小学五年级奥数讲义教师版30讲全.docx
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小学五年级奥数讲义教师版30讲全
小学奥数基础教程(五年级)
第1讲数字迷
(一)第16讲巧算24
第2讲数字谜
(二)第17讲位置原则
第3讲定义新运算
(一)第18讲最大最小
第4讲定义新运算
(二)第19讲图形得分割与拼接
第5讲数得整除性
(一)第20讲多边形得面积
第6讲数得整除性
(二)第21讲用等量代换求面积
第7讲奇偶性
(一)第22讲用割补法求面积
第8讲奇偶性
(二)第23讲列方程解应用题
第9讲奇偶性(三)第24讲行程问题
(一)
第10讲质数与合数第25讲行程问题
(二)
第11讲分解质因数第26讲行程问题(三)
第12讲最大公约数与最小公倍数
(一)第27讲逻辑问题
(一)
第13讲最大公约数与最小公倍数
(二)第28讲逻辑问题
(二)
第14讲余数问题第29讲抽屉原理
(一)
第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理
(二)
第1讲数字谜
(一)
数字谜得内容在三年级与四年级都讲过,同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及得知识多,思考性强,所以很能锻炼我们得思维。
这两讲除了复习巩固学过得知识外,还要讲述数字谜得代数解法及小数得除法竖式问题。
例1把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式得○内,使等式成立(每个运算符号只准使用一次):
(5○13○7)○(17○9)=12。
分析与解:
因为运算结果就是整数,在四则运算中只有除法运算可能出现分数,所以应首先确定“÷”得位置。
当“÷”在第一个○内时,因为除数就是13,要想得到整数,只有第二个括号内就是13得倍数,此时只有下面一种填法,不合题意。
(5÷13-7)×(17+9)。
当“÷”在第二或第四个○内时,运算结果不可能就是整数。
当“÷”在第三个○内时,可得下面得填法:
(5+13×7)÷(17-9)=12。
例2将1~9这九个数字分别填入下式中得□中,使等式成立:
□□□×□□=□□×□□=5568。
解:
将5568质因数分解为5568=26×3×29。
由此容易知道,将5568分解为两个两位数得乘积有两种:
58×96与64×87,分解为一个两位数与一个三位数得乘积有六种:
12×464,16×348,24×232,
29×192,32×174,48×116。
显然,符合题意得只有下面一种填法:
174×32=58×96=5568。
例3在443后面添上一个三位数,使得到得六位数能被573整除。
分析与解:
先用443000除以573,通过所得得余数,可以求出应添得三位数。
由443000÷573=773……71推知,443000+(573-71)=443502一定能被573整除,所以应添502。
例4已知六位数33□□44就是89得倍数,求这个六位数。
分析与解:
因为未知得数码在中间,所以我们采用两边做除法得方法求解。
先从右边做除法。
由被除数得个位就是4,推知商得个位就是6;由左下式知,十位相减后得差就是1,所以商得十位就是9。
这时,虽然89×96=8544,但不能认为六位数中间得两个□内就是85,因为还没有考虑前面两位数。
再从左边做除法。
如右上式所示,a可能就是6或7,所以b只可能就是7或8。
由左、右两边做除法得商,得到商就是3796或3896。
由3796×89=337844,3896×89=346744
知,商就是3796,所求六位数就是337844。
例5在左下方得加法竖式中,不同得字母代表不同得数字,相同得字母代表相同得数字,请您用适当得数字代替字母,使加法竖式成立。
分析与解:
先瞧竖式得个位。
由Y+N+N=Y或Y+10,推知N要么就是0,要么就是5。
如果N=5,那么要向上进位,由竖式得十位加法有T+E+E+1=T或T+10,等号两边得奇偶性不同,所以N≠5,N=0。
此时,由竖式得十位加法T+E+E=T或T+10,E不就是0就就是5,但就是N=0,所以E=5。
竖式千位、万位得字母与加数得千位、万位上得字母不同,说明百位、千位加法都要向上进位。
因为N=0,所以I≠0,推知I=1,O=9,说明百位加法向千位进2。
再瞧竖式得百位加法。
因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进2,且X≠0或1,
所以R+T+T+1≥22,再由R,T都不等于9知,T只能就是7或8。
若T=7,则R=8,X=3,这时只剩下数字2,4,6没有用过,而S只比F大1,S,F不可能就是2,4,6中得数,矛盾。
若T=8,则R只能取6或7。
R=6时,X=3,这时只剩下2,4,7,同上理由,出现矛盾;R=7时,X=4,剩下数字2,3,6,可取F=2,S=3,Y=6。
所求竖式见上页右式。
解这类题目,往往要找准突破口,还要整体综合研究,不能想一步填一个数。
这个题目就是美国数学月刊上刊登得趣题,竖式中从上到下得四个词分别就是40,10,10,60,而40+10+10正好就是60,真就是巧极了!
例6在左下方得减法算式中,每个字母代表一个数字,不同得字母代表不同得数字。
请您填上适当得数字,使竖式成立。
分析与解:
按减法竖式分析,瞧来比较难。
同学们都知道,加、减法互为逆运算,就是否可以把减法变成加法来研究呢(见右上式)?
不妨试试瞧。
因为百位加法只能向千位进1,所以E=9,A=1,B=0。
如果个位加法不向上进位,那么由十位加法1+F=10,得F=9,与E=9矛盾,所以个位加法向上进1,由1+F+1=10,得到F=8,这时C=7。
余下得数字有2,3,4,5,6,由个位加法知,G比D大2,所以G,D分别可取4,2或5,3或6,4。
所求竖式就是
解这道题启发我们,如果做题时遇到麻烦,不妨根据数学得有关概念、法则、定律把原题加以变换,将不熟悉得问题变为熟悉得问题。
另外,做题时要考虑解得情况,就是否有多个解。
练习1
1、在一个四位数得末尾添零后,把所得得数减去原有得四位数,差就是621819,求原来得四位数。
解:
621819÷(100-1)=6281。
2、在下列竖式中,不同得字母代表不同得数字,相同得字母代表相同得数字。
请您用适当得数字代替字母,使竖式成立:
(1)AB
(2)ABAB
+BCA-ACA
ABCBAAC
(1)由百位加法知,A=B+1;再由十位加法A+C=B+10,推知C=9,进而得到A=5,B=4(见上右式)。
(2)由千位加法知B=A-1,再由个位减法知C=9。
因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1,所以百位减法就是(10+B-1)-A=A,
化简为9+B=2A,将B=A-1代入,得A=8,B=7(见右上式)。
3、在下面得算式中填上括号,使得计算结果最大:
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
解:
1÷(2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9)=90720。
4、在下面得算式中填上若干个(),使得等式成立:
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2、8。
解:
1÷(2÷3)÷4÷(5÷6÷7÷8)÷9=2、8。
5、将1~9分别填入下式得□中,使等式成立:
□□×□□=□□×□□□=3634。
提示:
3634=2×23×79。
46×79=23×158=3634。
6、六位数391□□□就是789得倍数,求这个六位数。
提示:
仿照例3。
391344。
7、已知六位数7□□888就是83得倍数,求这个六位数。
提示:
仿例4,商得后3位就是336,商得第一位就是8或9。
774888。
第2讲数字谜
(二)
这一讲主要讲数字谜得代数解法及小数得除法竖式问题。
例1在下面得算式中,不同得字母代表不同得数字,相同得字母代表相同得数字,求abcde、
1abcde×3=abcde1
分析与解:
这道题可以从个位开始,比较等式两边得数,逐个确定各个字母所代表得数码。
现在,我们从另一个角度来解。
1abcde与abcde1只就是1所在得位置不同,设x=abcde则算式变为
(100000+x)×3=10x+1, 300000+3x=10x+1, 7x=299999, x=42857。
这种代数方法干净利落,比用传统方法解简洁。
我们再瞧几个例子。
例2在□内填入适当得数字,使左下方得乘法竖式成立。
□□□124
×81×81
□□□124
□□□992
□□□□□10044
求竖式。
例3左下方得除法竖式中只有一个8,请在□内填入适当得数字,使除法竖式成立。
例4
解:
竖式中除数与8得积就是三位数,而与商得百位与个位得积都就是四位
数,
所以x=112,被除数为989×112=110768。
右上式为所求竖式。
代数解法虽然简洁,但只适用于一些特殊情况,大多数情况还要用传统得方法。
例4在□内填入适当数字,使下页左上方得小数除法竖式成立。
分析与解:
先将小数除法竖式化为我们较熟悉得整数除法竖式(见下页右上方竖式)。
可以瞧
出,除数与商得后三位数得乘积就是1000=23×53得倍数,即除数与商得后三位数一个就是23=8得
倍数,另一个就是53=125得奇数倍,因为除数就是两位数,所以除数就是8得倍数。
又由竖式特点知
a=9,从而除数应就是96得两位数得约数,可能得取值有96,48,32,24与16。
因为,c=5,5与除数得乘积仍就是两位数,所以除数只能就是16,进而推知b=6。
因为商得后三位数就是125得奇数倍,只能就是125,375,625与875之一,经试验只能取375。
至此,已求出除数为16,商为6、375,故被除数为6、375×16=102。
上页右式即为所求竖式。
求解此类小数除法竖式题,应先将其化为整数除法竖式,如果被除数得末尾出现n个0,则在除数与商中,一个含有因子2n(不含因子5),另一个含有因子5n(不含因子2),以此为突破口即可求解。
例5一个五位数被一个一位数除得到下页得竖式
(1),这个五位数被另一个一位数除得到下页得竖式
(2),求这个五位数。
分析与解:
由竖式
(1)可以瞧出被除数为10**0(见竖式
(1)'),竖式
(1)得除数为3或9。
在竖式
(2)中,被除数得前两位数10不能被整数整除,故除数不就是2或5,而被除数得后两位数*0能被除数整除,所以除数就是4,6或8。
当竖式
(1)得除数为3时,由竖式
(1)'知,a=1或2,所以被除数为100*0或101*0,再由竖式
(2)中被除数得前三位数与后两位数分别能被除数整除,可得竖式
(2)得除数为4,被除数为10020;
当竖式
(1)得除数为9时,由能被9整除得数得特征,被除数得百位与十位数字之与应为8。
因为竖式
(2)得除数只能就是4,6,8,由竖式
(2)知被除数得百位数为偶数,故被除数只有10080,10260,10440与10620四种可能,最后由竖式
(2)中被除数得前三位数与后两位数分别能被除数整除,且十位数不能被除数整除,可得竖式
(2)得除数为8,被除数为10440。
所以这个五位数就是10020或10440。
练习2
1、下面各算式中,相同得字母代表相同得数字,不同得字母代表不同得
答案
(1)4285;
(2)461538。
7×(1000A+B)=6×(1000B+A),
化简后得538A=461B,由于538与461互质,且A,B均为三位数,
所以A=461,B=538。
所求六位数就是461538。
2、用代数方法求解下列竖式:
3、在□内填入适当得数字,使下列小数除法竖式成立:
□8□7□、□□□□□
□□)□□□□□□□、□)□□□、□□)□、□
□□□□□□□□□
□□□8□□□□□
□□□□□□□□□
□□00
□□
0
答案
(1)124×81=10044;
(2)117684÷12=9807。
提示:
(1)设被乘数为a,由8a≤999,81a≥10000,推知所以a=124。
(2)根据竖式特点知,商就是9807。
设除数就是a,根据竖式特点由8a<100,9a≥100,推知
所以a=12。
3、答案
(1)先将竖式化为整数除法竖式如左下式:
易知f=2,g=0;由g=0知b,d中有一个就是5,另一个就是偶数而f=2,所以b=5,进而推知d=6;再由d=6,f=2知a=2或7,而e=3或4,所以a=7;最后求出c=5。
见上页右下式。
(2)先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式:
由竖式特点知b=c=0;因为除数与d得乘积就是1000得倍数,d与e都不为0,所以d与除数中必分别含有因子23与52,故d=8,除数就是125得奇数倍,因此e=5;又f≠0,e=5,所以f=g=5;由g=5,d=8得到除数为5000÷8=625,再由625×a就是三位数知a=1,所以被除数为625×1008=630000,所求竖式见右上式。
第3讲定义新运算
(一)
我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算就是数学中最基本得运算,它们得意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外,还会有什么别得运算吗?
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新得运算及其符号,在中、小学课本中没有统一得定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后得学习都大有益处。
例1对于任意数a,b,定义运算“*”:
a*b=a×b-a-b。
求12*4得值。
分析与解:
根据题目定义得运算要求,直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
根据以上得规定,求10△6得值。
3,x>=2,求x得值。
分析与解:
按照定义得运算,
<1,2,3,x>=2, x=6。
由上面三例瞧出,定义新运算通常就是用某些特殊符号表示特定得运算意义。
新运算使用得符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成得符号,如+,-,×,÷,<,>等,以防止发生混淆,而表示新运算得运算意义部分,应使用通常得四则运算符号。
如例1中,a*b=a×b-a-b,新运算符号使用“*”,而等号右边新运算得意义则用四则运算来表示。
分析与解:
按新运算得定义,符号“⊙”表示求两个数得平均数。
四则运算中得意义相同,即先进行小括号中得运算,再进行小括号外面得运算。
按通常得规则从左至右进行运算。
分析与解:
从已知得三式来瞧,运算“”表示几个数相加,每个加数各数位上得数都就是符号前面得那个数,而符号后面得数就是几,就表示几个数之与,其中第1个数就是1位数,第2个数就是2位数,第3个数就是3位数……按此规定,得35=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知,有时新运算得规定不就是很明显,需要先找规律,然后才能进行运算。
例6对于任意自然数,定义:
n!
=1×2×…×n。
例如4!
=1×2×3×4。
那么1!
+2!
+3!
+…+100!
得个位数字就是几?
分析与解:
1!
=1,
2!
=1×2=2,
3!
=1×2×3=6,
4!
=1×2×3×4=24,
5!
=1×2×3×4×5=120,
6!
=1×2×3×4×5×6=720, ……
由此可推知,从5!
开始,以后6!
7!
8!
…,100!
得末位数字都就是0。
所以,要求1!
+2!
+3!
+…+100!
得个位数字,只要把1!
至4!
得个位数字相加便可求得:
1+2+6+4=13。
所求得个位数字就是3。
例7如果m,n表示两个数,那么规定:
m¤n=4n-(m+n)÷2。
求3¤(4¤6)¤12得值。
解:
3¤(4¤6)¤12=3¤[4×6-(4+6)÷2]¤12=3¤19¤12
=[4×19-(3+19)÷2]¤12=65¤12=4×12-(65+12)÷2=9、5
练习3
1、对于任意得两个数a与b,规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9得值。
(值为2)
2、已知ab表示a除以3得余数再乘以b,求134得值。
(值为4)
3、已知ab表示(a-b)÷(a+b),试计算:
(53)(106)。
(值为0)
4、规定a◎b表示a与b得积与a除以b所得得商得与,求8◎2得值。
答案
5、假定m◇n表示m得3倍减去n得2倍,即 m◇n=3m-2n。
(2)已知x◇(4◇1)=7,求x得值。
答案提示:
(2)x◇(4◇1)=7,x◇(4×3-1×2)=7,
x◇10=7, 3x-10×2=7,x=9。
(2)相当于由1×2×3×…×x=40320,求x。
40320÷2=20160, 20160÷3=6720,6720÷4=1680,1680÷5=336,……8÷8=1,
即1/40320=1×1/2×1/3×1/4×1/5×1/6×1/7×1/8。
所以x=8。
7、对于任意得两个数P,Q,规定P☆Q=(P×Q)÷4。
例如:
2☆8=(2×8)÷4。
已知x☆(8☆5)=10,求x得值。
解:
x☆(8☆5)=x☆(8×5÷4)=x☆10=x×10÷4,由x×10÷4=10,求得x=4。
8、定义:
a△b=ab-3b,ab=4a-b/a。
计算:
(4△3)△(2b)。
解:
(4△3)△(2△6)=(4×3-3×3)△(4×2-6/2)=3△5=3×5-3×5=0。
9、已知:
23=2×3×4,45=4×5×6×7×8,……求(44)÷(33)得值。
提示:
新运算“”就是:
从第一个数字起,求越来越大得连续几个自然数得乘积,因数个数就是第二个数字。
(44)÷(33)=(4×5×6×7)÷(3×4×5)=14。
第4讲定义新运算
(二)
例1已知a※b=(a+b)-(a-b),求9※2得值。
分析与解:
这就是一道很简单得题,把a=9,b=2代入新运算式,即可算出结果。
但就是,根据四则运算得法则,我们可以先把新运算“※”化简,再求结果。
a※b=(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b。
所以,9※2=2×2=4。
由例1可知,如果定义得新运算就是用四则混合运算表示,那么在符合四则混合运算得性质、法则得前提下,不妨先化简表示式。
这样,可以既减少运算量,又提高运算得准确度。
例2定义运算:
a⊙b=3a+5ab+kb,其中a,b为任意两个数,k为常数。
比如:
2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
(1)已知5⊙2=73。
问:
8⊙5与5⊙8得值相等吗?
(2)当k取什么值时,对于任何不同得数a,b,都有a⊙b=b⊙a,即新运算“⊙”符合交换律?
分析与解:
(1)首先应当确定新运算中得常数k。
因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k,
所以由已知5⊙2=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)÷2=4。
定义得新运算就是:
a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244,5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因为244≠247,所以8⊙5≠5⊙8。
(2)要使a⊙b=b⊙a,由新运算得定义,有 3a+5ab+kb=3b+5ab+ka,3a+kb-3b-ka=0,
3×(a-b)-k(a-b)=0,(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a,b,要使上式成立,必有3-k=0,即k=3。
当新运算就是a⊙b=3a+5ab+3b时,具有交换律,即 a⊙b=b⊙a。
例3对两个自然数a与b,它们得最小公倍数与最大公约数得差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-(a,b)。
比如,10与14得最小公倍数就是70,最大公约数就是2,那么10☆14=70-2=68。
(1)求12☆21得值;
(2)已知6☆x=27,求x得值。
分析与解:
(1)12☆21=[12,21]-(12,21)=84-3=81;
(2)因为定义得新运算“☆”没有四则运算表达式,所以不能直接把数代入表达式求x,只能用推理得方法。
因为6☆x=[6,x]-(6,x)=27,而6与x得最大公约数(6,x)只能就是1,2,3,6。
所以6与x得最小公倍数[6,x]只能就是28,29,30,33。
这四个数中只有30就是6得倍数,所以6与x得最小公倍数与最大公约数分别就是30与3。
因为a×b=[a,b]×(a,b),
所以6×x=30×3,由此求得x=15。
例4a表示顺时针旋转90°,b表示顺时针旋转180°,c表示逆时针旋转90°,d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求:
a◎b;b◎c;c◎a。
分析与解:
a◎b表示先顺时针转90°,再顺时针转180°,等于顺时针转270°,也等于逆时针转90°,所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°,再逆时针转90°,等于顺时针转90°,所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°,再顺时针转90°,等于没转动,所以c◎a=d。
对于a,b,c,d四种运动,可以做一个关于“◎”得运算表(见下表)。
比如c◎b,由c所在得行与b所在得列,交叉处a就就是c◎b得结果。
因为运算◎符合交换律,所以由c所在得列与b所在得行也可得到相同得结果。
例5对任意得数a,b,定义:
f(a)=2a+1,g(b)=b×b。
(1)求f(5)-g(3)得值;
(2)求f(g
(2))+g(f
(2))得值;
(3)已知f(x+1)=21,求x得值。
解:
(1)f(5)-g(3)=(2×5+1)-(3×3)=2;
(2)f(g
(2))+g(f
(2))=f(2×2)+g(2×2+1)=f(4)+g(5)=(2×4+1)+(5×5)=34;
(3)f(x+1)=2×(x+1)+1=2x+3,由f(x+1)=21,知2x+3=21,解得x=9。
练习4
答案
2、定义两种运算“※”与“△”如下:
a※b表示a,b两数中较小得数得3倍,a△b表示a,b两数中较大得数得2、5倍。
比如:
4※5=4×3=12,4△5=5×2、5=12、5。
计算:
[(0、6※0、5)+(0、3△0、8)]÷[(1、2※0、7)-(0、64△0、2)]
解:
原式=(0、5×3+0、8×2、5)÷(0、7×3-0、64×2、5)=7。
提示:
从已知得四式发现,第一个数得4倍加上第二个数等于结果,所
4、设m,n就是任意得自然数,A就是常数,定义运算m⊙n=(A×m-n)÷4,并且2⊙3=0、75。
试确定常数A,并计算:
(5⊙7)×(2⊙2)÷(3⊙2)
提示:
由2⊙3=(A×2-3)÷4=0、75,推知A=3。
定义得运算就是:
m⊙n=(3m-n)÷4。
(5⊙7)×(2⊙2)÷(3⊙2)=[(3×5-7)÷4]×[(3×2-2)÷4]÷[(3×3-2)÷4]=2×1÷7/4=8/7。
5、用a,b,c表示一个等边三角形围绕它得中心在同一平面内所作得旋转运动:
a表示顺时针旋转240°,b表示顺时针旋转120°,c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a,b,c为运算对象做运算表。
6、对任意两个不同得自然数a与b,较大得数除以
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