函数定义域值域求法全十一种.docx
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函数定义域值域求法全十一种.docx
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函数定义域值域求法全十一种
实用标准
高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式
或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
2
x2x15
例1求函数y
的定义域。
|x3|8
解:
要使函数有意义,则必须满足
2
x2x150
①
|x3|80
②
由①解得x3或x5。
③
由②解得x5或x11④
③和④求交集得x3且x11或x>5。
故所求函数的定义域为{x|x3且x11}{x|x5}。
例2求函数
1
ysinx的定义域。
2
16x
解:
要使函数有意义,则必须满足
sinx0
①
2
16x0
②
由①解得2kx2k,kZ③
由②解得4x4④
由③和④求公共部分,得
4x或0x故函数的定义域为(4,](0,]
评注:
③和④怎样求公共部分?
你会吗?
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函
数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。
(2)其解法是:
已知f(x)的定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解ag(x)b,
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为[-2,2],求f(x1)
的定义域。
2
解:
令2x12
2
,得1x3
2
,即0x3
,因此0|x|3,从而
3x3,故函数的定义域是{x|3x3}。
(2)已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:
已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:
由axb,求
g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x1)的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
解:
因为1x2,22x4,32x15。
即函数f(x)的定义域是{x|3x5}。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R,求
参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
2
例5已知函数ymx6mxm8
的定义域为R求实数m的取值范围。
2
分析:
函数的定义域为R,表明mx6mx8m0
,使一切x∈R都成立,由
2
x项
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实用标准
的系数是m,所以应分m=0或m0进行讨论。
解:
当m=0时,函数的定义域为R;
2
当m0时,mx6mxm80
是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件
是
m0
(
2
6m)
4m(m
8)
0
0m1综上可知0m1。
评注:
不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。
例6已知函数
f(x)
kx
kx7
2的定义域是R,求实数k的取值范围。
4kx3
2
解:
要使函数有意义,则必须kx4kx3≠0恒成立,因为f(x)的定义域为R,即
2
kx4kx30
无实数
2
①当k≠0时,16k43k0
恒成立,解得
3
0k;
4
②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要
加倍注意,并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式,并求函
数的定义域。
1
解:
设矩形一边为x,则另一边长为(a2x)
2
于是可得矩形面积。
yx
1
2
(a
2x)
1
2
ax
2
x
x
2
1
2
ax
。
由问题的实际意义,知函数的定义域应满足
x
1
2
0
(a2x)0
a
0x。
2
x
a
0
2x
0
1a2
故所求函数的解析式为yxax
)。
,定义域为(0,
22
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,
求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并求定义域。
解:
由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。
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实用标准
因为CD=AB=2x,所以CDx,所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD,
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y
(2)xLx
2
五、参数型
,定义域(0,
L
2
)。
对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。
例9已知f(x)的定义域为[0,1],求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。
解:
因为f(x)的定义域为[0,1],即0x1。
故函数F(x)的定义域为下列不等式组
的解集:
0
0
x
x
a
a
1
1
,即
ax1a
ax1a
即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知
1
(1)当a0
2
时,F(x)的定义域为{x|ax1a};
(2)当
1
0a时,F(x)的定义域为{x|ax1a};
2
(3)当
1
a或
2
1
a时,上述两区间的交集为空集,此时F(x)不能构成函数。
2
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域
隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此,求函数的单调区间,必须先
求定义域。
例10求函数ylog(x22x3)
2的单调区间。
解:
由x22x30,即x22x30,解得1x3。
即函数y的定义域为
(-1,3)。
函数ylog(x22x3)
2
2是由函数ylogttx2x3
2,复合而成的。
t
2
x
2x
3
(
x
1)
2
4
,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间
(,1]上是增函数;在区间[1,)上是减函数,而ylog2t在其定义域上单调增;
2
(1,3)(,1](1,1],(1,3)[1,)[1,3),所以函数ylog(x2x3)
2在区
间(1,1]上是增函数,在区间[1,3)上是减函数。
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
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实用标准
1
y
例1.求函数x
解:
∵x0
的值域。
∴
1
x
0
显然函数的值域是:
(,0)(0,)
例2.求函数y3x的值域。
解:
∵x0
x0,3x3
故函数的值域是:
[,3]
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例3.求函数yx2x5,x[1,2]
2
的值域。
解:
将函数配方得:
y(x1)4
∵x[1,2]
由二次函数的性质可知:
当x=1时,ymin4,当x1时,y8
max
故函数的值域是:
[4,8]
3.判别式法
2
1xx
y
例4.求函数
2
的值域。
1x
解:
原函数化为关于x的一元二次方程
2
(y1)x(y1)x0
(1)当y1时,xR
2
(1)4(y1)(y1)0
13
y
解得:
2
2
13
1,
(2)当y=1时,x0,而2
2
13
故函数的值域为2
2
例5.求函数yxx(2x)的值域。
22
解:
两边平方整理得:
2x2(y1)xy0
∵xR
2
∴4(y1)8y0
(1)
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实用标准
解得:
12y12
但此时的函数的定义域由x(2x)0,得0x2
22
由0,仅保证关于x的方程:
2x2(y1)xy0
在实数集R有实根,
而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程
(1)有实根,由0
13
求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为2
2
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵0x2
。
yxx(2x)0
ymin2代入方程
(1)
0,y1
解得:
x
1
22
2
4
2
2
[
0,2]
4
2222
x
1时,即当2
原函数的值域为:
[0,12]
注:
由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集
时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函
数的值域。
3x4例6.求函数5x6
值域。
46y
x
解:
由原函数式可得:
5y3
46y
y
则其反函数为:
5x3
3
x
,其定义域为:
5
3
故所求函数的值域为:
5
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主
来确定函数的值域。
x
e1
y
例7.求函数e1
x
的值域。
y1x
e
解:
由原函数式可得:
y1
x
∵e0
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实用标准
∴
y
y
1
1
0
解得:
1y1
故所求函数的值域为(1,1)
cosx
y
例8.求函数snix3
的值域。
解:
由原函数式可得:
ysinxcosx3y,可化为:
2
y
1sinx(x)3y
3y
sinx(x)
2
即y1
∵xR
∴sinx(x)[1,1]
即
1
3y
2
y
1
1
22
y
解得:
4
4
22
故函数的值域为4
4
4.函数单调性法
x5
例9.求函数y2logx1(2x10)
3
x5
解:
令y2,ylogx1
123
则y1,y2在[2,10]上都是增函数
所以yy1y2在[2,10]上是增函数
1
3
y2log321
mni
当x=2时,8
5
当x=10时,y2log933
max3
的值域。
故所求函数的值域为:
1
8
33
例10.求函数yx1x1的值域。
2
y
解:
原函数可化为:
x1x1
令y1x1,yx1,显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数
2
所以yy1,
y在[1,]上也为无上界的增函数
2
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实用标准
所以当x=1时,
y1y有最小值2,原函数有最大值
y
2
2
2
2
显然y0,故原函数的值域为(0,2]
5.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式
含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之
一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数yxx1的值域。
解:
令x1t,(t0)
2
则xt1
1322
ytt1(t)
∵4
2
又t0,由二次函数的性质可知
当t0时,y1
mni
当t0时,y
故函数的值域为[1,)
例12.求函数
2
y2(x1)的值域。
x1
2
解:
因1(x1)0
2
即(x1)1
故可令x1cos,[0,]
2
∴ycos11cossincos1
2sin(
)
4
1
5
0,0
∵4
4
2
2
sin()1
4
02sin()112
4
故所求函数的值域为[0,12]
3
xx
y
例13.求函数x2x1
42
的值域。
y
解:
原函数可变形为:
1
2
1
2x
x
2
1
x
21x2
可令xtg,则有
1
2x
x
2
1x
2
22,cos
sin
2
1x
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实用标准
y
1
2
sin
2
cos2
1
4
sin
4
k
当28
1
ymax
时,4
k
当28
1
ymin
时,4
而此时tan有意义。
11
故所求函数的值域为4
4
x,
例14.求函数y(sinx1)(cosx1),2
12
解:
y(sinx1)(cosx1)
sinxcosxsinxcosx1
的值域。
sni
令sinxcosxt,则
xcosx
1
2
(t
2
1)
y
1
2
(
t
1
2(t1)2
1)t1
2
由tsinxcosx2sin(x/4)
x,
12
且2
可得:
2
2
t2
∴当t2时,
ymax
3
2
2
2
t
,当2
32
y
时,42
3
4
2
2
3
2
2
故所求函数的值域为。
例15.求函数
2
y5x的值域。
x4
2,可得|x|5解:
由5x0
故可令x5cos,[0,]
y5cos45sin10sin(
)
4
4
∵0
5
444
当/4时,y410
max
当时,y45
mni
故所求函数的值域为:
[45,410]
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实用标准
6.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直
线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,
赏心悦目。
例16.求函数
2(x8)
2
y(x2)的值域。
解:
原函数可化简得:
y|x2||x8|
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),B(8)间的距离之和。
由上图可知,当点P在线段AB上时,y|x2||x8||AB|10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y|x2||x8||AB|10
故所求函数的值域为:
[10,]
22
例17.求函数yx6x13x4x5
解:
原函数可变形为:
的值域。
y(x3)
2(02)2(x2)2(01)
2
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,
y
22
|AB|(32)(21)43
min,
故所求函数的值域为[43,]
22
例18.求函数yx6x13x4x5
的值域。
解:
将函数变形为:
y(x3)
2(02)2(x2)2(01)
2
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)
的距离之差。
即:
y|AP||BP|
由图可知:
(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点
P,则构成ABP',根据三角形两边之差小于第三边,有
'
||AP'||BP'|||AB|(3
2
2)
(2
1)
2
26
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实用标准
即:
26y26
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有||AP||BP|||AB|26
综上所述,可知函数的值域为:
(26,26]
注:
由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B
两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
如:
例17的A,B两点坐标分别为:
(3,2),(2,1),在x轴的同侧;
例18的A,B两点坐标分别为(3,2),(2,1),在x轴的同侧。
9.不等式法
3(a,b,cR),求函数的最值,利用基本不等式ab2ab,abc3abc
其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,
不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
y(snix
1
sni
x
)
2
(cos
x
1
cos
x
)
2
4
例19.求函数
的值域。
解:
原函数变形为:
2
y(sinx
2
cos
x)
1
2
sin
x
1
2
cos
x
1
2
ces
x
2
sec
x
3
2
tan
x
2
cot
x
3
3
2
tan
2
xcotx2
5
当且仅当tanxcotx
xk
即当4
时(kz),等号成立
故原函数的值域为:
[5,)
例20.求函数y2sinxsin2x的值域。
解:
y4sinxsinxcosx
4
2
sin
x
cosx
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实用标准
y16
4
sin
x
2
cos
x
222
8sinxsinx(22sinx)
22
8[(sinxsinx2
2
2sin
x
)
/
3
3]
64
27
2
2
sinx
22,即当
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