圆都相切,AB、CD过圆心O,且AB⊥CD,则图中阴影部分的面积是()
A.4πB.2πC.πD.0.5π
12.如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,若∠APB=60°,⊙O的半径为3,则阴影部分的面积为
【例5】如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米,⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0)
(1)试写出点A,B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式;
(2)问点A出发后多少秒两圆相切?
【解法指导】解:
(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;当t>5.5时,函数表达式d=2t=11
(2)两圆相切可分为如下四种情况;①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+1+t,t=3;②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,t=
;③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11;④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13。
所以,点A出发后3秒、
秒、11秒、13秒两圆相切。
【变式题组】
13.如图,⊙A、⊙B的圆心在直线l上,两圆的半径都为1㎝,开始时圆心距AB=4cm,现⊙A、⊙B同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动,则当两圆相切时,⊙A运动的时间为秒.
14.如图,⊙A,⊙B的半径分别为1cm,2cm,圆心距AB为5cm,如果⊙A由图示位置沿直线AB向右平移3cm,则此时该圆与⊙B的位置关系是
【例3】(吉林)已知:
B,C是线段AD上的两点,且AB=CD,分别以AB,BC,CD,AD为直径作四个半圆,得到一个如图所示的轴对称图形,此图的对称轴分别交其中两个半圆于M,N交AD于O,若AD=16,AB=2r,回答下列问题:
(1)用含r的代数式表示BC=,MN=
(2)设以MN为直径的圆的面积为S,阴影部分的面积为S阴影,请通过计算填写下表:
(3)由此表猜想S与S阴影的大小关系,并证明你的猜想
【解法指导】
(1)16-4r,16-2r
(2)
(3)S=S阴影.证明:
∵S=π(
)2=π(8-r)2=64π-16πr+πr2
S阴影=
×82π-πr2+
π(8-2r)2=64π-16πr+πr2,∴S=S阴影
【变式题组】
15.如图,正方形OA1B1C1的边长为1,以O为圆心、OA1为半径作扇形OA1C1,A1C1与OB1相交于点B2,设正方形OA1B1C1与扇形OA1C1之间的阴影部分的面积为S1;然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2,又以O为圆心,OA为半径作扇形OA2C2,A2C2与OB1相交于点B3,设正方形OA2B2C2与扇形OA2C2之间的阴影部分面积为S2;按此规律继续作下去,设正方形OAnBnCn与扇形OAnCn之间的阴影部分面积为Sn
(1)求S1,S2,S3;
(2)写出S2008;
(3)试猜想Sn(用含n的代数式表示,n为正整数)
演练巩固·反馈提高
1.如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O1、⊙O2均与⊙O的弧AB相切,且O1O2∥l1(l1为水平线),⊙O1、⊙O2的半径均为30mm,弧AB的最低点到l1的距离为30mm,公切线l2与l1间的距离为100mm,则⊙O的半径为()
A.70mmB.80mmC.85mmD.85mm
2.如果一个圆锥的主视图是正三角形,则其侧面展开图的圆心角为()
A.120°B.约156°C.180°D.约208°
3.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,以AB边所在的直线为轴,将△ABC旋转一周,则所得几何体的表面积是()
A.
πB.24πC.
πD.12π
4.已知⊙O1与⊙O2外切,它们的半径分别为2和3,则圆心距O1O2的长是()
5.如图,两同心圆的圆心为O,大圆的弦AB切小圆于P,两圆的半径分别为6、3,则图中阴影部分的面积是
6.在综合实践活动课上,小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型,如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥漏斗的侧面积是()
A.30cm2B.30πcm2C.60πcm2D.120cm2
7.如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a,0),半径为5,如果两圆内含,那么a的取值范围是.
8.相切两圆的圆心距是7,其中一圆的半径是4,则另一圆的半径是.
9.已知△ABC的三边分别是a,b,c,两圆的半径,r1=a,r2=b,圆心距d=c,则这两个圆的位置关系是.
10.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB,
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积(结果保留π)
培优升级·奥赛检测
1.已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,则这两个圆的圆心距是
2.图2-1中的圆与正方形各边都相切,设这个圆的面积为S1,图2-2中的四个圆的半径相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设这四个圆的面积之和为S2,图2-3中的九个圆半径相等,并依次外切,且与正方形的各边相切,设这九个圆的面积之和为S3,……依此规律,当正方形边长为2时,第n个图中所有圆的面积之和Sn=
3.已知两圆半径分别是3和2,圆心坐标分别是(0,2)和(2,-4),那么两圆的位置关系是()
A.内含B.相交C.相切D.外离
4.已知相切两圆的半径分别为5㎝和4㎝,这两个圆的圆心距是。
5.如图,△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形,直角边AB是半圆O1的直径,半圆O2过点C且与半圆O1相切,则图中阴影部分的面积是()
A.
a2B.
a2C.
a2D.
a2
6.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB、AC分别相交于点D、E。
若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经过△ABC的()
A.内心B.外心C.重心D.垂心
7.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为
8.如图,7根圆形筷子的横截面圆半径为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为
9.如图ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P,延长AP交BC于点N,则
=
10.如图①,O1、O2、O3、O4为四个等圆的圆心,A,B,C,D为切点,请你在图中画出一条直线,将这四个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是;如图②,O1、O2、O3、O4、O5为五个等圆的圆心,A,B,C,D、E为切点,请你在图中画出一条直线,将这五个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是.
11.如图,正方形ABCD中,E是边BC上一点,以E为圆心,EC为半径的半圆与以A为圆心,AB为半径的圆弧外切,则sin∠EAB的值为.
12.如图,有一个圆O和两个正六边形T1、T2.T1的6个顶点都在圆周上,T2的6条边都和圆O相切(我们称T1、T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)
(1)设T1、T2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求r:
a及r:
b的值;
(2)求正六边形T1、T2的面积比S1:
S2的值
13.如图,在平面直角坐标系中,点O1的坐标为(-4,0),以点O1为圆心,8为半径的圆与x轴交于A,B两点,过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角,且交y轴于C点,以点O2(13,5)为圆心的圆与x轴相切于点D
(1)求直线l的解析式;
(2)将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移,当⊙O2第一次与⊙O1外切时,求平移的时间.
14.如图,已知⊙O1与⊙O2都经过点A,AO1是⊙O2的切线,⊙O1交O1O2于点B,连结AB并延长交⊙O2于点C,连结O2C
(1)求证:
O2C⊥O1O2;
(2)证明:
AB·BC=2O2B·BO1;
(3)如果AB·BC=12,O2C=4,求AO1的长
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