数值分析实验报告4.docx

数值分析实验报告4.docx

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数值分析实验报告4

实验报告

实验项目名称非线性方程与方程组的数值解法

实　验　室　数学实验室　

所属课程名称数值逼近

实验类型算法设计

实验日期

班级

学号

姓名

成绩

实验概述：

【实验目的及要求】

本次实验的目的是熟练《数值分析》第七章“非线性方程与方程组的数值解法”的相关内容，掌握方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法以及复根的情况。

。

本次试验要求编写二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法等方法的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。

【实验原理】

《数值分析》第七章“非线性方程与方程组的数值解法“的相关内容，包括：

方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法等的相应算法和相关性质。

【实验环境】（使用的软硬件）

软件：

MATLAB2012a

硬件：

电脑型号：

联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑

操作系统：

Windows8专业版

处理器：

Intel（R）Core（TM）i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz

实验内容：

【实验方案设计】

第一步，将书上关于方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法等的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

实验的主要步骤是：

首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。

实验一：

求方程X3+4X2-10=0在X0=1.5附近的一个根，迭代函数为X=（

（精度达到10-6）

（1）用一般法求根

（2）用加权加速法求根

（3）用埃特金加速法求根

（4）找到另外一个迭代函数，用以上三种方法求根

（5）用matlab自带函数找根

（6）用Newton法求根

（7）用弦截法求根

（8）用抛物线法求根

（9）找出其他根，是否有复根，并比较以上哪种方法速度快

（1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现一般法求根的程序代码如下：

function[y,n]=BDD（x,eps）

ifnargin==1

eps=1e-6;

xl=gg（x）;

n=1;

E=abs（xl-x）;

while（E>=eps）&&（n<=10000）

x=xl;

xl=gg（x）;

n=n+1;

E=abs（xl-x）;

end

y=x;

k=n

end

end

functionf=gg（x）

f=sqrt（10/（4+x））;

end

在commandWindows中输入命令：

formatlong及BDD（1.5），得出的结果为：

>>formatlong

BDD（1.5）

k=

7

ans=

1.365230575673434

（2）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现加权加速求根的程序代码如下：

function[y,n]=WA（a,eps）

ifnargin==1

eps=1e-16;

end

symsx

L=subs（diff（sqrt（10/（4+x）））,a）;

xl=gg（a,L）;

n=1;

E=abs（xl-a）;

while（E>=eps）&（n<=10000）

x=xl;

xl=gg（x,L）;

n=n+1;

E=abs（xl-x）;

end

y=x;

k=n

end

functionf=gg（x,L）

f=（sqrt（10/（4+x））-L.*x）/（1-L）;

end

在commandWindows中输入命令：

WA（1.5），得出的结果为：

>>WA（1.5）

k=

4

ans=

1.365230008676674

（3）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现埃特金求根的程序代码如下：

function[y,n]=ATJ（a,eps）

ifnargin==1

eps=1e-6;

end

symsx

x0=subs（f（x）,a）;

x1=subs（f（x）,x0）;

x2=gg（x0,x1,a）;

n=1;

E=abs（x2-a）;

while（E>=eps）&（n<=10000）

X=x2;

x0=subs（f（x）,X）;

x1=subs（f（x）,x0）;

x2=gg（x0,x1,X）;

n=n+1;

E=abs（x2-X）;

end

y=X;

k=n

end

functionh=f（x）

h=sqrt（10/（4+x））;

end

functionf=gg（x,y,z）

f=y-（（y-x）^2）/（y-2*x+z）;

end

在commandWindows中输入命令：

ATJ（1.5），得出的结果为：

>>ATJ（1.5）

k=

3

ans=

1.365230013416586

（4）在以上三题中的代码的基础上进行修改：

functionf=gg（x）

f=sqrt（2.5-（x^3）/4）;

end

则三种方法运行出的结果分别为：

>>BDD（1.5）

k=

20

ans=

1.365229578333959

>>WA（1.5）

k=

6

ans=

1.365230351032824

>>ATJ（1.5）

k=

4

ans=

1.365230013413594

（5）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现matlab自带函数求根的程序代码如下：

fun=@（x）x.^3+4*（x.^2）-10;

x=fzero（fun,1.5）

commandWindows中输出结果：

x=

1.365230013414097

（6）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现Newton求根的程序代码如下：

function[y,n]=Newton（a,eps）

ifnargin==1

eps=1e-16;

end

symsx

L=subs（diff（f（x））,a）;

xl=subs（x-f（x）/L,a）;

n=1;

E=abs（xl-a）;

while（E>=eps）&（n<=10000）

X=xl;

L=subs（diff（f（x））,X）;

xl=subs（x-f（x）/L,X）;

n=n+1;

E=abs（xl-X）;

end

y=X;

k=n

end

functionf=f（x）

f=x^3+4*x^2-10;

end

在commandWindows中输入命令：

Newton（1.5），得出的结果为：

>>Newton（1.5）

k=

4

ans=

1.365230013916147

（7）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现弦截法求根的程序代码如下：

function[y,n]=XJF（a,eps）

ifnargin==1

eps=1e-6;

end

symsx

x1=a+0.1;

A=ff（x1）;

B=ff（a）;

x2=gg（x1,a,A,B）;

n=1;

E=abs（x2-x1）;

while（E>=eps）&（n<=10000）

X=x1;

x1=x2;

A=ff（x1）;

B=ff（X）;

x2=gg（x1,X,A,B）;

n=n+1;

E=abs（x2-x1）;

end

y=x1;

k=n

end

functionh=ff（x）

h=x.^3+4*x.^2-10;

end

functionf=gg（x,y,z,w）

f=x-（（x-y）*z）/（z-w）;

end

在commandWindows中输入命令：

XJF（1.5），得出的结果为：

>>XJF（1.5）

k=

5

ans=

1.365230020178121

（8）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现抛物线法求根的程序代码如下：

function[y,n]=parabola（fx,a,b,c,eps）

if（nargin==4）

eps=1e-6;

symsx

fa=subs（fx,a）;

fb=subs（fx,b）;

fc=subs（fx,c）;

fb_a=（fb-fa）/（b-a）;

fc_b=（fc-fb）/（c-b）;

fc_b_a=（fc_b-fb_a）/（c-a）;

w=fc_b+fc_b_a*（c-b）;

x0=c-2*fc/（w+（w^2-4*fc*fc_b_a）^.5）;

n=1;

if（abs（x0-c）>eps&&n<=10000）

a=b;

b=c;

c=x0;

fa=subs（fx,a）;

fb=subs（fx,b）;

fc=subs（fx,c）;

fb_a=（fb-fa）/（b-a）;

fc_b=（fc-fb）/（c-b）;

fc_b_a=（fc_b-fb_a）/（c-a）;

w=fc_b+fc_b_a*（c-b）;

x0=c-2*fc/（w+（w^2-4*fc*fc_b_a）^.5）;

n=n+1;

end

y=x0;

n;

end

end

在commandWindows中输入命令：

fx=x^3+4*x^2-10;

[y,n]=parabola（fx,1.5,1.6,1.378888322284549），得出的结果为：

>>fx=x^3+4*x^2-10;

[y,n]=parabola（fx,1.5,1.6,1.378888322284549）

y=

1.365230018508053

n=

2

（10）在commandWindows中输入命令：

p=[1,4,0,-10];roots（p），得出的结果为：

>>p=[1,4,0,-10];

roots（p）

ans=

-2.682615006707049+0.358259359924043i

-2.682615006707049-0.358259359924043i

1.365230013414097

前两个根是复根。

【结论】（结果）

通过以上的计算可以看出，埃特金和抛物线法比较快，埃特金需要三次迭代，抛物线只需要两次迭代就达到了要求的精度。

【小结】

通过此次实验，我对方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法有了更进一步的了解。

迭代法中牛顿法最实用，而弦截法和抛物线法不需要f（x）的导数，又具有超线性收敛，尤其是抛物线法收敛速度很快，也是常用的有效方法。

而matlab中有自带的函数可以求方程的根，fzero计算初值附近的一个根，函数roots计算多项式所有零点。

指导教师评语及成绩：

成绩：

指导教师签名：

批阅日期：