正向级数收敛的判定 学年论文分解.docx
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正向级数收敛的判定学年论文分解
目录
摘要2
引言2
1正项级数的定义2
2正项级数收敛性的一般判别原则3
3比式判别法和根式判别法5
4积分判别法9
5拉贝判别法9
结束语12
参考文献13
致谢14
摘要
级数理论部分是数学分析的重要组成部分,其中的正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
现今正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍。
本文主要讨论了几种常用的判定正项级数敛散性的方法。
在充分了解正项级数定义以及基本性质的理论基础上,对当前已经运用于正项级数敛散性判定的多种多样的方法进行筛选。
关键词:
正项级数收敛性判定方法
引言
数学分析作为数学与应用数学专业的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要帮助作用。
级数理论是数学分析的一个重要组成部分,级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数,更重要的是给出了研究这些函数的有效方法,而且即使是初等函数,给出了它们的级数形式,有时会更便于研究它们的性质。
在实际生活中的运用也较为广泛,如经济等问题。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用对于不同类型的正项级数到底该用哪种方法,我们要充分分析和发掘不同正项级数不同点和相同点,从而判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,在面对一些典型问题,运用典型方法,往往能达到出人意料的事半功倍.
1正项级数的定义
若级
中各项都是非负的(即),则称该级数为正项级数.
由正数和零构成的级数称为正项级数.
2正项级数收敛性的一般判别原则
若级数各项的符号都相同,则称为同号级数。
而对于同号级数,只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数.如果级数的各项都是负数,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性.
定理1如果的部分和数列的极限存在,即:
则称级数收敛,S为级数的和.
记为:
.如果不存在,则称级数发散.
定理2正项级数收敛的充要条件正项级数部分和数列有界,即存在某正数M,对,有.
证明:
由于对,,故是递增的,因此,有
收敛收敛有界.
定理3(比较原则)设和均为正项级数,如果存在某个正数N,使得对都有
,
(1)
则(i)若级数收敛,则级数也收敛;
(ii)若级数发散,则级数也发散.
证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性,因此不妨设不等式
(1)对一切正数都成立.
现分别以和记级数和的部分和.由
(1)式推得,对于一切正整数,都有
(2)
若收敛,即存在,则由
(2)式对于一切有,即正项级数的部分和数列有界,由定理2级数收敛.这就证明了(i);(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.
例1 考察的收敛性.
解由于当时,有
.
因为正项级数收敛,故此定理成立,级数收敛.
推论设
,(3)
(4)
是两个正项级数,若
,(5)
则
(i)当时,级数(3)、(4)同时收敛或者同时发散;
(ii)当且级数
(1)收敛时,级数(3)也收敛;
(iii)当且级数(4)发散时,级数(3)也是发散的.
证由(5),对于给的正数,存在某正数,当时,恒有
或
.(6)
由定理比较原则及(6)式推得,当(这里的),级数(3)与(4)同时收敛或同时发散.这就证得(i).
对于(ii),当时,由(6)式有半部分及比较原则可得:
若级数(4)收敛,则级数(3)也收敛.
对于(iii),若,即对任给的正数,存在相应的正数,当时,都有
或
.
于是由比较原则知道,若级数(4)发散,则级数(3)也发散.
例2级数
是收敛的,因为
以及等比级数收敛,所以根据推论,级数也是收敛.
3比式判别法和根式判别法
根据比较原则,可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的.只有知道一些重要级数的收敛性,并加以灵活应用,才能熟练掌握比较判别法。
至今为止,我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及级数等.
要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式。
但有时直接建立这样的不等式相当困难,为应用方便,我们给出比较判别法的极限形式.
使用比较判别法或其极限形式,需要找到一个已知级数作比较,这多少有些困难。
下面介绍的几个判别法,可以利用级数自身的特点,来判断级数的收敛性.
比式判别法(达朗贝尔判别法):
适合与有公因式且存在或等于无穷大的情形.
定理4设为正项级数,且存在某正整数及常数q().
(i)若对于一切,成立不等式
,(7)
则级数收敛.
(ii)若对于一切,成立不等式
,(8)
则级数发散.
推论1(比式判别法的极限形式)若为正项级数,且
,
则
(i)当时,级数收敛;
(ii)当或,级数发散.
例4级数
,
由于
,
根据推论1级数是收敛的.
根式判别法(柯西判别法)设为正项级数,且存在某个正整
数及正常数,
(1)若对,有,则级数收敛;
(2)若对,有,则级数发散.
证明:
由比较判别法即可得.
推论1(根式判别法的极限形式)设为正项级数,且
,
则
(1)当时,级数收敛;
(2)当(可为)时,级数发散;
(3)当时,级数可能收敛,也可能发散。
如:
,.
例5讨论级数的敛散性.
解:
由于
所以级数是收敛的。
若在(13)式中=1,则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断.例如,对都有
但是收敛的,而却是发散的。
若(13)式的极限不存在,则可根据根式的上极限来判断。
推论2设为正项级数,且
,
则当
(i)<1时级数收敛;
(ii)>1时级数发散.
本推论的证明可仿照推论1的证法进行.
增加例题考察级数
其中.
解由于
及
因此级数是收敛的,但若应用比式判别法,则由于
,
则无法应用根式判别法的推论2判断其收敛性.
我们知道,若
则必有
.
这说明凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数,它也能由根式判别法来判断,而且可以说,根式判别法较之比式判别法更有效.
例6级数由于
故由比式判别法无法鉴别此级数的收敛性。
但应用根式判别法来考察这个级数
例7可知此级数是收敛的.
说明:
因这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数,也能用根式判别法来判断,即根式判别法较之比式判别法更有效,但反之不能.
4积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.
定理5设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.
例8讨论级数的敛散性.
解函数,当时在上是非负减函数.由于反常积分在时收敛,时发散.故由定理5得当时收敛,当时发散.至于的情形,则由级数收敛的柯西准则推论知道它也是发散的.
5拉贝判别法
比试判别法和根式判别法是基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的,也就是说,只是那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数,这两个方法才能鉴定出它的收敛性,如果级数的通项收敛速度较慢,它们就无能为力了,因此为了获得判别范围更大的一类级数,就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准.
定理6(拉贝尔判别法)设是正项级数,且存在自然数及常数r,
(i)若对于一切,成立不等式
,
则级数收敛;
(ii)若对于一切,成立不等式
,
则级数发散.
拉贝判别法的极限形式:
(1)当时,级数收敛;
(2)当时,级数发散.
(3)当时,拉贝判别法无法判断
结论
比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法.
比较审敛法 如果正项级数收敛,且满足,则收敛;
如果正项级数发散,且满足,则发散;
比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别,而寻求合适的级数是解题的关键.
几何级数和p-级数常用来充当比较审敛法中的级数.
例9证明级数是收敛的.
证 由于,所以,而级数为p=2的p-级数且收敛,
故由比较审敛法,级数是收敛的.
例10判别下列级数的敛散性.
分析 这是一个典型的例题,通项是关于的一个有理分式。
应注意分母和分子中的最高幂次之差,通项为关于的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。
本题中这一差数为1,故应和p=1的p-级数做比较.
解 ,而级数与有相同的敛散性,即同时发散,故由比较审敛法,级数是收敛的.
在例中,由于级数的通项比较复杂,使得敛散性的判别过程较为复杂,为使比较审敛法的应用更为方便,给出其极限形式.
比较审敛法的极限形式 设和为两个正项级数,如果
(),
则级数和有相同的敛散性.
如果正项级数发散,且满足,则发散;
例11判别级数的敛散性.
解 因为,故由比较审敛法的极限形式得知此级数收敛。
如果不用比较审敛法的极限形式,例3中的级数敛散性的判别较为困难.
例12用比较审敛法的极限形式判别例3中的级数的敛散性.
解 因为,故由比较审敛法得知此级数收敛.
比值审敛法 设正项级数的后项与前项的比值的极限等于:
,(9)
则当时级数收敛;时级数发散.
例13判别级数
的敛散性.
解 因为,故,从而.
由比值审敛法可知级数发散.
易知,当级数的通项含有阶乘或出现在指数位置时,一般可用比值审敛法判别其敛散性.
例14判别级数的敛散性.
分析 此级数的通项中既含有的阶乘,又含有和,所以可用比值审敛法判断其敛散性.
解 因为,所以
从而,由比值审敛法可知,此级数收敛.
当(3)中等于1时,用比值审敛法不能判别级数的敛散性。
可用其它方法判别其敛散性.
根值审敛法 设正项级数的通项的次方根的极限等于:
,(10)
则当时级数收敛;时级数发散.
例16证明级数收敛.
分析 当级数的通项中含有或类似的表达式时,通常采用根值审敛法判别级数的敛散性。
证 因为 ()
故由根值审敛法得知所给级数收敛.[8]
以上给出了正项级数的各种判别法,对于给定的正项级数,可以按照以下顺序对其敛散性进行判别:
1.首先观察其通项是否趣于零,如果通项不趣于零,则级数发散.
2.如果通项趣于零,可根据级数通项的特点,考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法.
结束语
数学分析作为数学系的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要作用。
级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则发散,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散。
若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法,或可以找到其等价式用等价判别法。
当通项具有一定的特点时,则根
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