导学案一元二次方程解法1副.docx
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导学案一元二次方程解法1副
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教师评价:
18.2一元二次方程的解法(直接开平方法)
【学习目标】
1、经历探索用直接开平方法解一元二次方程的过程,体验数学知识的发现过程;
2、会用直接开平方法解一元二次方程。
【重点难点】
用直接开平方法解一元二次方程
【导学过程】
一、预习导学
1、感受生活
小明的爸爸在书画市场买了一副面积为64dm2的正方形书画作品,中间为边长为6dm正方形的国画,四周为宽度相等的装裱部分(如右图)。
你能求出装裱部分的宽度吗?
(尝试解决:
讨论、交流你的想法和结果)
2、尝试建立数学模型
若设四周装裱部分的宽度都为xdm,用x的代数式表示大正方形的边长为dm,大正方形的面积可表示为dm2。
又知其面积为64dm2,则可列方程为(6+2x)2=64
3、探索解决
(1)这个方程是一元二次方程吗?
你能举一个较简单的一元二次方程吗?
(例如:
X2=2等),你能求出它的解吗?
(2)这两个方程左边有什么共同特点?
右边的数满足什么条件?
类比你能求出方程为(6+2x)2=64的解吗?
(根据提示填空)
由平方根的意义可得:
6+2x=
即6+2x=或6+2x=
解得x=或x=
∴x1=,x2=
4、思考与归纳
【导学设计】
(1)、回忆:
解二元一次方程组关键是什么?
体现数学中的什么重要思想?
最终都转化成什么方程来解的?
对于上述解法你有何感想?
(2)、在上述解方程的过程中,最关键的一步是哪一步?
它有什么特点?
(3)直接开平方法:
5、讲解例题:
用直接开平方法解下列一元二次方程
(1)(x+4)2=3;
(2)2(x+1)2-10=0
解:
(1)开平方,得x+4=
移项,得x=-4
∴x1=-4+
x2=-4-
(2)
完成课本P23练习
三、合作探究
1、讨论交流:
能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?
3、你能用直接开平方法解下列一元二次方程吗?
为什么?
(1)x2+16=0;
(2)(x+3)2+5=0
4、试一试:
你能用直接开平方法解一元二次方程:
x2+4x+4=1
四、收获与反思:
1、对照“学习目标”,自我判别,我学会了哪些?
2、葵花宝典(有何收获?
):
五、达标检测
【导学设计】
教学收获与反思
【导学设计】
第19章勾股定理
19.1勾股定理
(1)
学习目标:
1.了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程;
2.了解利用拼图验证勾股定理的方法;
3.在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力体会数形结合的思想;
一.学前准备
1.画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:
“把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.
2.再画一个两直角边为5cm和12cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
3.你是否发现
的关系,
的关系,即____________,_________.对于任意直角三角形也有这个性质吗?
二.探究活动
(一)独立思考·解决问题
【做一做】
1、分别以图中的直角三角形三边
为边向外作正方形,求这三个正
方形的面积?
【导学设计】
2、这三个面积之间是否存在什么样的
未知关系,如果存在,那么它们的关系
是是什么?
操作一:
请大家将手中的四个全等的直角边长分别为a、b,斜边为c的直角三角形,拼成如图所示的正方形,并找出图中的面积关系。
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操作二:
美国第20届总统加菲尔德于1876年利用两个全等直角三角形构造了一个如图所示的图形,你能找出其中的面积关系吗?
(二)师生探究·形成知识
通过上面的探究,你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗?
如果直角三角形的两直角边用a、b表示,斜边用c表示,那么勾股定理可表示为__________________;
【导学设计】
课堂练习:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.
(1)a=6,b=8,求c;
(2)a=8,c=17,求b.
2.在Rt△ABC中,∠B=90°,a=3,b=4,求c.
3.在直角三角形中,已知两边的长为3和4,求第三边的长.
三.自我测试
1.在△ABC中,若∠C=90°,AB=6,BC=5,则AC等于()
A.4B.7C.9D.
2.下列说法正确的是()
A.若a,b,c是三角形的三边长,则
B.若a,b,c是直角三角形的三边长,则
C.若a,b,c是直角三角形的三边长,且∠C=90°,则
D.以上都不对
3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,设BC=a,AC=b,若AB=16,CD=6,则a-b=_______;
4.如图,在△ABC中,∠A=90°,DE是边BC的垂直平分线,求证:
【导学设计】
第19章勾股定理
19.1勾股定理
(2)
学习目标:
1.能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题;
2.通过例题的分析与解决,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用;
3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法;
一.学前准备
1.勾股定理:
2.如果直角三角形的两直角边用a,b表示,斜边用c表示,那么勾股定理可表示为_______________________;
3.勾股定理的变形式:
4.典型例题
例1:
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)已知a=b=6,求c;
(2)已知a=1,c=3,求b;
(3)已知c=13,b=12,求a.
例2:
在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知∠A=30°,a=3,求b和c;
(2)已知∠A=45°,c=8,求a和b.
例3:
如图,将长方形的一边AD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长。
【导学设计】
例4:
在数轴上作出表示
的点。
例5:
有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,那么小鸟至少要飞行多少米?
二.自我测试
1.小明和爸爸妈妈五一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。
2.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是多少米。
3、如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?
4.一根32厘米的绳子被折成如图所示的
形状钉在PQ两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ长多少厘米。
三.应用与拓展
如图所示,在一棵树的10m高的B处有两只猴子,其中一只猴子爬到树顶D后跃向池塘A处,(假设它经过的路线为直线),另一只猴子爬下树,走到离树20m处的池塘,如果两只猴子所经过的路程相等,求这棵树高有多少米?
【导学设计】
第19章勾股定理
19.2勾股定理的逆定理
(1)
学习目标:
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3.理解原命题逆命题逆定理的概念及关系。
一.学前准备
1.复习:
(1)什么叫命题?
____________________________。
(2)“对顶角相等”的逆命题是:
______________,它是 _____命题。
(3)勾股定理的内容是它的题设是__________________,结论是_________________________________。
(4)写出勾股定理的逆命题:
2、引导学生证明勾股定理的逆命题(具体证明过程见课本P58)
归纳:
勾股定理的逆定理:
_________________________________________。
3、________________________________________是互逆定理。
二.探究活动
(一)自主探究·掌握知识
1.学习例1判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形:
(1)a=7,b=24,c=25
(2)a=13,b=8,c=11
例2:
已知:
在△ABC中,∠A∠B∠C的对边分别是abc,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)求证:
∠C=90°。
分析:
要证∠C=90°,只要证△ABC是直角三角形,并且c边最大。
根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
归纳:
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数。
三.自我测试
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长:
(1)6、8、10;
(2)13、12、5;(3)1、2、3;(4)4、5、6.其中能构成直角三角形的有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
导学设计:
2.在△ABC中,∠ACB= ,AC=3,BC=4,CD⊥AB于D,则CD等于( )
A. B. C. D.
3.下列数组中,能组成一个直角三角形的有( )
(1)15,20,25;
(2)10,24,25;(3)9,80,81;(4)8,15,17
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
4已知△ABC的三边为a、b、c,有下列各组条件,判断△ABC的形状。
(1)a=41,b=40,c=9;
(2)a= 25,b= 20,c= 15 ;
5 在△ABC中,AB=15,BD=14,AD=13,求BD边上的高AC。
四:
应用与拓展
在四边形ABCD中, C是直角,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:
AD⊥BD
导学设计
第19章勾股定理
19.2勾股定理的逆定理
(2)
学习目标:
1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
一.学前准备:
1.勾股定理的内容是:
_______________________________。
2.勾股定理的逆定理:
。
3.在应用勾股定理和逆定理时应注意什么问题?
二.探究活动
例1、若△ABC的三边abc满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的面积。
例2、一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你试判断这个三角形的形状。
三.自我测试:
1.若△ABC的三边abc,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是()
A.等腰三角形;B.直角三角形;C.等腰三角形或直角三角形;D.等腰直角三角形。
2.若△ABC的三边abc,满足a:
b:
c=1:
1:
,试判断△ABC的形状。
3.已知:
如图,四边形ABCD,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,且AB⊥BC。
求:
四边形ABCD的面积。
导学设计:
四.应用与拓展
如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的AB两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。
已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,问:
甲巡逻艇的航向?
导学设计:
第19章勾股定理
小结复习
(1)
复习目标:
1.会用勾股定理解决简单的实际问题。
树立数形结合的思想。
2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾股定理解决实际问题。
3.掌握勾股定理的逆定理,理解原命题逆命题逆定理的概念及关系。
复习重点:
勾股定理和勾股定理的逆定理
复习难点:
勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用
一.知识框架:
自己建立:
二.重难点突破
类型之一:
利用勾股定理求边长
已知直角三角形两边长,求第三边长,是勾股定理的常见应用方式。
在不能确定两边是直角边时还要进行分类讨论。
例1:
已知:
直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=60,BC=144,求AB长。
变式题:
已知Rt△ABC中,AC=3,BC=4,求AB长。
类型之二:
利用勾股定理逆定理判定直角三角形
在利用勾股定理逆定理判定直角三角形时,通常先求出三角形三边,由三边是勾股数或最长边平方等于另外两边平方和成立进行判定。
例2:
△ABC三边长a,b,c,满足
,试判断△ABC的形状。
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变式题:
已知△ABC三边长a.b,c满足
,试判断△ABC的形状。
导学设计:
类型之三:
利用勾股定理求三角形的周长和面积
例3:
△ABC中,AB=20,AC=15,BC边上的高AD=12,求△ABC的周长和面积。
三.中考真题精练
1.(2010年辽宁省丹东市)图①是一个边长为
的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②
能验证的式子是()
A.
B.
C.
D.
2.(2009年达州)图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()
A.13B.26C.47D.94
第3题图
3.(09年湖北省恩施市)如图3,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是()
导学设计:
A.5
B.25C.
+5D.
35
5.(2009年滨州)某楼梯的侧面视图如图4所示,其中
米,
,
,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段
楼梯所铺地毯的长度应为.
6.(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=6,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是______________。
第7题图
7.(2009年湖南长沙)如图,等腰
中,
,
是底边上的高,若
,则
cm.
导学设计:
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