量子力学简答题.docx

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量子力学简答题

1、简述波函数的统计解释：

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

3、力学量e在自身表象中的矩阵表示有何特点？

4、简述能疑的测不准关系：

5、电子在位置和自旋&表象下，波函数屮=（必（兀“2）］如何归一化？

解释各项的几率意义。

M（x,y,z）丿

6、何为束缚态？

7、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在0（F,f）状态中测量力学虽F的可能值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态0（F,r）,采用Dirac符号时，若将屮g）改写为）〉有何不妥？

采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？

9、简述泄态微扰理论。

10、Stern―erlach实验证实了什么？

11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？

12、两个对易的力学量是否一泄同时确定？

为什么？

13、测不准关系是否与表象有关？

14、在简并泄态微扰论中，如〃⑼的某一能级对应f个正交归一本征函数＜/=!

.2,…，

f）,为什么一般地0,不能直接作为H=H{0）+Hf的零级近似波函数？

15、在自旋态Z.（^）中，和&的测不准关系（△£）•（△£）是多少?

2

16、在立态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger方程的解？

同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger方程的解？

17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确泄？

举例说明。

18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轨。

19何谓选择泄则。

20、能否由Schrodinger方程直接导出自旋？

21、叙述量子力学的态迭加原理。

22、厄米算符是如何泄义的？

23、据［方，力十］=1,N=a^ayN\n"）=n\n）t证明：

a\n}=4n\n-i）0

24、非简并泄态微扰论的计算公式是什么？

写出其适用条件。

25、自旋S=-&，问2是否厄米算符？

&是否一种角动量算符？

26、波函数的量纲是否与表象有关？

举例说明。

27、动量的本征函数有哪两种归一化方法？

予以简述。

28、知=乙绍8,问能否得到6=-^-?

为什么？

dx

29、简述变分法求基态能量及波函数的过程。

30、简单Zeemann效应是否可以证实自旋的存在？

31、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E”的简并度是多少？

若粒子自旋为s,问E”的简并度又是多少？

dF1——厂

32、根据——=—［F,H］说明粒子在软力场中运动时，角动量守恒。

didtih

33、对线性谐振子立态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？

34、简述氢原子的一级stark效应。

35、写出J+|jni）的计算公式。

36、由=说明波函数的量纲。

37、斤、C为厄米算符，问［斤，6］与i［戶，6］是否厄米算符？

38、据［力，ti+］=i,N=a+a,N\n）=n\n）证明：

矿同=Jn+l|n+l〉。

39、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？

40、什么是耦合表象？

41、不考虑粒子内部自由度，宇称算符Q是否为线性厄米算符？

为什么？

42、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。

试推出线性谐振子波函数的递推公式。

44、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。

45、何谓无耦合表象？

46、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。

47、G屮=屮二e是否线性算符?

48、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵?

49、何谓选择定则?

50、写出J_|力"）公式。

51、何为束缚态?

AV八八

52、写出位置表象中》一P,%和F的表示式。

53、对于左态问题，试从含时Schrodinger方程推导出立态Schrodinger方程：

54、对于氢原子，其偶极跃迁的选择立则对主量子数n是否存在限制？

为什么？

55、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假泄引入的，还是由其它假左自然推岀

的？

56、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一泄能归一化?

八八A二

57、试写出动量表象中X,r,px.Q的表式

58、幺正算符是怎样泄义的？

59、我们知道，平而单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论讣算发射系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？

60、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？

61、写出徳布罗意关系式及自由粒子的徳布罗意波。

62.—维线性谐振子基态归一化波函数为

试计算积分

<）

63、当体系处于归一化波函数巾所描述的状态时，简述在态中测量力学量F的可能值及英几率的方法；

64、已知氢原子径向Schrodinger方程无简并，微扰项只与广有关，问非简并泄态微扰论能否适用？

65、自旋是否意味着自转？

66、光到底是粒子还是波：

67、两个对易的力学量是否一立同时具有确左值？

在什么情况下才同时具有确泄值？

68、不考虑自旋，求球谐振子能级En的简并度：

69、我们学过，氢原子的选择泄则A/=±l,这是否意味着A/=±3的跃迁绝对不可能发生？

70、克莱布希一髙登系数是为解决什么问题提出的？

71、在球坐标系下，波函数0（厂,&,0）为什么应是进动角0的周期函数？

72、设当|x|

73、何谓力学量完全集？

74、左性说明为什么在氢原子的Stark效应中，可将=eE・〒视为微扰项？

75、Pauli算符O■是否满足角动量的左义式？

76、简述量子力学产生的背景：

77、写出位宜表象中直角坐标系下匚、厶.、J、Q的表示式；

OO

78、心/为有心力场中的径向波函数，问JRn,lRnrir2dr=62是否成立？

为什么？

0

79、世态微扰论是否适用于主量子数n很大的氢原子情况？

为什么？

80、有关角动量的左义，我们学过哪两种？

哪一种更广泛？

自旋角动量是按哪一种左义的？

81、说明5（0的量纲：

82、说明在定态问题中，左态能量的最小值不可能低于势能的最低值：

83、简述占有数表象：

84、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；

85、何为偶极近似？

86、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？

87、写出L.=-—的本征值及对应本征函数；

i60

88、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？

89、简述态的表象变换的方法；

/KAA

90、已知总角动^7=7,+72,试说明[j2,jI2]=Oo

91、旧量子论存在哪些不足？

92、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？

93、两个不对易的力学量一立不能同时确宦吗？

举例说明；

94、简述变分法的思想：

95、写出电子在$表象下的三个Pauli矩阵。

96、简述波函数的Born统计解释：

97、设肖是泄态Schrodinger方程的解，说明p*也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能级的波函数一立可以取为实数：

98、引入Dirac符号的意义何在？

99、左态微扰论的适用范圉是什么？

100、简述两个角动量耦合的三角形关系。

答案

1.波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

2.电子云：

用点的疏密来描述粒子岀现的几率。

轨道：

电子径向分布几率最大之处。

3、力学量e在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为e的本征值。

4、能量测不准关系的数学表示式为AE*At>^/2,即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量，英中一项测疑的越精确，另一项的不确定程度越大。

5、利用J（帆（x,y,z）「+”2（x,y,z）「jdr=l进行归一化，其中：

帆（x,y,z）「表示粒子在（x,y,z）处

Sz=|的几率密度，”2（x，y，z）『表示粒子在（x,y,z）处»=-丄的几率密度。

22

6、束缚态：

无限远处为零的波函数所描述的状态。

能量小于势垒髙度，粒子被约束在有限的空间内运动。

7、首先求解力学量F对应算符的本征方程：

卞札=入止轲—然后将^T.t）按F的本征态展开:

以和）=工5观+卜詡/2,则F的可能值为人，/^，…，入“，F=2n的几率为|cn|2,F在

n

兄~兄+cU范围内的几率为|c2|2dA

8、Dirac符号是不涉及任何表象的抽象符号。

位垃表象中的波函数应表示为〈可0）。

9、求解定态薛泄谴方程Hy/=Ey/时，若可以把不显含时间的方分为大、小两部分H=H心+H',英

中

（1）的本征值丿和本征函数是可以精确求解的，或已有确立的结果

』3府=£忡丁,

（2）小很小，称为加在上的微扰，则可以利用肖丁和&°丿构造出怜和

E。

10、Stein-Gerlack实验证明了电子自旋的存在。

11、条件：

①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。

12、不一立，只有在它们共同的本征态下才能同时确左。

13、无关。

14、因为作为零级近似的波函数必须保证（H（o）=-（H

（1）有解。

15、匚

16

16、不是，是

17、不一定，如L.LVXZ互不对易，但在Y®态下，Lx=L=L=Oo

18、厄米矩阵的立义为矩阵经转宜、共馳两步操作之后仍为矩阵本身，即=Amn,可知对角线上的元素必为实数，而关于对角线对称的元素必互相共轨。

19、原子能级之间辐射跃迁所遵从的规则。

选择定则表明并非任何两能级之间的辐射跃迁都是可能的，只有遵从选择定则的能级之间的辐射跃迁才是可能的。

20、不能。

21、如果01和肖2是体系的可能状态,那么，它们的线性叠加0=C%+C2肖2（56是复数）也是这个体系的可能状态。

22、如果对于两任意函数肖和卩，算符P满足下列等式J0•张ir=J（fV）S—则称F为厄米算符。

23、v|a,a+j=1&Paa+—a+a=1

又vN=a+a/.Na|n）=a*aa|n）=（aa*-l）a|n）=（aN-a）|n^=aN|n）-a|n^=an|n）-a|n）=a（n-l）|n）

=（n-l）a|n）

.-.a|n）=c|n-l）

又（n冋n）=何n|n）=n且（n|N|n）=（n|a+a|n）=〈n”c「|n）=|c|"

•■-lc!

2=n

取c=yin得a|n}=n_1〉

Hnm

24、£严£铲+毗+力叭的mcnCm

适用条件:

Hmn

«1

25、&是厄米算符.但不是角动量算符。

26.有关，例如；任位宜表象和动量表象下的本征态分别为P和作，何=5®-吒）,

它们的量纲显然不同。

27.坐标表象下动量的本征方程为^-（?

）=Ce^\它有两种归一化方法：

①归一化为5函数：

由

jjj

②箱归一化：

假设粒子彼限制在一个立方体中,1（2加片

边长为L,取箱中心为坐标原点，要求波函数在箱相对而上对应点有相同的值，然后由jJf^p.（r>p.（rXlr=l得出C=-L»

L1

28.不能，因为所作用的波函数不是任意的。

29.第一步：

写出体系的哈密顿算符：

第二步:

根据体系的特点（对称性,边界条件和物理直观知识），寻找尝试波函数肖

（2）,入为变分参数,它能够调整波函数（猜一个）：

第三步：

讣算哈密顿在呎可态中的平均值

H（几）=^-r-<

JV（几”（刃血

第四步:

对両求极值，即令竺0=0,求出Hnlin

（2）,则

d兄

EoHiwn

（2）,“严0僦J

30.不可以。

31不考虑自旋时，当粒子在库仑场中运动时，朿缚态能级可表示为E”，其简并度为於。

若考虑粒子的自旋为s,则E”的简并度为（2$+1）用。

片2[月jl

32粒子在奏力场中运动时，Hamilton算符为：

H=--—r2—+—.+^7^）,则有：

2/1r~drdr2pr

\La,H]=\[},H]=o,又因角动量不显含时间，得t=°、角动量守恒。

33旧量子论给出线性谐振子的基态能量为零而量子力学认为其基态有能量，为丄力0：

另外，量子力学表2

明，在旧量子论中粒子岀现区域以外也有发现粒子的可能。

34在氢原子外场作用下，谱线（”==发生分裂（变成3条）的现象。

35以人也〉=』/（•/+1）_〃心+1加卩，加+°。

36波函数的量纲由坐标r的维数来决匹对一维、二维、三维，r的量纲分別为[厶]、[厶F、[冴，贝IJ波

函数的呈:

纲依次为评、㈡、S

37[F,6]不是厄米算符，i[斤，C]是厄米算符。

厂A/K*1厂八

因为（/[f,gJ）+=/[f,g

38证明：

可证明算符NtT对于能量本征态的作用结果是：

卸»=兄何川_1）&»=”何〃+1）

（1）

/1少为待定系数。

上式的共轨方程是：

（n\a~=X（w）（w-l|〈"|6=v*（“X"+”

（2）

式

（1）和⑵相乘（取内积）并利用已知条件，即得：

XA,=〈川矿6”»=nvv=何必~|“）=（n^a~a+1”》=〃+1

适当选择态矢量W〉的相因子（R"）,总可使几和"为非负实数。

因此，

A（/?

）=Vh,=-7/7+1

故得证。

39利用量子力学的含时微扰论，可以直接计算出受激发射系数和受激吸收系数；但由于没有考虑到电磁场的量子化（即量子力学中的二次量子化），自发跃迁系数不能直接被推导出来，可在疑子电动力学

（QED）中计算出。

40以/表示时与厶之和：

丿=人+厶：

算符相互对易、有共同本征矢l/JJ"〉，丿•和加表明Q和j：

的对应本征值依次为丿＜/+1片和曲。

卩1JJ，耐组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。

41、是。

P[C]U（x,y,z）+C2v（x,y,z）]=C{[pu（x,y,z）]+C2[pv（x,y,z）]且

•W+oc-rto-wc-Ke-W

JfJir（x,y,zpv（x,y,z）dxdydz=JJJu"（x,y,z）v（・x,-y,-z）dxdydz

-X—OD-OC-00-30-X

-OC-OC-X

THu（X,-Y,-Z）v（X,Y,Z）dXdYdZ（令X=-x,Y=・y,Z=・z）

-HX+OOr-X

+®-Kc-Kc

=JJJuY—X,—Y,—Z）v（X,Y,Z）dXdYdZ

-X*-X—X

*X4-X-K©_-

=JJJ[Pu（X#,Z）卜（X,Y,Z）dXdYdZ

—x—W—X

WY4

=jjj[Pu（x,y,z）Jv（z,y,z）dzdydz

—3C—30—3C

.••Q是线性厄米算符。

—it）

42、几率流密度J=——（yA7肖*-0*V70）与几率密度3=屮*屮满足的连续性2m

方程为：

—+vJ=o

dt

43、

彳佥）2皿+

X"n=翥'+"加

方（a八八/«+八+处八+人+\

=—（G叱+加几+"叱+G"几丿

Z/.ICD

=朽（A/n（n-l>n.2+（n+1必+n几+J（n+1加+2）^+2）

二爲"亦-1必2+（2n+1必+J（n+lXn+2"n+2）

//GT

丝礼”

2ti

一级近似下，由初态久跃迁到终态血的几率为：

⑷-皿

凉H宀其中,

I方

帀匕叭一au几_G叱+aG0訂等（A/n（n-lK2_（n+1比-n人+J（n+册】+2”卄2）等（Jn（n-1必2一（2n+1”+J（n+1畑+2必+2）

45、

HL=“；A'0kde%=治-6）。

Ji相互对易，有共同的本征态|j）rn,j2m,）!

j2m2）,则该本征态对应的表象

为无耦合表象。

46

线性谐振子建态波函数的递推公式：

+1+

di八

—u/=—p1/dxTi

1-2

、—丿

0方

“2

1-2

-、眉环沖），其中，0”为线性谐振子泄态

波函数,

47不是，因为&（p屮、=ud屮丰C&屮1

48在本征值分立的基组中，厄米算符是厄米矩阵。

49为了使越迁几率不为零，一泄对疑子数做了某些限止，这些限止即为选择定则。

50山加〉="/+1）-〃伽-1为|加_1〉。

。

51・束缚态：

能量小于势垒髙度，粒子被约束在有限的空间内运动，它的波函数在无限远处为零。

•*tiC*■*//A

52.PK=,P=—V,x=x,r=xi+yj+zk

idxi

53・当U（r）不显示时间t,设^（rj）=（p（r）f（t）代入含时薛定谒方程

=V2T（r,r）+t/（F）T（f,/）,分离变量得：

ct2//

•如LL丄卜乞⑺何和+u（门©产〃

f（t）dt（p（r）2/z

这个等式左边只是/的函数，右边只是戸的函数，而f和F是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一常量时，等式才能满足。

以E表示这个常量，由等式右边等于E,有：

力2°

-—^（P（r）+U（r）（p（r）=E（p（r）

2“

此即为上态薛立帶方程。

54・对于氢原子，其偶极跃迁的选择泄则对主量子数n没有限制，因为在计算跃迁几率时，与主量子数有关的积分Rlir（r）Rltl（r）r3dr在n和“'取任何整数值时均不恒等于零。

55.在初等星子力学中，自旋是作为一个基本假定引入的。

56不一左能归一化，因为波函数满足的方程不是线性方程时，屮与C肖表示的就不一定是同一态。

57在动疑表象中：

x=iTi—.律叫,几=几，P=P

58满足（尸=F-1）的算符为幺正算符。

59因为光波中的磁场对电子作用的能量约为电场对电子作用能量的丄，所以忽略了磁场对电子的作用。

137

60四行一列。

一h一

61徳布罗意关系：

P=-n=hk

A

l（pr-Ez）

自由粒子的徳布罗意波：

屮=

62由］2曲的=分匚eY*dx=l得：

『严『厶=扌［/5加=吕

令a1=p得厂冷clx=1

63首先求解力学量F的本征方程：

E（/>S匸0=砂厂然后将/F」）按F的本征态展开：

讽和）=》5血+Jc’0cU,则F的可能值为人込,…，血説，F=2n的几率为|cn|2,F在几~2+

n

范囤内的几率为|czpd2。

64可以适用。

65自旋是一种内禀角动量，并不是自转。

66光是粒子和波的统一。

67不一泄，只有在它们共同的本征态下才能同时确左。

（3、

68球谐振子能级En=力0n+—,（n=n,+n2+n3:

“sm=0,12…）

k2>

En的简并度为El学+2）。

69不一左。

偶极近似下的结果才为4=±1,在多极近似下或精确解时4=±3也可能会实现。

70克莱布希一髙登系数是为了实现无耦合表象和耦合表象之间的变换而提出的•

71、0与0+2兀任球坐标系下为同一点，根据波函数的单值性，同一点应具有同一值,故球坐标系下波函数呎几&0）为进动角0的周期函数.

rtj2（'

72、二维定态薛左谴方程：

一+—^+U.屮=Ef・

.肝丿.

令0=屮W、、E=Ex+E、.,Uo=Ux+Uy•

73、设有一组彼此独立而又相互对易的厄米算符入（入,幺2,…）,它们的共同本征函数记为丫伙是一组量子数的笼统记号）.若给左R之后就能够确立体系的一个可能状态，则2（人,広2,…）构成体系的一组力学量完

全集•力学量完全集中厄米算符的数目与体系的自由度数相同.

74、氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象,称为氢原子的stark效应•加入外电场后，势场的对称性受到破坏•能级发生分裂，使简并部分被消除，可用简并情况下的微扰理论来处理•在一级stark效应中，由于通常情况下，外电场强度比起原子内部的电场强度要小得多，故可以把外电场看作微扰.

只十AAA

75、将S=-&代入自旋角动量泄义式SxS=itiS得5x2=2茫刘力2即算符，不满足角动量泄义式.2

76经典物理无法解释近代物理出现的黑体辐射，光电效应，原子光谱与原子结构等问题。

在Plank.Einstein,Bohr,deBroglie等的基础上，Heisenberge,Schrodinger,分别提岀矩阵力学、波动力学，经Dirac,Pauli等人的完善发展形成了当今的量子力学。

77,Lv=zp-xp.=^itizt—+ihx—

dxdz.

z、八・*8・,6

L.=xpy-ypx=一加一+itiy—,儿dx

（dd

z一-x—

\oxdz）

l2=-^2

dd

y一-z一

5zdy

、2

+

\2

+x—-y—

78不一左成立，仅当/=r时成立。

因为角动量的本征态（对应量子数/）是关于角向正交归一的。

79不适用，n很大时，可能很小,

Ef）_E芈）

«1不成立,

不能看作微扰。

对定态简并情形也二样：

.

80£=rx/?

JxJ=ihJ,自旋按后者泄义SxS=ihS

81.由卩（兀冷=1x量纲为［L］知，3（*的量纲为［1_］化

82.在泄态问题中，H=T+U,

2

E=T+U=^-+U>U>Um.

2//nMn

即左态能量的最小值不可能低于势能的最小值。

83.一维线性谐振子能量本征值方程方，其中

\\

En=n+—Tico

I2丿

aV1

ICA

x_pa

卩3丿

aa+—|方69=

V2

IXIIa

厲卜+“力"丿

力+*］力69,以Dirac符号表示匕，则

引入产生.消灭算符a^=

屮”=N“叫_-—\H„（olx）

因"=冷寸心故^=［a

yV|n）=n|n）,算符A的本征值为n,以冊为基矢的表象称为占有数表象。

八*d八八/x八A/AAV+/k八A入［八八］AA八A

84・令=B,C=AB,贝ijC*=［AB）=B*=BA,若［AB］=O贝UAB=BA,有

c+=（Ab）T=Ab=c,h卩e为厄米算符。

85、在量子跃迁问题中，一级近似时忽略光波中磁场对原子的作用能，并假设光波长远大于原子线度，

得出跃迁几率听订，其中"为电子偶极矩，故称此种近似处理方法为偶极近似。

86、旧量子理论有下列不足：

其角动疑量子化的假设很生硬：

比氢原子稍复杂的体系解释的不好；即使