第一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语 学案1集合的概念与运算.docx
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第一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案1集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
学案1 集合的概念与运算
导学目标:
1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
自主梳理
1.集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或
表示.
3.集合的表示法:
列举法、描述法、图示法、区间法.
4.集合间的基本关系
对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).
若A⊆B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x
A,则AB(或BA).
若A⊆B且B⊆A,则A=B.
5.集合的运算及性质
设集合A,B,则A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A或x∈B}.
设全集为U,则∁UA={x|x∈U且x
A}.
A∩∅=∅,A∩B⊆A,A∩B⊆B,
A∩B=A⇔A⊆B.
A∪∅=A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,
A∪B=B⇔A⊆B.
A∩∁UA=∅;A∪∁UA=U.
自我检测
1.(2011·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M={4,5},N={5,4}
D.M={1,2},N={(1,2)}
答案 C
2.(2009·辽宁)已知集合M={x|-3 A.{x|-5 C.{x|-5 答案 B 解析 画数轴,找出两个区间的公共部分即得M∩N={x|-3 3.(2010·湖北)设集合A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是( ) A.4B.3C.2D.1 答案 A 解析 易知椭圆 + =1与函数y=3x的图象有两个交点,所以A∩B包含两个元素,故A∩B的子集个数是4个. 4.(2010·潍坊五校联考)集合M={y|y=x2-1,x∈R},集合N={x|y= ,x∈R},则M∩N等于( ) A.{t|0≤t≤3}B.{t|-1≤t≤3} C.{(- ,1),( ,1)}D.∅ 答案 B 解析 ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞). 又∵y= ,∴9-x2≥0. ∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3]. 5.(2011·福州模拟)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=________. 答案 -1或2 解析 由a2-a+1=3,∴a=-1或a=2,经检验符合. 由a2-a+1=a,得a=1,但集合中有相同元素,舍去,故a=-1或2. 探究点一 集合的基本概念 例1 (2011·沈阳模拟)若a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},求b-a的值. 解题导引 解决该类问题的基本方法为: 利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性. 解 由{1,a+b,a}={0, ,b}可知a≠0,则只能a+b=0,则有以下对应关系: ① 或 ② 由①得 符合题意;②无解. ∴b-a=2. 变式迁移1 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b. 解 由元素的互异性知, a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B, 得 或 解得a=-1,b=0. 探究点二 集合间的关系 例2 设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是( ) A.M=NB.MN C.MND.M∈N 解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系. 答案 A 解析 集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1}, N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1}.∴M=N. 变式迁移2 设集合P={m|-1 A.PQB.QP C.P=QD.P∩Q=∅ 答案 A 解析 P={m|-1 Q: 或m=0. ∴-1 ∴Q={m|-1 ∴PQ. 探究点三 集合的运算 例3 设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当a=-4时,求A∩B和A∪B; (2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围. 解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性. 解 (1)A={x| ≤x≤3}. 当a=-4时,B={x|-2 ∴A∩B={x| ≤x<2}, A∪B={x|-2 (2)∁RA={x|x< 或x>3}. 当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA, 即A∩B=∅. ①当B=∅,即a≥0时,满足B⊆∁RA; ②当B≠∅,即a<0时,B={x|- }, 要使B⊆∁RA,需 ≤ , 解得- ≤a<0. 综上可得,a的取值范围为a≥- . 变式迁移3 (2011·阜阳模拟)已知A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若a=1,求A∩B; (2)若A∪B=R,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1时, A={x|-3 B={x|x<-1或x>5}. ∴A∩B={x|-3 (2)∵A={x|a-4 B={x|x<-1或x>5},且A∪B=R, ∴ ⇒1 ∴实数a的取值范围是(1,3). 分类讨论思想在集合中的应用 例 (12分) (1)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,求由a的可取值组成的集合; (2)若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A,求由m的可取值组成的集合. 【答题模板】 解 (1)P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P;[2分] 当a≠0时,方程ax+1=0的解为x=- , 为满足S⊆P可使- =-3或- =2, 即a= 或a=- .[4分] 故所求集合为{0, ,- }.[6分] (2)当m+1>2m-1,即m<2时,B=∅,满足B⊆A;[8分] 若B≠∅,且满足B⊆A,如图所示, 则 即 ∴2≤m≤3.[10分] 故m<2或2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}.[12分] 【突破思维障碍】 在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答. 【易错点剖析】 (1)容易忽略a=0时,S=∅这种情况. (2)想当然认为m+1<2m-1忽略“>”或“=”两种情况. 解答集合问题时应注意五点: 1.注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验. 2.注意描述法给出的集合的元素.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合. 3.注意∅的特殊性.在利用A⊆B解题时,应对A是否为∅进行讨论. 4.注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时用Venn图表示,元素连续时用数轴表示,同时注意端点的取舍. 5.注意补集思想的应用.在解决A∩B≠∅时,可以利用补集思想,先研究A∩B=∅的情况,然后取补集. (满分: 75分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( ) A.2B.3C.4D.8 答案 B 解析 A={1}∪B,其中B为{2,3}的子集,且B非空,显然这样的集合A有3个, 即A={1,2}或{1,3}或{1,2,3}. 2.(2011·杭州模拟)设P、Q为两个非空集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B 解析 P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},故P+Q中元素的个数是8. 3.(2010·北京)集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则P∩M等于( ) A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3} 答案 B 解析 由题意知: P={0,1,2}, M={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴P∩M={0,1,2}. 4.(2010·天津)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1 A.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2或a≥4} C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4} 答案 C 解析 由|x-a|<1得-1 即a-1 由图可知a+1≤1或a-1≥5,所以a≤0或a≥6. 5.设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x| ≥1},则右图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1 答案 C 解析 题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N,集合M为{x|x>2或x<-2},集合N为{x|1 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.(2011·绍兴模拟)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是________. 答案 4 解析 由题意知B的元素至少含有3,因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}. 7.(2009·天津)设全集U=A∪B={x∈N*|lgx<1},若A∩(∁UB)={m|m=2n+1, n=0,1,2,3,4},则集合B=________. 答案 {2,4,6,8} 解析 A∪B={x∈N*|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(∁UB)={1,3,5,7,9}, ∴B={2,4,6,8}. 8.(2010·江苏)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=____. 答案 1 解析 ∵3∈B,由于a2+4≥4,∴a+2=3,即a=1. 三、解答题(共38分) 9.(12分)(2011·烟台模拟)集合A={x|x2+5x-6≤0},B={x|x2+3x>0},求A∪B和A∩B. 解 ∵A={x|x2+5x-6≤0} ={x|-6≤x≤1}.(3分) B={x|x2+3x>0}={x|x<-3或x>0}.(6分) 如图所示, ∴A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3或x>0}=R.(9分) A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3或x>0} ={x|-6≤x<-3,或0 10.(12分)已知集合A={x|0 解 当a=0时,显然B⊆A;(2分) 当a<0时, 若B⊆A,如图, 则 (5分) ∴ ∴-
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