一元函数微分学练习题.docx
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一元函数微分学练习题
高等数学(Ⅰ)练习
第二章
一元函数微分学
系
专业
班
姓名
学号
习题一
导数概念
一.填空题
f(x0
x)
f(x0)
f(x0)
1.若f(x0)存在,则lim
x
=
x0
f(x0h)
f(x0
h)2f(x0)
2.若f(x0)存在,lim
h
=
h0
3.设f(x0)
2
x
1
4
则lim
f(x0))
x0f(x02x)
.lim
f(x03x)
f(x0)
3f(x0)
x
=
.
x0
4.已知物体的运动规律为
st
t
2
(米),则物体在
t
2秒时的瞬时速度为
5m/s
1
3
)
1
2
3
(x)
5.曲线y
cosx在x
处的切线方程为
y
(x
y
2
2
,法线方程为
2
3
3
3
3
6.用箭头?
或?
表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系,
极限存在
?
连续
?
可导。
二、选择题
1.设f(0)
0,且f(0)存在,则limf(x)=
[
B
]
x
0
x
(A)f(x)
(B)f
(0)
(C)
f(0)
1
f(0)
(D)
2
2.设f(x)在x处可导,a,b为常数,则
f(xax)
f(xbx)
[
B
]
lim
x
=
x0
ab
(A)f(x)
(B)(a
b)f
(x)
(C)
(a
b)f
(x)
(D)
f(x)
2
3.函数在点x0处连续是在该点
x0处可导的条件
[
B
]
(A)充分但不是必要
(B)必要但不是充分
(C)充分必要
(D)即非充分也非必要
4.设曲线y
x2
x
2在点M处的切线斜率为
3,则点M的坐标为
[
B
]
(A)(0,1)
(B)
(1,0)
(C)(0,0)
(D)
(1,1)
5.设函数f(x)
|sinx|,则
f(x)在x
0处
[
B]
(A)不连续。
(B)连续,但不可导。
19
(C)可导,但不连续。
(D)可导,且导数也连续。
三、设函数f(x)
x2
x
1
f(x)在x1处连续且可导,a,b应取什么值。
axb
x
为了使函数
1
解:
因为f(x)在x
1处连续,所以f
(1)
f
(1)
f
(1),
f
(1)
limx2
1
f
(1),f
(1)
lim(axb)a
b,所以ab1
x1
x
1
因为f(x)在x
1处可导,所以f
(1)
f
(1)
f
(1)
lim2x
2,f
(1)
lima
a,
x1
x1
所以a
2,b
1
四、如果
f(x)为偶函数,且
f(0)存在,证明f(0)=0。
证:
因为f(x)为偶函数,所以f(x)
f(
x),又因为
f(0)
limf(x)
f(0)
lim
f(
x)f(0)
lim
f(x)f(0)
f(0)
x0
x
x0
x
x0
x
而因为f(0)存在,故f(0)
f(0)
f(0),所以f
(0)=0.
五、证明:
双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
证:
设双曲线上的任意一点为
(x0,y0),则x0y0
a2,又因yxy0,
所以双曲线在该点的切线方程为
y
y0(x
x0)
y0,
x0
故它与两坐标轴的交点分别为
(0,2y0)和(2x0,0),
所以三角形的面积S
1(2x0)(2y0)
2x0y0
2a2为定值.
2
20
高等数学(Ⅰ)练习第二章一元函数微分学
系专业班级姓名学号
习题二求导法则
(一)
一、填空题
1
.y
(2secx)sinx,
2.y
cos(2ex),y=
3
.r
xlog2x
ln2,
4.w
ln(sect
tant),
x
y
=
tan2x
2cosx;1
yesinx,
y=
cosxesinx
.
2exsin(2ex);
sin2x,y
2xcos2x
sin2x
y=
=
x2
.
log2x
1
x
csc
r
ln2
lntan
,
=
;
=
2x
2
1
w=
sect
.
y
arccos(x
2
x),y
1(x2
x)2
5.
(1
x2)
1x2
;
(
1x2
C
)=
x
.
1
1x2
1
6.
[ln(x
1
x2)]
=
1
x2
;
(
ln(x
1
x2)
C
)
=
.
1
x2
二、选择题
1.已知y=
sinx
y
=
[
B
]
,则
x
(A)xsinx
cosx
(B)
xcosx
sinx
(C)
sinx
xsinx
(D)x3cosx
x2sinx
x2
x2
x2
2.
已知y=
sinx
,则
y=
[
C
]
1
cosx
(A)cosx
1
(B)
1
cosx
(C)
1
1
(D)
2cosx
1
2cosx
1
2cosx
1
cosx
1
cosx
3.
已知y
secex,则
y
=
[A
]
(A)exsecextanex
(B)
secextanex
(C)
tanex
(D)excotex
4.
已知y
ln(x
1
x2),则y
=
[
A]
(A)
1
(B)
1
x2
(C)
x
(D)
x2
1
1
x2
1x2
21
5.
已知y
lncotx,则y|=
[D]
x
4
(A)1
(B)2
(C)1/2
(D)2
6.
已知y
1
x,则y=
[B]
1
x
(A)
2
2
2x
2x
(x1)2
(B)
2
(C)
2
(D)
2
(x1)
(x1)
(x1)
三、计算下列函数的导数:
(1)
y
ln(3x)
3
lnx
1
1
2
1
2
1
y
x3
(lnx)3
3x
3
3
x
2
1(1(lnx)3)
3x
(2)y
tan(lnx)
y
sec2(lnx)1
1sec2(lnx)
x
x
sin21
3
(3)u
e
v
(4)ysec(lnx)
sin
21
1
1
1
2
1
v
y
3sec(lnx)sec(lnx)
tan(lnx)
u
e
(
2sin
cos(
2))
x
v
v
v
3
1
2
sin21
3
sin
v
x
sec(lnx)tan(lnx)
2
e
v
v
(5)yln(x
1x2)
(6)yarctan
1
x
1
x
y
1
2
(x
1x2)
y
1
(1x)(1x)
1
x
1x
1
x
2
(1x)2
1x2
1
1
2x
(
)
(1
)
1
x
x
1
x2
2
1x2
1
(1
x
)
x
1
x2
1
x2
四、设f(x)可导,求下列函数y的导数dy
dx
22
(1)yf(sinx)sin[f(x)]
yf(sinx)cosxcos(f(x))f(x)
cosxf(sinx)f(x)cos(f(x))
(2)y
f(sin2
x)
f(cos2x)
y
f(sin2x)2sinxcosx
f
(cos2x)(2cosx(sinx))
sin2x(f(sin2x)
f(cos2x))
高等数学(Ⅰ)练习第二章一元函数微分学
系专业班级姓名学号
习题三求导法则
(二)
一、填空题:
x
1.y
e2
cos3x,y
2.y
1
,y
arccos
x
3.y
arcsin2sinx1
2
sinx
x
lnx
e2(1cos3x
3sin3x)
1ln2x,y
x1ln2x
2
;
y
1
1
arctanx
xx2
1
;
y
earxtanx,y
2x(1
x)e
,y
3cosx
|cosx|(2
sinx)
4.设yarctanex
e
2x
,则dy
e
1
ln
1
x1
2
2
e2x
dx
1e
e1
x
2
1
5.设y(xe2)3,则y|x0
3
6.设f(x)有连续的导数,
f(0)
0,且f(0)
f(x)
asinx,
x
0
b,若函数F(x)
x
x
0
A,
在x
0处连续,则常数
A=
a
b
二、选择题:
1.设y
f(x),则y
[D
]
(A)f(x)
(B)f(x)
(C)f(x)
(D)f(x)
2.设周期函数
f(x)在(
)可导,周期为4,
又limf
(1)
f(1
x)
1,则曲线
x0
2x
yf(x)在点(5,f(5))处的切线的斜率为
[
D
]
(A)1
(B)0
(C)1
(D)2
2
1
2x
3.已知
y
arctan
,则
y=
[
C
]
2
x2
1
1
1
(A)
1
(B)1
x2
(C)
(D)
x2
1
x2
x
2
1
23
4.已知y
arcsin(xlnx),则
y=
[C]
(A)lnx
(B)
xlnx
(C)
1
lnx
1(xlnx)2
1(xlnx)2
1(xlnx)2
(D)
lnx1
三、已知
y
f
3x
2
f(x)
arctanx
2,求:
dy
|x0
3x
2
dx
y
f
(3x
2)
(3x
2)
arctan(3x
2)2
12
3x
2
3x
2
3x
2
(3x
2)2
y
|x
0
3
3
4
4
四、设x
0
时,可导函数
f(x)满足:
f(x)2f
(1)
3,求f(x)(x0)
1
3
x
x
f(x)
2f(
)
x
1
x
f(
2f(x)
3x
)
x
f(x)
2x
1
x
f
(x)
2
1
(x
0)
x2
五、已知
(x)
af2(x)
,且f
(x)
1
,证明:
(x)2(x)
lna
f(x)
(x)
af2(x)
(x)
af
2(x)lna
2f(x)
f(x)
af2(x)lna2f(x)
1
2af2(x)
2(x)
lnaf(x)
六、证明:
可导的奇函数的导数是偶函数。
证:
设f(x)是可导的奇函数,则
两边同时对x求导可得:
f(x)
f(
f(x)x)24
f(x),
所以f(x)是偶函数。
高等数学(Ⅰ)练习
第二章
一元函数微分学
系
专业
班
姓名
学号
习题四
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、填空题
ey
ey
1.设y1xey,则y=
2y1xey
2.
设r
tan(
r),则r
=
csc2(
r)
x2
y2
arctany,则y=
x
y
3.
设ln
x
y
x
cost
sint
x
et
sint
,dy|
=32
cost
。
4.设
et
,则dy=sint
y
cost
dx
y
x
dx
t
3
二、选择题
x
y
1.
由方程siny
xey
0所确定的曲线y
y(x)在(0,0)点处的切线斜率为
[
A
]
(A)1
(B)1
(C)1
(D)
1
2
2
2.
设由方程xy2
2所确定的隐函数为
y
y(x),则dy=
[
A
]
dx
(A)
y
(B)
y
(C)
y
y
2x
x
(D)
1
2x
dy
x
3.
设由方程x
y
siny
0
所确定的隐函数为
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