版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第2节.docx
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版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第2节
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[微点提醒]
1.否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A
B)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
解析
(1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.
【参考答案】
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.(选修2-1P6练习引申)命题“若α=
则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠
则tanα≠1B.若α=
则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠
”.
【参考答案】C
3.(选修2-1P8AT2
(1)改编)“若a,b都是偶数,则ab必是偶数”的逆否命题为________.
解析 “a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数”,“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数”.
【参考答案】若ab不是偶数,则a,b不都是偶数
4.(2018·天津卷)设x∈R,则“
<
”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由
<
得0 < ”是“x3<1”的充分而不必要条件. 【参考答案】A 5.(2017·北京卷)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________. 解析 a>b>c,取a=-2,b=-4,c=-5, 则a+b=-6 【参考答案】-2,-4,-5(答案不唯一) 6.(2019·安徽江南十校联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的________条件. 解析 显然a=0时,f(x)=sinx- 为奇函数; 当f(x)为奇函数时, f(-x)+f(x)=sin(-x)- +a+sinx- +a=0. 因此2a=0,故a=0. 所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 【参考答案】充要 考点一 命题及其关系 【例1】 (1)(2019·郑州模拟)下列说法正确的是( ) A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1” B.“若am2 C.存在x0∈(0,+∞),使3x0>4x0成立 D.“若sinα≠ 则α≠ ”是真命题 (2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________. 解析 (1)对于选项A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,A错; 对于B项,若“am2 对于C项,由指数函数的图象知,∀x∈(0,+∞),都有4x>3x,C错; 对于D项,原命题的逆否命题为“若α= 则sinα= ”是真命题,故原命题是真命题. (2)根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f(x)min=f(0). 【参考答案】 (1)D (2)f(x)=sinx,x∈[0,2](答案不唯一,再如f(x)= ) 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2. (1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断. 【训练1】 (1)(2018·肇庆一诊)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是( ) A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac” B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac” C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列” D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列” (2)命题p: 若x>0,则x>a;命题q: 若m≤a-2,则m 解析 (1)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”. (2)命题p的逆命题是若x>a,则x>0,故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题,所以命题q为真命题,则a-2<-1,解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1). 【参考答案】 (1)D (2)[0,1) 考点二 充分条件与必要条件的判定 【例2】 (1)(2018·北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)设函数f(x)= 则“m>1是f[f(-1)]>4”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析 (1)|a-3b|=|3a+b|⇔(a-3b)2=(3a+b)2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又∵|a|=|b|=1, ∴a·b=0⇔a⊥b,因此|a-3b|=|3a+b|是“a⊥b”的充要条件. (2)当m>1时,f[f(-1)]=f =f (2)=22m+1>4, 当f[f(-1)]>4时,f[f(-1)]=f =f (2)=22m+1>4=22, ∴2m+1>2,解得m> . 故“m>1”是“f[f(-1)]>4”的充分不必要条件. 【参考答案】 (1)C (2)A 规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断. (2)集合法: 根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【训练2】 (1)(2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(2019·佛山质检)已知函数f(x)=3x-3-x,∀a,b∈R,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 (1)若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件. (2)因为f(x)=3x-3-x, 所以f′(x)=3xln3-3-xln3×(-1)=3xln3+3-xln3, 易知f′(x)>0, 所以函数f(x)=3x-3-x为(-∞,+∞)上的单调递增函数,从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”,由“f(a)>f(b)”可得“a>b”,即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件. 【参考答案】 (1)A (2)C 考点三 充分条件、必要条件的应用 典例迁移 【例3】(经典母题)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P. ∴ 解得m≤3. 又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0. 综上,m的取值范围是[0,3]. 【迁移探究1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件? 并说明理由. 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ ∴ 这样的m不存在. 【迁移探究2】设p: P={x|x2-8x-20≤0},q: 非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}. ∵綈p是綈q的必要不充分条件, p是q的充分不必要条件. ∴p⇒q且q p,即PS. ∴ 或 ∴m≥9,又因为S为非空集合, 所以1-m≤1+m,解得m≥0, 综上,实数m的取值范围是[9,+∞). 规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【训练3】(2018·浏阳三校联考)设p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q: 实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解 由p得(x-3a)(x-a)<0,当a<0时,3a 由q得x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,则-2≤x≤3或x<-4或x>2,则x<-4或x≥-2. 设p: A=(3a,a),q: B=(-∞,-4)∪[-2,+∞), 又p是q的充分不必要条件. 可知AB,∴a≤-4或3a≥-2,即a≤-4或a≥- . 又∵a<0,∴a≤-4或- ≤a<0, 即实数a的取值范围为(-∞,-4]∪ . [思维升华] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系,并注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”. 2.充分、必要条件与集合的关系,p,q成立的对象构成的集合分别为A和B. (1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. [易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言. 基础巩固题组 (建议用时: 30分钟) 一、选择题 1.(2019·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( ) A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤b C.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c 解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”. 【参考答案】A 2.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得0≤x≤2. 当x≤2时不一定有0≤x≤2,而当0≤x≤2时一定有x≤2, ∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件. 【参考答案】B 3.设a>b,a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( ) A.ac2>bc2B. >1 C.a-c>b-cD.a2>b2 解析 对于选项A,a>b,若c=0,则ac2=bc2,故A错;对于选项B,a>b,若a>0,b<0,则 <1,故B错;对于选项C,a>b,则a-c>b-c,故C正确;对于选项D,a>b,若a,b均小于0,则a2 【参考答案】C 4.(2018·成都诊断)命题p: cosθ= 命题q: tanθ=1,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由cosθ= 得θ=± +2kπ,k∈Z,则tanθ=±1, 故p q,p是q的不充分条件; 由tanθ=1,得θ= +kπ,k∈Z,则cosθ=± 故q p,p是q的不必要条件; 所以p是q的既不充分也不必要条件. 【参考答案】D 5.原命题: 设a,b,c∈R,若“a>b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( ) A.0个B.1个C.2个D.4个 解析 原命题: 若c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题为: 设a,b,c∈R,若“ac2>bc2,则a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个. 【参考答案】C 6.已知命题p: x2+2x-3>0;命题q: x>a,且綈q的一个充分不必要条件是 綈p,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,1] C.[-1,+∞)D.(-∞,-3] 解析 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1. 【参考答案】A 7.(2017·北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λ|n|2<0;反之m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇒cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈ 当〈m,n〉∈ 时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要条件. 【参考答案】A 8.下列结论错误的是( ) A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0” 解析 C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0, 即m≥- 不能推出m>0.所以不是真命题. 【参考答案】C 二、填空题 9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个). 解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 【参考答案】必要 10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”; ③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价. 解析 ①不正确.由log2a>0,得a>1,∴f(x)=logax在其定义域内是增函数. ②正确.由命题的否命题定义知,该说法正确. ③不正确,原命题的逆命题为: “若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4为偶数,但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题,因此两命题等价. 【参考答案】②④ 11.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是________. 解析 直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于 < 解之得-1 【参考答案】-1 12.(2019·湖南师大附中月考)设p: ln(2x-1)≤0,q: (x-a)[x-(a+1)]≤0,若q是p的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是________. 解析 p对应的集合A={x|y=ln(2x-1)≤0}= q对应的集合B={x|(x-a)[x-(a+1)]≤0}={x|a≤x≤a+1},由q是p的必要而不充分条件可知AB,所以a≤ 且a+1≥1,所以0≤a≤ . 【参考答案】 能力提升题组 (建议用时: 10分钟) 13.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由S4+S6-2S5=S6-S5-(S5-S4)=a6-a5=d,所以S4+S6>2S5等价d>0,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件. 【参考答案】C 14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题p: x2+2x-3>0;命题q: >0,且綈q的一个必要不充分条件是綈p,则a的取值范围是( ) A.[-3,0]B.(-∞,-3]∪[0,+∞) C.(-3,0)D.(-∞,-3)∪(0,+∞) 解析 法一 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1. 则綈p对应的集合为A={x|-3≤x≤1}. 命题q:
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