新版北师大数学九年级上册特殊平行四边形单元综合测试.docx
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新版北师大数学九年级上册特殊平行四边形单元综合测试
第一章 特殊平行四边形
一、选择题(本大题共6小题,共24分)
1.下列关于▱ABCD的叙述中,正确的是( )
A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形
B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形
C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形
D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形
2.如图1,在△ABC中,D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
图1
图2
3.如图2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,作OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC=130°,则∠AOE的度数为( )
A.75°B.65°C.55°D.50°
4.如图3,P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A.B.C.D.不确定
图3
图4
5.如图4,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是( )
A.2.5B.C.D.2
6.如图5,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),P为边AB上一点,∠CPB=60°,沿CP折叠正方形OABC,折叠后,点B落在平面内的点B′处,则点B′的坐标为( )
图5
A.(2,2)B.(,2-)
C.(2,4-2)D.(,4-2)
二、填空题(本大题共6小题,共30分)
7.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形的较短对角线的长是________.
8.如图6所示,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=EC.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点B′重合,则AC=________cm.
图6
图7
9.如图7所示,若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点D的坐标为________.
10.如图8,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则∠BED的度数是________.
图8
图9
11.如图9所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,E,F,G,H分别为AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为________.
图10
12.如图10,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,则△BOF的面积为________.
三、解答题(共46分)
13.(10分)如图11,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:
四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=,求菱形BEDF的面积.
图11
14.(10分)如图12,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=20cm,BD=12cm,两动点E,F同时以2cm/s的速度分别从点A,C出发在线段AC上相对运动,点E到点C,点F到点A时停止运动.
(1)求证:
当点E,F在运动过程中不与点O重合时,以点B,E,D,F为顶点的四边形为平行四边形;
(2)当点E,F的运动时间t为何值时,四边形BEDF为矩形?
图12
15.(12分)如图13,△ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,E,F分别是AB,AC的中点.
(1)求证:
四边形AEDF是菱形;
(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.
图13
16.(14分)如图14,四边形ABCD是正方形,E是直线CD上的点,将△ADE沿AE对折得到△AFE,直线EF交边BC于点G,连接AG.
(1)求证:
△ABG≌△AFG;
(2)当DE是线段CD的一半时,请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹,不写作法);
(3)在
(2)的条件下,求∠EAG的度数.
图14
1.C 2.D 3.B 4.A
5.B .
6.C
7.6 .
8.4
9.(2+,)
10.45° .
11.12 12.
13.解:
(1)证明:
连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD为正方形,
∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC.
∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,
∴四边形BEDF为菱形.
(2)∵正方形ABCD的边长为4,
∴BD=AC=4.
∵AE=CF=,∴EF=AC-2=2,
∴S菱形BEDF=BD·EF=×4×2=8.
14.解:
(1)证明:
连接DE,EB,BF,FD.
∵两动点E,F同时以2cm/s的速度分别从点A,C出发在线段AC上相对运动,
∴AE=CF.
∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OD=OB,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC,即OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
即以点B,E,D,F为顶点的四边形是平行四边形.
(2)当点E在OA上,点F在OC上,EF=BD=12cm时,四边形BEDF为矩形.
∵运动时间为t,
∴AE=CF=2t,
∴EF=20-4t=12,
∴t=2;
当点E在OC上,点F在OA上时,
EF=BD=12cm,EF=4t-20=12,
∴t=8.
因此,当点E,F的运动时间t为2s或8s时,四边形BEDF为矩形.
15.解:
(1)证明:
∵AD⊥BC,E,F分别是AB,AC的中点,
∴在Rt△ABD中,DE=AB=AE,
在Rt△ACD中,DF=AC=AF.
又∵AB=AC,
∴AE=AF=DE=DF,
∴四边形AEDF是菱形.
(2)如图,∵菱形AEDF的周长为12,
∴AE=3.
设EF=x,AD=y,则x+y=7,
∴x2+2xy+y2=49.①
由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF,
∴在Rt△AOE中,AO2+EO2=AE2,
∴(y)2+(x)2=32,
即x2+y2=36.②
把②代入①,可得2xy=13,
∴xy=,
∴菱形AEDF的面积S=xy=.
16.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°.
∵将△ADE沿AE对折得到△AFE,
∴AF=AD=AB,∠AFE=∠D=90°.
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).
(2)如图所示:
(3)∵△AFE≌△ADE,△ABG≌△AFG,
∴∠EAF=∠EAD,∠GAF=∠GAB.
∵在正方形ABCD中,∠BAD=90°,
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°.
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