第一章度量空间黎永锦.docx

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第一章度量空间黎永锦

第一章度量空间-黎永锦

第1章度量空间

在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫

地把十九世纪称为函数论的世纪.

V.Volterra（伏尔泰拉）

（1860-1940,意大利数学家）

泛函分析这一名称是由法国数学家P.Levy引进

的.在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许

多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动

创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作

某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空

间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成

点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的

抽象理论是由V.Volterra（1860-1940）在关于变分法的P.Levy（1886-1971）

工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M.Frechet1906年在他的博士论文中得到的.

1.1度量空间

M.Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位.M.Frechet的博士论文开创了一般拓扑学,G.Cantor,C.Jordan,G.Peano,E.Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论.V.Volterra,G.ascoli和J.Hadamard等开始把实值函数作为空间的点来考虑.M.Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构.他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入

1

了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M.Frechet第一次给出了度量空间的公理.

定义1.1.1若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,Xd:

X，X,R

x,y,X对于任意,有

d（x,y）,0

（1）当且仅当;x,y

d（x,y）,d（y,x）;

（2）

d（x,y）,d（x,z），d（y,z）（3）.

（X,d）则称d为X上的度量,称为度量空间.

d（x,y），d（y,x）,d（x,x）d（x,y）,0明显地,由（3）可知,故由

（2）可知,因此是一个非负函数.d

（E,d）若X是一个度量空间,E是X的非空子集,则明显地也是度量空间,称

（X,d）（E,d）为的度量子空间.

d（x,y）,|x,y|（R,d）例1.1.1若R是实数集,定义,则容易看出是度量空间.

X例1.1.2对于任意一个非空集,只需定义

0,当x,y时,d（x,y）=,1,当x,y时.,

（X,d）则X是一个度量空间,称d为上的平凡度量或离散度量.

度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.

nR例1.1.3对于,可以定义几种不同的度量,对于,有x,（x）,y,（y）ii

n21/2d（x,y）,[（x,y）];,ii,n1

2

n

d（x,y）,|x,y|;,1iin,1

d（x,y）,max{|x,y|}2ii

nnnn容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得（R,d）（R,d）（R,d）（R,d）12

空间.

以下的例子是在M.Frechet1906年提出的.

例1.1.4如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义x,（x）,y,（y）sii

|x,y|iid（x,y）,,i!

（1，|x,y|）i1,ii

x容易知道满足度量定义中的

（1）和

（2）,由函数（x）=在（0,）是d,，,1，x

|a，b|,|a|，|b|单调增加的可知对于,有

|a，b||a|，|b||a||b|,,，1，|a，b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|

|a||b|,，1，|a|1，|b|

d（x,y）,d（x,z），d（y,z）（s,d）令,则可得到,所以a,x,z,b,z,yiiii

是一个度量空间.

常见的序列空间还有如下几个空间.

（x）,（y）,ll,{（x）|sup|x|,，,}例1.1.5,对于任意的,定义,iiii,i,,

1d（x,y）,sup|x,y|l.即为所有有界数列所形成的空间,如,x,（）ii,i

i,但.y,（1，（,1））,lz,（i）,l,,

c,{（x）|limx,0}（x）,（y）,c例1.1.6，对于任意的,定义ii00iii,,

3

1cd（x,y）,sup|x,y|.即为所有收敛于0的数列所成的空间,如x,（）,0iii2

i1，（,1）i,但.y,（）,cz,（1，（,1））,c0i03

（x）,（y）,ld（x,y）例1.1.7,对于任意的,定义l,{（x）||x|,，,}ii11,ii1i,

1l.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如,但,|x,y|x,（）,l1ii1,ii1,3

1.z,（）,l1i

3R度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收敛性.

d（x,x）,0（X,d）定义1.1.2设是度量空间,,若,则称序{x},Xlimn0n,,n

xx,x（n,,）limx,x列按度量收敛于,记为,或,此时称为d{x}{x}0n0n0nn,,n

x收敛点列,称为的极限.{x}0n

大家都知道,若数列在数学分析中,是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在{x}n

度量空间也有下面的结论.

（X,d）定理1.1.1在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯{x}{x}nn一.

x,y,Xlimx,xlimx,yx,y证明用反证法,假设有,使得,,但,则由nn,,,,nn

d（x,y）,0d（x,y）,0,可知.又由于,因此d（x,y）,d（x,x），d（x,y）nn

d（x,y）,0x,y,但这与假设矛盾,所以由反证法原理可知的极限唯一.{x}n

（X,d）另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子{x}{x}nn列也是收敛点列,并且极限是一样的.

d（x,y）,d（x,y）d（x,y）x,xy,y定理1.1.2若,,则.即是nn00n0n0

4

和的二元连续函数.yx

证明由于

d（x,y）,d（x,x），d（x,y）nnn00n

d（x,x），d（x,y），d（y,y）n0000n

因此

d（x,y）,d（x,y）,d（x,x），d（y,y）nn00n0n0

同样地,有

d（x,y）,d（x,y）,d（x,x），d（y,y）00nnn0n0

因而

|d（x,y）,d（x,y）|,d（x,x），d（y,y）nn00n0n0

d（x,y）,d（x,y）所以,.nn00

如果考虑如下的问题呢,

（X,d）问题1.1.1若X是线性空间,为度量空间,加法是否连续呢,不一定,下面的例子是D.D.Rothmann[Anearlydiscretemetric.Amer.Math.

Monthly81（1974）,1018-1019.]作出的.

R,（,,,，,）x,y,R例1.1.8设,对于任意,定义

0,当x,y时,,d（x,y）=,xy,max{||,||}当x,y时.,

（R,d）则容易验证是一度量空间.

1yx,1x,1y,1其实,只要取,,,,则,,nn00n

11,d（y,y）,d（,,0）,,0.d（x,x）,d（1,1）,0,0n0n0nn

1d（x，y,x，y）d（x，y,x，y）,d（1,,1）,1但,因此不收敛于0.所以,虽nn00nn00n

5

x，yy,yx,x然,,但是不收敛于.{x，y}00n0n0nn

231/23R在空间解析几何中,称{（x,x,x）|（|x,x|）,r}是中一个以,i1230i,1

rx为球心,为半径的球.同样地,球的概念可以推广到一般的度量空间.0

r（X,d）定义1.1.3若为度量空间,为大于0的实数,则称

{x,X|d（x,x）,r}xrU（x,r）U（x,r）是以为球心,为半径的开球,记为.而0000

{x,X|d（x,x）,r}xrB（x,r）称是以为球心,为半径的闭球.000

抽象的度量空间与现实的世界有着较大的区别,下面的问题是很有意思的.

问题1.1.2在度量空间中,一个半径较小的开球能否真包含一个半径较大的开球,

度量空间的开球与真实世界的球有着本质的区别,一个半径为6的开球,可能会真包含在一个半径为4的开球内.

22X,{（x,x）|x,x例1.1.9设X为实数,},在上定义度量|x|，|x|,16121212

221/2,则以x=（0,0）为球心4为半径的小球真包含以d（x,y）,（|x,y|，|x,y|）01122

y=（3,0）为球心6为半径的大球.0

进一步,还可以考虑下面的问题.

r,r,0问题1.1.3对于任意,是否都可找到一个度量空间,存在两球,使得小21

U（x,r）U（x,r）球真包含大球呢,0102

6

利用开球还可以刻画点列的收敛性,类似于数学分析中的数列收敛与开区间的

{x},,0n,N联系,序列依度量收敛于当且仅当对于任意,存在,使得xNn0

xU（x,,）时,都包含在开球中.n0

0,,,1例1.1.10若为非空集合的平凡度量,则对任意及,Xdx,X0

xn,NU（x,,）只包含一个点,因此如果序列收敛于,则必有,使得时,一定xNn00

x,x有.n0

r,01.1.4设M是度量空间X定义的子集,若存在xX,,使得M包含在,0

U（x,,）（X,d）开球中,则称M是的有界集.0

r,0明显地,M是有界集当且仅当存在x及,使得对任意,有x,M0

.d（x,x）,r0

定理1.1.3若为度量空间的收敛序列,则是有界的.{x}{x}nn

N,,1n,Nlimx,x证明设,则对于,存在,使得时,有.d（x,x）,1n0n0,,n

n令,则对任意的,有,故r,max{1,d（x,x）,,,,,d（x,x）}，1d（x,x）,r010n,10n

所以是有界的.{x}{x},U（x,r）nn0

（X,d）有界集是一个与度量有关的概念,因为对于任意一个度量空间,都可以引

M,X入另一度量,使任意子集都是有界集.,

d（x,y）,（x,y）,M,XX事实上,只需令,则容易看出对任意,M都是（,）,1，d（x,y）

d（x,x）,0,（x,x）,0的有界集,并且有当且仅当.nn

7

d（x,y）例1.1.11设s为全体实数列,对于任意,x,（x）,y,（y）,sii,|x,y|ii=,试证明（s,d）中序列按度量收敛当且仅当序列按坐标收敛.d,i!

（1，|x,y|）ii,i1

（n）（0）,|x,x|iix,s证明若,,则d（x,x）=0,,d（x,x）,0nn,n0（n）（0）i!

（1，|x,x|）i1,ii故对每一个固定的i,有0

（n）（0）|x,x|ii00,d（x,x）n0（n）（0）i!

（1，|x,x|）0ii00

因而

i!

d（x,x）（n）（n）0n0|x,x|,ii001,i!

d（x,x）0n0

（n）（n）所以,即按坐标收敛于.{x}xlimx,xn0ii00,,n

1x若反过来,按坐标收敛于,则对于任意0,,,1,由于级数收{x}0,ni!

i1

1,,敛,因此存在正整数m,使得.,i!

4im,

n（）（0）对于每个iN时,有.令N=max{N,...,||x,x,ii1ii4N},则当n>N时,有m-1

（n）（0）m,1m,1|x,x|4ii,,,（n）（0）,i!

（1，|x,x|）i,1i,1iii!

（1，）4

3,,4

因此

（n）（0）（n）（0）m1,,|x,x||x,x|iiiid（x,x）,，n0,,（n）（0）（n）（0）i!

（1，|x,x|）i!

（1，|x,x|）i1im,,iiii

,3,，,.,44

8

limd（x,x）,0.所以即依度量收敛到.d{x}xn0n0,,n

1.2度量拓扑

在数学分析,对实数集R,已经有了开区间,闭区间,开集和闭集等概念,将这些概

（X,d）念推广到一般的度量空间,就可以建立起度量空间的拓扑结构.

（X,d）定义1.2.1设是度量空间,是X的子集,x,G称为的内点,若存GG0

在的某个开球,使得.若G的每一个点都是的内点,则称GU（x,r）U（x,r）,G00

为开集.G

另外,规定空集是开集,明显地X一定是开集.

（X,d）定理1.2.1对于任意,开球是度量空间的开集.x,X,r,0U（x,r）00

证明只需证明对于任意的,是的内点.xx,U（x,r）U（x,r）00

r',r,d（x,x）d（x,x）,rr',0对于,有,令,则且x,U（x,r）000

d（x,y）,r'时,有,因而y,U（x,r'）

d（x,y）,d（x,x），d（x,y）,d（x,x），r',r000

所以，,即是的内点,由是任意的可知是xxU（x,r'）,U（x,r）U（x,r）U（x,r）000开集.

下面关于开集的基本性质就是一般拓扑学的公理基础.

（X,d）定理1.2.2设是度量空间,则

（1）任意个开集的并集是开集;

9

（2）有限个开集的交集是开集.

（X,d）证明

（1）设为的一族开集,则对任意,有某个下标,x,:

GG,0,,,

U（x,r）,GU（x,r）,G使,由于G是开集,因而有开球,因此,故x,G,,,,:

000,

GG为的内点,由是任意的可知是开集.xx:

:

,,,

n

G,,,,,Gx,G

（2）设为开集,对于任意,对,有,i,1,2,,,,,nx,G1nii:

i,1

Gr,min{r|i,1,2,,,,n}U（x,r）,Gr由于是开集,因此有使得,令,则iiiii

nnn

U（x,r）,GU（x,r）,GGG,因而,所以,为的内点,从而为开集.xii:

:

:

iiii,1,1i,1

例1.2.1设X是非空集合,为X上的平凡度量,则对任意,开球dx,X0

U（x,1）,{x|d（x,x）,1},{x},因而是开集,所以,X的任意子集{x}0000

G,{x}都是开集.:

x

问题1.2.1任意多个开集的交集是否一定为开集,

任意多个开集的交集不一定是开集.

11d（x,y）,|x,y|例1.2.2在实数空间中,,对于任意自然数,G,（,,）Rnnnn

11,:

（,,）,{0}G是的开集,但不是开集.Rn:

nn,n1

C（X,d）F,X定义1.2.2度量空间的子集称为闭集,若的余集\是开集.FFF

由上面的定理,容易看出下面定理成立.

（X,d）定理1.2.3设是度量空间,则

X

（1）和是闭集;

10

（2）任意闭集的交集是闭集;

（3）有限个闭集的并集是闭集.

与闭集有着密切联系的概念是极限点.

（X,d）定义1.2.3设F是中的集合,,若包含的任意开集都含有不同x,XxFF于的的点,则称为的极限点.xx

FFR明显地,为的极限点时,不一定属于.例如在实数空间中,0是F=xx

1{|n=1,2,…,n,…}的极限点,但.0,Fn

F容易看出,有几种方法可以检查一个点是否为的极限点.x

x,X（X,d）定理1.2.4设为度量空间,,,则下列条件等价:

F,X0

F

（1）x为的极限点;0

F

（2）包含x的任何一个开集都含有异于x的无穷多个点;00

x,x,xlimx,x.F（3）在中存在序列,且nn0n0,,n

（X,d）FF定义1.2.4设是度量空间,,称的极限点全体为的导集,记F,X

F,F:

F'F'F为.称为的闭包.

F,FF,[1,2]:

{3,4}F',[1,2]例1.2.3在实数空间中,若,则,且.R

（X,d）FX定理1.2.5设是度量空间,为的子集,则下列条件等价:

F

（1）是闭集;

F',F

（2）;

F,F（3）.

CF,FF',F证明

（1）

（2）若是闭集,则是开集.如果,则.如果F',,

x,F'x,F,,则对任意,必有.F',

CCCx,Fx,FF:

F,F,不然,假设,则有,由于是开集,且,但这与

11

x,F'矛盾.

F,F:

F',F

（2）（3）若F',F,则.,

CF,F,F:

F',F,（3）

（1）若,则F',F.如果,则是闭集;F,X,

CCx,FF,x,F',如果,则对任意,由F',F可知,因而存在开球

CCCFFU（x,r）:

F,,F,故,即是的内点,因此是开集,所以是闭xU（x,r）,F

集.

x,X（X,d）定理1.2.6设是度量空间,,,则下列条件等价:

F,X

（1）;x,F

（2）的每个开球都包含有的点;Fx

limx,x.{x},F（3）有序列,使得nn,,n

x,F,F:

F'x,FU（x,r）证明

（1）

（2）对,若,则明显地对每个开球,,x

x,F'U（x,r）U（x,r）U（x,r）包含有的点.若,则对于的每个开球,必含有的FFx

U（x,r）异于的点,所以一定含有的点.Fx

11x

（2）（3）对于任意正整数,中含有的点,因而dxx,所U（x,）F,（,）,nnnnn

limx,x.以,n,,n

{x},Fx,Flimx,x.（3）

（1）设存在,使得如果,则明显地有,nn,,n

x,x{x},Fx,Fx,Flimx,x..如果,则由可知,因而由可知nnn,,n

x,Fx,F',所以,.

容易证明,的闭包就是包含的最小闭集,因此需要考虑下面的问题.FF

U（x,r）（X,d）问题1.2.2在度量空间中,开球的闭包是否一定是闭球0B（x,r）,0

rU（x,r）（X,d）B（x,r）x在度量空间中,都以为球心,为半径的开球和闭球000

12

虽然半径一样,但开球的闭包不一定是闭球.

R,（,,,，,）例1.2.4在上,定义平凡度量

0,当x,y时,d（x,y）=,1,当x,y时.,

U（0,1）U（0,1）,{0}则对于开球,由于是闭集,因此它的闭包仍是{0},不是闭球B（0,1）,（,,,，,）.

（X,d）定义1.2.5设是度量空间,,称的内点全体为的内部,记GGG,X

0G为.

容易证明,对于的内部和闭包,有下面的定理成立.G

（X,d）F,X定理1.2.7设为度量空间,,,则G,X

0G,G

（1）是开集当且仅当;G

0G,G,G

（2）;

00G,FG,F（3）当G,F时,一定有,.

利用闭包这一概念,还可以引进一些与闭包有关的概念.

F,X（X,d）定义1.2.6设X为度量空间的子集,若,则称在中稠密.FF

F（X,d）定义1.2.7设为度量空间的子集,若不包含任何内点,则称称在FFX中是疏朗的.

R,（,,,，,）例1.2.5全体有理数Q在实数空间中是稠密的,而全体自然数在中是疏朗的.ZR

（X,d）在度量空间d中,利用度量,可以定义开集,闭集,闭包,内部等概念,也可

13

以利用开集来刻画序列依度量收敛于.dx{x}0n

F.Hausdorff（1868-1942）发现对于一个给定的点集,可以不必引进度量,也能用某种方式来确定某些子集为开集,然后利用开集就可以建立闭集,闭包和序列收敛等概念,F.Hausdorff利用这些概念建立了拓扑空间的完整理论.

定义1.2.8设X是一个非空集合,是X的一族子集,若满足下面的三个公,,理,则称（X,）是拓扑空间,

X,,,

（1）,,,;

（2）中任意个集合的并集属于;,,

（3）中任意有限个集合的交集属于.,,

此时称中每一个集合为开集,则称为拓扑.,,

（X,,）（X,d）明显地,若是度量空间,为度量空间中的全体开集,则为拓扑,

空间,称为度量d产生的拓扑.,

（X,,）XX例1.2.6设是一个非空集合,为的子集的全体,则是一个拓扑,

X空间,此时称为的离散拓扑.此时,对于任意,都是开集.若d为上的平凡x,Xx,

X度量,则度量d产生的拓扑就是的离散拓扑.

（X,,）X,{x,y,z}X,{x},{x,y},{x,z}},例1.2.7设,={,,则为一拓扑空,

z（X,,）UUy间.但在中,对含有点和含有点的任意开集和,都有zyU:

U,,.yz

1x,y,X（X,d）明显地,在度量空间中,对于任意,只需取,则r,d（x,y）4U（x,r）:

U（y,r）,,,具有这种性质的拓扑空间称为Hausdorff空间.

14

（X,,）定义1.2.9拓扑空间称为Hausdorff空间,若对于中的任意,Xx,yx,yUx,U,,存在两个开集和,使得,,且.UU:

U,y,Uxxyxyy

（X,d）另外,度量空间还具有下面例题中的性质,而具有这种性质的拓扑空间为正规空间.

（X,d）FFF:

F,,例题1.2.1设,是度量空间中的两个闭集,且,试证明1212

UUF,UF,UU:

U,,存在开集,,使得,,且.12112212

ccF:

F,,F证明:

由于,因此.由是闭的可知是开集,故对于任意FF,F122122

cx,Fr,0,存在,使.U（x,r）,F1x2x

rxUF,UU,U（x,）令,则是开集,且.1111:

2,xF1

rycy,F,（,）UUy类似地,对于任意,存在,使得U（y,r）,F,令,则r,0221yy:

2,xF2UF,U是开集,且.222

rryx:

（,）z,U:

UUx:

如果存在,则由可知一定有:

（,）Uy,122,xF2,yF12

rryxx,F（,）z,Uy（,）y,Fz,Ux,,使且.1222

因此

rryxd（x,y）,d（x,z），d（y,z）,，,max{r,r}xy22

cy,Fd（x,y）,r但这是不可能的,因为若,则与矛盾;若d（x,y）

cx,Fx,U（y,r）,Fr,则与矛盾.y11y

U:

U,,F,UF,U因此由上面讨论可知,所以存在开集,且121122U:

U,,.12

15

（X,,）PaulS.Uryosohn（1892-1924）还证明了每一个正规的拓扑空间都可以引进度量,使得产生的拓扑与是一致的,即每一个正规的拓扑空间都是可度量d,

化的.

1.3连续算子

M.Frechet在他1906年的博士论文中,考察了一类空间,在空间中定义了LL泛函的连续性和一致收敛性等,在空间中引进并研究了列紧性,证明了在列紧集L

上的连续泛函是有界的,并在列紧上达到它的极大（小）值,这样就将实变函数的许多结果进行推广.

其实,依照数学分析中函数的连续性,在度量空间中很容易引入算子的连续性.

（X,d）定义1.3.1设和（Y,）都是度量空间,为X到Y的算子,x,X,若对,T0

x,,0d（x,x）,