23等差数列的前n项和.docx
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23等差数列的前n项和
_2.3
等差数列的前n项和
数列的前n项和
[导入新知]
数列的前n项和
对于数列{an},一般地称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an.
[化解疑难]
数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.
等差数列的前n项和
[提出问题]
如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.
问题1:
共有几层?
图形的横截面是什么形状?
提示:
六层,等腰梯形.
问题2:
假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则这样共有多少钢管?
提示:
(4+9)×6=78.
问题3:
原来有多少根钢管?
提示:
×78=39.
问题4:
能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式
Sn=a1+a2+…+an?
提示:
Sn=a1+a2+…+an,
Sn=an+an-1+…+a1,
相加:
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)
=n(a1+an),
∴Sn=.
问题5:
试用a1,d,n表示Sn.
提示:
∵an=a1+(n-1)d,
∴Sn==na1+d.
[导入新知]
等差数列的前n项和公式
已知量
首项,末项与项数
首项,公差与项数
选用
公式
Sn=
Sn=na1+d
[化解疑难]
等差数列前n项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n项和.
(2)当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;当已知首项、公差和项数时,用后一个公式较好.
等差数列前n项和的有关计算
[例1]
(1)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=__________;Sn=________.
(2)在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.
(1)[解析] 设公差为d,则由S2=a3得2a1+d=a1+2d,所以d=a1=,故a2=a1+d=1,Sn=na1+d=.
[答案] 1
(2)[解] 由
得
解方程组,得或
[类题通法]
a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
[活学活用]
1.已知等差数列{an}.
(1)a1=,a15=-,Sn=-5,求n和d;
(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
解:
∵a15=+(15-1)d=-,∴d=-.
又Sn=na1+·d=-5,
解得n=15,n=-4(舍).
(2)由已知,得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
已知Sn求通项公式an
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断{an}是否为等差数列?
[解]
(1)∵Sn=-2n2+n+2,
∴当n≥2时,Sn-1=-2(n-1)2+(n-1)+2
=-2n2+5n-1,
∴an=Sn-Sn-1
=(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1)
=-4n+3.
又a1=S1=1,不满足an=-4n+3,
∴数列{an}的通项公式是
an=
(2)由
(1)知,当n≥2时,
an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4,
但a2-a1=-5-1=-6≠-4,
∴{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.
[类题通法]
已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤:
(1)当n=1时,a1=S1.
(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表示为an=(如本例).
[活学活用]
2.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n-2.
解:
(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5,
则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5)
=2n2-3n-2n2+7n-5
=4n-5.
此时若n=1,an=4n-5=4×1-5=-1=a1,
故an=4n-5.
(2)当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,
则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1
=3·3n-1-3n-1=2·3n-1.
此时若n=1,an=2·3n-1=2·31-1=2≠a1,
故an=
等差数列前n项和的性质
[例3]
(1)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( )
A.58 B.88
C.143D.176
(2)等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求S110.
(1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{an}是等差数列,所以a1+a11=a4+a8=2a6=16⇒a6=8,则该数列的前11项和为S11==11a6=88.
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列,
∴S10,S20-S10,S30-S20,…,S110-S100也成等差数列.
设其公差为D,则S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=S100,
即10S10+×D=S100=10.
又∵S10=100,代入上式,得D=-22,
∴S110-S100=S10+(11-1)×D=100+10×(-22)=-120,
∴S110=-120+S100=-110.
[类题通法]
等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…组成公差为k2d的等差数列.
(2)数列{an}是等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数)⇔数列{}为等差数列.
(3)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,
①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,=;
②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,=.
[活学活用]
3.
(1)等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,则S13=________.
解析:
因为a1+a13=a2+a12=2a7,
又a2+a7+a12=24,
所以a7=8.
所以S13==13×8=104.
答案:
104
(2)在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( )
A.9B.12
C.16D.17
解析:
选A 由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=9.
等差数列前n项和的最值
[例4] 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn的最大值.
[解] 法一:
由S17=S9,得
25×17+d=25×9+d,
解得d=-2,
∴Sn=25n+×(-2)=-(n-13)2+169.
由二次函数性质得,当n=13时,Sn有最大值169.
法二:
先求出d=-2(同法一),
∵a1=25>0,由,
得
即12<n≤13.
∴当n=13时,Sn有最大值169.
[类题通法]
求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路
(1)将Sn=na1+d=n2+(a1-)n配方.转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决.
(2)邻项变号法:
当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取最大值.
当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取最小值.
[活学活用]
4.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项an;
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
解:
(1)设{an}的公差为d,
由已知条件,得
解得a1=3,d=-2.
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2.
所以n=2时,Sn最大,且最大值为4.
[典例] 已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.求an及Sn.
[解题流程]
[名师批注]
解决等差数列问题时,有以下几点容易造成失分
(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项a1和公差d;
(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;
(3)判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项.
[活学活用]
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2.
从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)由
(1)可知an=3-2n.所以Sn==2n-n2.进而由Sk=-35,可得2k-k2=-35.
又k∈N*,故k=7为所求.
[随堂即时演练]
1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于( )
A.12 B.13
C.14D.15
解析:
选B 由S5=5a3=25,∴a3=5.
∴d=a3-a2=5-3=2.
∴a7=a2+5d=3+10=13.
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13B.35
C.49D.63
解析:
选C 法一:
设数列{an}公差为d,
解得
于是S7=7×1+×2=49.
法二:
由等差数列前n项和公式及性质知
S7====49.
3.已知数列的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn=
________.
解析:
∵an=-5n+2,
∴数列{an}是等差数列,且a1=-3,公差d=-5,
∴Sn==-.
答案:
-
4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n=________时,前n项和Sn取最大值,最大值是________.
解析:
∵d=an+1-an=-4,
∴an=-4n+36.
令an=-4n+36≥0,得n≤9,
∴n=8或9时,Sn最大,且S8=S9=144.
答案:
8或9 144
5.在等差数列{an}中,
(1)已知:
a6=10,S5=5,求a8;
(2)已知:
a2+a4=,求S5.
解:
(1)由已知得
解得
所以a8=a1+7d=-5+7×3=16(或a8=a6+2d=10+2×3=16).
(2)由a2+a4=及等差数列的性质,知
a1+a5=a2+a4=,
所以S5==×=24.
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一、选择题
1.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1=( )
A.18B.20
C.22D.24
解析:
选B 由S10=S11,得a11=S11-S10=0,
a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.
2.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10等于( )
A.138B.135
C.95D.23
解析:
选C 由a2+a4=4,a3+a5=10,可知d=3,
a1=-4.∴S10=-40+×3=95.
3.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于( )
A.5或7B.3或5
C.7或-1D.3或-1
解析:
选D 由题意,得
即
解得或
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63B.45
C.36D.27
解析:
选B ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列.所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.
5.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.5B.4
C.3D.2
解析:
选C 由题意得S偶-S奇=5d=15,
∴d=3.
或由解方程组求得d=3,故选C.
二、填空题
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an=________.
解析:
设{an}的公差为d,
则
解得
于是an=2+(n-1)×2=2n.
答案:
2n
7.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*.若a3=16,S20=20,则S10的值为________.
解析:
设{an}的首项,公差分别是a1,d,则
解得a1=20,d=-2,
∴S10=10×20+×(-2)=110.
答案:
110
8.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a4=2a3,则=________.
解析:
由等差数列的性质知==×=×2=.
答案:
三、解答题
9.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.求数列{an}的通项公式.
解:
依题意得,=3n-2,即Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
因a1=S1=1,满足an=6n-5,
所以an=6n-5(n∈N*).
10.在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.
解:
(1)设{an}的首项,公差分别为a1,d.
则
解得a1=-9,d=3,
∴an=3n-12.
(2)Sn==(3n2-21n)
=(n-)2-,
∴当n=3或4时,前n项的和取得最小值为-18.
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