切线的判定和性质教案教学反思导学案.docx

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切线的判定和性质教案教学反思导学案

第2课时切线的判定和性质

【知识与技能】

能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.

【过程与方法】

经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.

【情感态度】

体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.

【教学重点】

切线的判定定理及性质定理的探究和运用.

【教学难点】

切线的判定定理和性质的应用.

一、情境导入，初步认识

情境1下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？

情境2用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？

情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？

【教学说明】通过观察生活中的实例，使学生初步感知直线与圆相切的情景，深化学生思想中的数学模型.

二、思考探究，获取新知

1.切线的判定定理

思考1如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？

直线l和⊙O有什么位置关系？

分析：

∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.

∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.

∴直线l与⊙O相切.

【归纳总结】

切线的判定定理：

经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”，引导学生得出结论.在切线的判定定理中，“经过外端”和“垂直于半径”两者缺一不可.

试一试

（1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？

（只能作一条直线）

（2）下图中的直线是圆的切线吗？

（都不是圆的切线）

2.切线的性质定理

思考2已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

为什么？

（学生讨论，由学生代表回答）

教师点评：

由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.

符号语言：

∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.

【教学说明】这个问题在引导学生分析时，直接证明比较困难，我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，直线l与⊙O就相交了，而这与直线l与⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直线l.

三、典例精析，掌握新知

例1教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.

例2

（1）如图

（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，∠PAB=30°，求∠AOB.

（2）如图

（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，∠ACD=30°，求AC的长.

解：

（1）∵△OAB为等腰三角形，

∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切线，∴由切线的性质可知：

PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，

∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.

（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.

∴∠OCA=60°，

∴△OAC是等边三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.

【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用，要使学生掌握用这个定理来证明切线的关键（紧扣两点）.例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线的问题时，常见辅助线有：

（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线.

（2）要证明一条直线是圆的切线：

①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：

已知公共点，连半径证垂直.②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：

未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.

四、运用新知，深化理解

1.完成教材第98页练习1、2.

2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：

AC是⊙O的切线.

【教学说明】教材上的练习1、2由学生自主完成，加深对切线的判定及性质的理解掌握；第2题是对切线的性质与判定的综合应用，教师可先让学生独立思考，再加以提示.最后，师生共同完成解题.

【答案】1.

（1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.又∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.

（2）l1∥l2，理由如下：

∵AB是⊙O的直径，且l1、l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.

2.过O点作OF⊥AC于点F，连接OE.则OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，又∵PA是∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，∴OF=OE.又∵OE是半径，∴OF也为半径长.∴AC是⊙O的切线.

五、师生互动，课堂小结

1.让学生回顾本堂课的两个知识点.

2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.

【教学说明】在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.

1.布置作业：

从教材“习题24.2”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.

24.2.2直线和圆的位置关系

第2课时切线的判定与性质

一、新课导入

1.导入课题:

情景1：

下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?

情景2：

砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?

这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）

2.学习目标:

（1）能推导切线的判定定理和性质定理.

（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.

3.学习重、难点：

重点：

切线的判定定理与性质定理.

难点：

切线的判定与性质的初步运用.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第97页的内容.

（2）自学时间：

8分钟.

（3）自学方法：

阅读思考，动手操作，归纳猜想.

（4）自学提纲：

①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O有什么位置关系？

a.直线l满足的条件是经过A点且垂直于OA.

b.直线l和⊙O的位置关系是相切，为什么？

②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？

试试看.

④请总结一下判定切线共有哪几种方法？

a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.

b.切线的判定定理.

2.自学：

学生参照自学提纲进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.

②差异指导：

根据学情进行指导.

（2）生助生：

小组内相互交流、研讨、改正结论.

4.强化：

（1）切线的判定定理:

①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.

（2）常见的辅助线作法及证法：

①直线与圆的公共点已知（切点已知），连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.

②直线与圆的公共点未知（切点未知），过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.

（3）练习：

如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？

为什么？

解：

是.理由：

∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.

又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第98页“练习”之前的内容.

（2）自学时间：

5分钟.

（3）自学方法：

阅读、思考、归纳.

（4）自学提纲：

①如图，OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？

l⊥OA.

②切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.

③切线共有哪些性质？

a.切线与圆只有一个公共点.

b.圆心到切线的距离等于半径.

c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.

d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.

e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.

④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：

AC是⊙O的切线.

证明：

连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴OD=OE.又OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线.

2.自学：

学生参照自学提纲进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

观察学生自学参考提纲的完成情况.

②差异指导：

定理的证明可进行集体指导（不做重点要求）.

（2）生助生：

小组内相互交流、研讨、订正结论.

4.强化：

（1）

.

（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：

l1∥l2.

证明：

∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：

这节课你有哪些收获？

还有哪些疑惑？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：

点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.

（2）纸笔评价：

课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）:

本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.

（时间：

12分钟满分：

100分）

一、基础巩固（70分）

1.（10分）下列说法正确的是（B）

A.与圆有公共点的直线是圆的切线

B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线

C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线

D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线

2.（10分）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）

A.24°B.25°C.28°D.30°

3.（10分）如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为

cm.

4.（20分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：

AP＝BP.

证明：

连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.

∴AP=BP（垂径定理）.

5.（20分）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:

AC是⊙O的切线.

证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.

又∵∠B=∠CAD.

∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.

∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.

二、综合应用（20分）

6.（20分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交AC的延长线于点E.求证：

DE⊥AC.

证明：

连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.

∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.

又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.

∴∠E=90°.即DE⊥AC.

三、拓展延伸（10分）

7.（10分）如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.

解：

因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出图形工件的直径.