离散数学屈婉玲耿素云张立昂主编课后答案高等教育出.docx

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第一章部分课后习题参考答案

16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨（q∧r）0∨（0∧1）0

（2）（p?

r）∧（﹁q∨s）（0?

1）∧（1∨1）0∧10.

（3）（p∧q∧r）?

（p∧q∧﹁r）（1∧1∧1）?

（0∧0∧0）0

（4）（r∧s）→（p∧q）（0∧1）→（1∧0）0→01

17．判断下面一段论述是否为真：

“是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”

答：

p:

是无理数1

q:

3是无理数0

r:

2是无理数1

s:

6能被2整除1

t:

6能被4整除0

命题符号化为：

p∧（q→r）∧（t→s）的真值为1，所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型：

（4）（p→q）→（q→p）

（5）（p∧r）（p∧q）

p

q

p→q

q

p

q→

p

（p→q）→（

q→

p）

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

（6）（（p→q）∧（q→r））→（p→r）答：

（4）

所以公式类型为永真式

（5）公式类型为可满足式（方法如上例）

（6）公式类型为永真式（方法如上例）

第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.

（1）（p∧q→q）

（2）（p→（p∨q））∨（p→r）（3）（p∨q）→（p∧r）

答：

（2）（p→（p∨q））∨（p→r）（p∨（p∨q））∨（p∨r）p∨p∨q∨r1

所以公式类型为永真式

（3）P

q

r

p∨q

p∧r

（p∨q）→（p∧r）

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

所以公式类型为可满足式

4.用等值演算法证明下面等值式：

（2）（p→q）∧（p→r）（p→（q∧r））

（4）（p∧q）∨（p∧q）（p∨q）∧（p∧q）

证明

（2）（p→q）∧（p→r）

（p∨q）∧（p∨r）

p∨（q∧r））p→（q∧r）

（4）（p∧q）∨（p∧q）（p∨（p∧q））∧（q∨（p∧q）

（p∨p）∧（p∨q）∧（q∨p）∧（q∨q）1∧（p∨q）∧（p∧q）∧1

（p∨q）∧（p∧q）

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值

（1）（p→q）→（q∨p）

（2）（p→q）∧q∧r

（3）（p∨（q∧r））→（p∨q∨r）解：

（1）主析取范式

（p→q）→（）

（）（）

（）（）

（）（）（）（）（）（）（）（）

m0m2m3

∑（0,2,3）

主合取范式：

（p→q）→（）

（）（）

（）（）

（

p

（））

（q（

））

1

（

）

（）M1

∏

（1）

（2）主合取范式为：

（p→q）（）（）0

所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏（0,1,2,3,4,5,6,7）

矛盾式的主析取范式为0

（3）主合取范式为：

（p（））→（

）

（p（））

（p（

→（

））

）

（）

（p（））（（））（））11

1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为1

主析取范式为∑（0,1,2,3,4,5,6,7）

第三章部分课后习题参考答案

14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：

（2）前提：

（）

结论：

p

（4）前提：

结论：

证明：

（2）

①（）前提引入

②①置换

③②蕴含等值式

④r前提引入

⑤q③④拒取式

⑥前提引入

⑦￢p（3）⑤⑥拒取式

证明（4）：

①前提引入

②t①化简律

③前提引入

④前提引入

⑤③④等价三段论

⑥（）（）⑤置换

⑦（）⑥化简

⑧q②⑥假言推理

⑨前提引入

⑩p⑧⑨假言推理

（11）⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：

（1）前提：

p（）

结论：

证明

①s附加前提引入

②前提引入

③p①②假言推理

④p（）前提引入

⑤③④假言推理

⑥q前提引入

⑦r⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

（1）前提：

结论：

p

证明：

①p结论的否定引入

②p﹁q前提引入

③﹁q①②假言推理

④￢前提引入

⑤￢r④化简律

⑥r￢s前提引入

⑦r⑥化简律

⑧r﹁r⑤⑦合取

由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.

第四章部分课后习题参考答案

3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为（a）,（b）条件时命题的真值:

（1）对于任意x,均有2=（）（x）.

（2）存在x,使得5=9.

其中（a）个体域为自然数集合.

（b）个体域为实数集合.

解：

F（x）:

2=（）（x）.

G（x）:

5=9.

（1）在两个个体域中都解释为

（2）在两个个体域中都解释为

xF（x），在（a）中为假命题，在（b）中为真命题。

xG（x），在（a）（b）中均为真命题。

4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:

（1）没有不能表示成分数的有理数.

（2）在北京卖菜的人不全是外地人.

解:

（1）F（x）:

x能表示成分数

H（x）:

x是有理数

命题符号化为:

x（F（x）

H（x））

（2）F（x）:

x是北京卖菜的人

H（x）:

x是外地人

命题符号化为:

x（F（x）

H（x））

5.在一阶逻辑将下列命题符号化:

（1）火车都比轮船快.

（3）不存在比所有火车都快的汽车.

解:

（1）F（x）:

x是火车;G（x）:

x是轮船;H（）:

x比y快

命题符号化为:

xy（（F（x）

G（y））

H（x,y））

（2）

（1）F（x）:

x是火车;G（x）:

x是汽车;H（）:

x比y快

命题符号化为:

9.给定解释I如下:

y（G（y）

x（F（x）

H（x,y）））

（a）个体域D为实数集合R.

（b）D中特定元素=0.

（c）特定函数（）D.

（d）

特定谓词（）,（）

说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:

（1）

xy（G（x,y）

F（x,y））

（2）

xy（F（

f（x,y）,a）

G（x,

y））

答:

（1）对于任意两个实数,如果x

（2）对于任意两个实数,如果0,那么x

10.给定解释I如下：

（a）个体域（N为自然数集合）.

（b）D中特定元素=2.

（c）D上函数,（）.

（d）D上谓词（）.

说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.

（1）（g（））

（2）（F（f（））→F（f（））

答:

（1）对于任意自然数x,都有2,真值0.

（2）对于任意两个自然数,使得如果2,那么2.真值0.

11.判断下列各式的类型:

（1）

（3）（）.

解:

（1）因为p（qp）

p（qp）

1为永真式；

所以为永真式；

（3）取解释I个体域为全体实数

F（）：

5

所以,前件为任意实数x存在实数y使5，前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有5，后件假，]此时为假命题

再取解释I个体域为自然数N，

F（）：

5

所以,前件为任意自然数x存在自然数y使5，前件假。

此时为假命题。

此公式为非永真式的可满足式。

13.给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。

（1）（F（x）

（2）x（F（x）G（x）H（x））

解:

（1）个体域:

本班同学

F（x）：

x会吃饭,G（x）：

x会睡觉.成真解释

F（x）：

x是泰安人（x）：

x是济南人.

（2）成假解释

（2）个体域:

泰山学院的学生

F（x）：

x出生在山东（x）出生在北京（x）出生在江苏,成假解释.F（x）：

x会吃饭（x）：

x会睡觉（x）：

x会呼吸.成真解释.

第五章部分课后习题参考答案

5.给定解释Ｉ如下:

（a）个体域{3,4};

（b）

f（x）

为f（3）

4,f

（4）3

（c）（c）

F（x,y）为F（3,3）

F（4,4）

0,F（3,4）

F（4,3）1.

试求下列公式在Ｉ下的真值.

（1）

（1）

（3）

xyF（x,y）

xy（F（x,y）

F（f

（x）,

f（y）））

解:

（1）

xyF（x,y）

（F（3,3）

x（F（x,3）

F（3,4））

F（x,4））

（F（4,3）

F（4,4））

（01）（10）1

（2）

（2）

xy（F（x,y）

F（f

（x）,

f（y）））

x（（F（x,3）

F（f

（x）,

f（3）））

（F（x,4）

F（f

（x）,

f（4））））

x（（F（x,3）

F（f

（x）,4））

（F（x,4）

F（f

（x）,3）））

（（F（3,3）

F（f（3）,4））

（F（3,4）

F（f（3）,3）））

（（F（4,3）

F（f

（4）,4））

（F（4,4）

F（f

（4）,3）））

（（0

F（4,4））

（F（3,4）

F（4,3）））

（（1

F（3,4））（0

F（3,3）））

（00）（1

1）（1

1）（00）1

12.求下列各式的前束范式。

（1）

xF（x）

yG（x,y）

（5）

x1F（x1,x2）

（H（x1）

x2G（x1,x2））

（本题课本上有错误）

解:

（1）

xF（x）

yG（x,y）

xF（x）

yG（t,y）

xy（F（x）

G（t,

y））

（5）

x1F（x1,x2）

（H（x1）

x2G（x1,x2））

x1F（x1,x2）

（H（x3）

x2G（x3,x2））

x1F（x1,x4）

x2（H（x3）

G（x3,x2））

x1x2（F（x1,x4）

（H（x3）

G（x3,x2）））

15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:

（1）前提:

xF（x）

y（（F（y）

G（y））

R（y））,

xF（x）

结论:

（x）

（2）前提:

x（F（x）→（G（a）∧R（x）））,（x）

结论（F（x）∧R（x））证明

（1）

①xF（x）前提引入

②F（c）①

③xF（x）

y（（F（y）

G（y））

R（y））

前提引入

④y（（F（y）

G（y））

R（y））

①③假言推理

⑤（F（c）∨G（c））→R（c））④

⑥F（c）∨G（c）②附加

⑦R（c）⑤⑥假言推理

⑧（x）⑦

（2）

（2）

①（x）前提引入

②F（c）①

③x（F（x）→（G（a）∧R（x）））前提引入

④F（c）→（G（a）∧R（c））③

⑤G（a）∧R（c）②④假言推理

⑥R（c）⑤化简

⑦F（c）∧R（c）②⑥合取引入

⑧x（F（x）∧R（x））⑦

第六章部分课后习题参考答案

5.确定下列命题是否为真：

（1）

（2）

（3）

{

}

真

假真

（4）

{

}

真

（5）｛｝

｛,｛｝｝

真

（6）｛｝｛,｛｝｝真

（7）｛｝｛,｛｛｝｝真

（8）｛｝｛,｛｛｝｝假

6.设各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:

（1）｛｛｝，c,｝=｛｛｝｝假

（2）｛a｝=｛｝真

（3）｛a｝，{b}｝=｛｛｝｝假

（4）｛，｛｝，｝=｛,｛｝｝假

8．求下列集合的幂集：

（1）｛｝P（A）={,{a},{b},{c},{},{},{},{}}

（2）｛1，｛2，3｝P（A）={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}

（3）｛｝P（A）={,｛｝}

（4）｛，｛｝P（A）={,{1},{{2,3}},{1，{2，3}}}

14．化简下列集合表达式：

（1）（）B）-（）

（2）（）-（）A

解:

（1）（）B）-（）=（）B）～（）

=（）～（））

（2）（）-（）（）～（）A

=（A～（）（）～（）A

=（A～（）（A～（）

18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。

求不会打球的人数。

解:

阿{会打篮球的人}，{会打排球的人}，{会打网球的人}

14,12,652,6

如图所示。

25-（5+4+2+3）-5-1=25-14-5-1=5

不会打球的人共5人

21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{}},计算下列表达式：

（1））A

（2））A

（3））A

（4））A

解:

（1）{1，2}{2，3}{1，3}{}={1，2，3,}

（2）{1，2}{2，3}{1，3}{}=

（3）123=

（4）

27、设是任意集合，证明

（1）（）

（2）（）（）-（）

证明

（1）（）（A～B）～A（～B～C）=A～（）

（2）（）-（）=（A～C）～（B～C）=（A～C）（～）

=（A～C～B）（A～）=（A～C～B）

=A～（）由

（1）得证。

第七章部分课后习题参考答案

7.列出集合{2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系,小于或等于关系,整除关系.

解：

={<2，2>,<3,3>,<4,4>}

{<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}

{<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}

{<2,4>}

13.设{<1,2>,<2,4>,<3,3>}

{<1,3>,<2,4>,<4,2>}

求,,,（）,,,（）,（）.

解：

{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}

{<2,4>}

{1,2,3}

{1,2,4}

（A∨B）={1,2,3,4}

{2,3,4}

{2,3,4}

（）={4}

{<1,2>,<3,3>}，（）={1,2,3}

14.设{<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}

求,1,R{0,1,},R[{1,2}]

解：

{<0,2>,<0,3>,<1,3>}

1{<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}

R[{1,2}]（{1,2}）={2,3}

16．设{}，

R1，R2为A上的关系，其中

R1=R2

a,a

a,d

a,b

b,c

b,d

b,d,

c,b

求RR,RR,R2,R3

122112。

解:

R1R2={<>,<>,<>}R2R1={<>}

2

R11R1={<>,<>,<>}

2

R22R2={<>,<>,<>}

2

3

R22R2

={<>,<>,<>}

36．设{1，2，3，4}，在上定义二元关系R，

<>,<>，〈>R<>u+y=x+v.

（1）证明R是上的等价关系.

（2）确定由R引起的对的划分.

（1）证明：

∵<>R<>

∴<>R<>

<>

∵

∴<>R<>

∴R是自反的

任意的<>,<>∈A×A

如果<>R<>，那么

∴∴<>R<>

∴R是对称的

任意的<>,<>,<>∈A×A

若<>R<>,<>R<>

则

∴∴<>R<>

∴R是传递的

∴R是A×A上的等价关系

（2）∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},{<2,1>,<3,2>,<4,3>},{<3,1>,<4,2>},

{<4,1>},{<1,2>,<2,3>,<3,4>},{<1,3>,<2,4>},{<1,4>}}

41.

设{1，2，3，4}，R为上的二元关系,〈a，b〉，〈c，d〉,

〈a，b〉R〈c，d〉a+b=c+d

（1）证明R为等价关系.

（2）求R导出的划分.

（1）证明：

∴<>R<>

∴R是自反的

任意的<>,<>∈A×A

设<>R<>，则

∴∴<>R<>

∴R是对称的

任意的<>,<>,<>∈A×A

若<>R<>,<>R<>

则

∴∴<>R<>

∴R是传递的

∴R是A×A上的等价关系

（2）∏={{<1,1>},{<1,2>,<2,1>},{<1,3>,<2,2>,<3,1>},{<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>},

{<2,4>,<4,2>,<3,3>},{<3,4>,<4,3>},{<4,4>}}

43.对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

（1）{1,2,3,4,6,8,12,24}

（2）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

解:

24

812

46

812

10469

7235

2311

11

（1）

（2）

45.下图是两个偏序集<>的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式.

defgf

c

bd

bc

eg

aa

（a）（b）

解:

（a）{}

{<>,<>,<>,<>,<>,<>,<>,<>,<>,<>}IA

（b）{}

{<>,<>,<>,<>,<>,<>,<>}IA

46.分别画出下列各偏序集<>的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小

元.

（1）{}

{<>,<>,<>,<>,<>,<>,<>}.

（2）{},{<>}.

解:

e

d

bcd

e

ab

ac

（1）

（2）

项目

（1）

（2）

极大元:

e

极小元:

a

最大元:

e无

最小元:

a无

第八章部分课后习题参考答案

1．设f,且

f（x）=

1，若x为奇数x

若x为偶数

2，

求f（0）,f（{0}）,f

（1）,f（{1}）,f（{0,2,4,6,}），f（{4,6,8}）,f-1（{3,5,7}）.

解：

f（0）=0,f（{0}）={0},f

（1）=1,f（{1}）={1},

f（{0,2,4,6,}），f（{4,6,8}）={2,3,4},f-1（{3,5,7}）={6,10,14}.

4.判断下列函数中哪些是满射的?

哪些是单射的?

哪些是双射的?

（1）,f（x）2+2不是满射，不是单射

（2）（x）=（x）3除以3的余数不是满射，不是单射

1，若x为奇数

（3）（x）=

0，若x为偶数

不是满射，不是单射

（4）{0,1}（x）=

0，若x为奇数

1，若x为偶数

是满射，不是单射

（5）{0}（x）不是满射，是单射

（6）（x）2-215不是满射，不是单射

5.设{}{1,2,3}{,,,}判断以下命题的真假:

（1）f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数;对

（2）f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的;错（3）f是从X到Y的满射,但不是单射;错

（4）f是从X到Y的双射.错

第十章部分课后习题参考答案

4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：

（1））整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元