离散数学部分概念和公式总结.docx
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离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结
命题:
称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式:
若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值:
设A为一命题公式,p,p,…,p为出现在A中的所有命题变项。
给p,p,…,p指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。
真值表:
含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。
命题公式的类型:
(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。
(2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。
(3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。
主析取范式:
设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式:
设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式:
设A、B为两命题公式,若等价式A?
B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。
约束变元和自由变元:
在合式公式xA和xA中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。
一阶逻辑等值式:
设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?
B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。
前束范式:
设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB,称A为前束范式。
集合的基本运算:
并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积:
设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。
二元关系:
如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。
特殊关系:
(1)、空关系:
Φ
(2)全域关系:
EA={
(3)恒等关系:
IA={
(4)小于等于关系:
LA={
(5)整除关系:
R={
二元关系的运算:
设R是二元关系,
(1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域domR={x|y(
(2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR={y|x(
(3)R的定义域和值域的并集称为R的域fldR=domR∪ranR
二元关系的性质:
自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性。
等价关系:
如果集合A上的二元关系R是自反的,对称的和传递的,那么称R是等价关系。
设R是A上的等价关系,x,y是A的任意元素,记作x~y。
等价类:
设R是A上的等价关系,对任意的x∈A,令[x]R={y|y∈A∧xRy},称[x]R为x关于R的等价类。
偏序关系:
设R是集合A上的二元关系,如果R是自反的,反对称的和传递的,那么称R为A上的偏序,记作≤;称序偶为偏序集合。
函数的性质:
设f:
AB,
(1)若ranf=B,则称f是满射(到上)的。
(2)若yranf都存在唯一的xA使得f(x)=y,则称f是单射(——)的。
(3)若f既是满射又是单射的,则称f是双射(——到上)的。
无向图:
是一个有序的二元组
(1)VФ称为顶点集,其元素称为顶点或结点。
(2)E为边集,它是无序积V&V的多重子集,其元素称为无向边,简称边。
有向图:
是一个有序的二元组
(1)V同无向图。
(2)E为边集,它是笛卡尔积VV的多重子集,其元素称为有向边。
设G=
有限图:
若V,E是有限集,则称G为有限图。
n阶图:
若|V|=n,称G为n阶图。
零图:
若|E|=0,称G为零图,当|V|=1时,称G为平凡图。
基图:
将有向图变为无向图得到的新图,称为有向图的基图。
图的同构:
在用图形表示图时,由于顶点的位置不同,边的形状不同,同一个事物之间的关系可以用不同的图表示,这样的图称为图同构。
带权图:
在处理有关图的实际问题时,往往有值的存在,一般这个值成为权值,带权值的图称为带权图或赋权图。
连通图:
若无向图是平凡图,或图中任意两个顶点都是连通的,则称G是连通图。
否则称为非连通图。
设D是一个有向图,如果D的基图是连通图,则称D是弱连通图,若D中任意两个顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图。
若D中任意两个顶点是相互可达的,则称D是强连通图。
欧拉图:
通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路(回路),称为欧拉通路(回路)。
存在欧拉回路的图称为欧拉图。
哈密顿图:
经过图中每个顶点一次且仅一次的通路(回路),称为哈密顿通路(回路),存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。
平面图:
一个图G如果能以这样的方式画在平面上:
出定点处外没有变交叉出现,则称G为平面图。
画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。
二部图:
若无向图G=〈V,E〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V2(V1∩V2=),使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2,则称G为二部图(偶图)。
二部图可记为G=
树的定义:
连通无回路的无向图称为无向树,简称树,常用T表示树。
平凡图称为平凡树。
若无向图G至少有两个连通分支,每个连通都是树,则称G为森林。
在无向图中,悬挂顶点称为树叶,度数大于或等于2的顶点称为分支点。
树的性质:
性质1、设G=
(1)G是树
(2)G中任意两个顶点之间存在唯一的路径(3)G中无回路且m=n-1.
(4)G是连通的且m=n-1.(5)G是连通的且G中任何边均为桥。
(6)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。
性质2、设T是n阶非平凡的无向树,则T中至少有两片树叶。
证:
设T有x片树叶,由握手定理及性质1可知,2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2.
最小生成树:
设T是无向图G的子图并且为树,则称T为G的树。
若T是G的树且为生成子图,则称T是G的生成树。
设T是G的生成树。
e∈E(G),若e∈E(T),则称e为T的树枝,否则称e为T的弦。
并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树,记作T。
最优二元树:
设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt,权分别为w1,w2,…,wt,称W(t)=wil(vi)为T的权,其中l(vi)是vi的层数。
在所有有t片树叶,带权w1,w2,…,wt的2叉树中,权最小的2叉树称为最优2叉树。
最佳前缀码:
利用Huffman算法求最优2叉树,由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码,用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。
蕴含式推理
E1
┐┐p<=>P
E12
R∨(P∧┐P)<=>R
E2
P∧Q<=>Q∧P
E13
R∧(P∨┐P)<=>R
E3
P∨Q<=>Q∨P
E14
R∨(P∨┐P)<=>T
E4
(P∧Q)∧R<=>P∧(Q∧R)
E15
R∧(P∧┐P)<=>F
E5
(P∨Q)∨R<=>P∨(Q∨R)
E16
P→Q<=>┐P∨Q
E6
P∧(Q∨R)<=>(P∧Q)∨(P
∧R)
E17
┐(P→Q)<=>P∧┐Q
E7
P∨(Q∧R)<=>(P∨Q)∧(P∨R)
E18
P→Q<=>┐Q→┐P
E8
┐(P∧Q)<=>┐P∨┐Q
E19
P→(Q→R)<=>(P∧Q)→R
E9
┐(P∨Q)<=>┐P∧┐Q
E20
PQ<=>(P→Q)∧(Q→P)
E10
P∨P<=>P
E21
PQ<=>(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)
E11
P∧P<=>P
E22
┐(PQ)<=>P┐Q
等值公式表
P∧Q=>P
化简式
P∧Q=>Q
化简式
P=>P∨Q
附加式
┐P=>P→Q
变形附加式
Q=>P→Q
变形附加式
┐(P→Q)=>P
变形简化式
┐(P→Q)=>┐Q
变形简化式
p∧(P→Q)=>Q
假言推论
┐Q∧(P→Q)=>┐P
拒取式
┐p∧(P∨Q)=>Q
析取三段式
(P→Q)∧(Q→R)=>P→R
条件三段式
(PQ)∧(QR)=>PR
双条件三段式
(P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)=>Q→S
合取构造二难
(P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)=>Q∨S
析取构造二难
P→Q=>(P∨R)→(Q∨R)
前后附加式
P→Q=>(P∧R)→(Q∧R)
前后附加式
E23
(?
x)((Ax)∨(Bx))<=>(?
x)(Ax)∨(?
x)(Bx)
E30
(?
x)(Ax)→B<=>(?
x)((Ax)→B)
E24
(?
x)((Ax)?
(Bx))<=>(?
x)(Ax)∧(?
x)(Bx)
E31
?
x)(Ax)→B<=>(?
x)((Ax)→B)
E25
┐(?
x)(Ax)<=>(?
x)┐(Ax)
E32
A→(?
x)(Bx)<=>(?
x)(A→(Bx))
E26
┐(?
x)(Ax)<=>(?
x)┐(Ax)
E33
A→(?
x)(Bx)<=>(?
x)(A→(Bx))
E27
(?
x)(A∨(Bx))<=>A∨(?
x)(Bx)
I17
(?
x)(Ax)?
(?
x)(Bx)=>(?
x)((Ax)∨(Bx))
E28
(?
x)(A∧(Bx))<=>A∧(?
x)(Bx)
I18
(?
x)((Ax)∧(Bx))=>(?
x)(Ax)∧(?
x)(Bx)
E29
(?
x)((Ax)→(Bx))<=>(?
x)(Ax)→(?
x)(Bx)
I19
(?
x)(Ax)?
(?
x)(Bx)=>(?
x)((Ax)→(Bx))
集合恒等式:
P11
幂等律:
A∪A=A;A∩A=A
结合律:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
交换律:
A∪B=B∪A;A∩B=B∩A
分配律:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
同一律:
A∪=A;A∩E=A
零律:
A∪E=A;A∩=
排中律:
A∪~A=E
矛盾律:
A∩~A=
吸收律:
A∩(A∪B)=A;A∪(A∩B)=A
德摩根定律:
A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C);A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
~(B∪C)=~B∩~C;~(B∩C)=~B∪~C;~=E;~E=
双重否定律:
~(~A)=A
二元关系的运算:
设F,G,H是任意的关系,
(1)(F-1)-1=F
(2)dom(F-1)=ranF;ran(F-1)=domF
(3)(F?
G)?
H= F?
(G?
H)(4)(F?
G)-1=G-1?
F-1
设R是A上的关系(幂运算)
(1)Ro={
(2)R^n=R^(n-1)?
R,n≥1(3)R?
Ro=Ro?
R=R
图的矩阵表示:
(1)无向图的关联矩阵:
设无向图G=
记为M(G)。
(2)有向图的关联矩阵:
设无向图D=
1, vi是ej的始点
mij=0, vi与ej不关联
-1,vi是ej的终点
则称(mij)nm为D的关联矩阵。
记为M(D)。
会求谓词公式的真值,量词的辖域,自由变元、约束变元,以及换名规则、代入规则等.
掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式.并进行谓词公式的等价演算.
3.了解前束范式的概念,会求公式的前束范式的方法.
若一个谓词公式F等价地转化成
,那么
就是F的前束范式,其中Q1,Q2,…,Qk只能是或,而x1,x2,…,xk是个体变元,B是不含量词的谓词公式.前束范式仍然是谓词公式.
4.了解谓词逻辑推理的四个规则.会给出推理证明.
谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充,命题演算中基本等价式,重言蕴含式以及P,T,CP规则在谓词演算中仍然使用.谓词逻辑的推理演算引入了US规则(全称量词指定规则),UG规则(全称量词推广规则),ES规则(存在量词指定规则),EG规则(存在量词推广规则)等.
重点:
谓词与量词,公式与解释,谓词演算.
离散数学期末复习要点与重点
第1章集合及其运算
复习要点
1.理解集合、元素、集合的包含、子集、相等,以及全集、空集和幂集等概念,熟练掌握集合的表示方法.
具有确定的,可以区分的若干事物的全体称为集合,其中的事物叫元素..
集合的表示方法:
列举法和描述法.
注意:
集合的表示中元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分.
掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念.
注意:
元素与集合,集合与子集,子集与幂集,与(),空集与所有集合等的关系.
空集,是惟一的,它是任何集合的子集.
集合A的幂集P(A)=
,A的所有子集构成的集合.若A=n,则P(A)=2n.
2.熟练掌握集合A和B的并AB,交AB,补集A(A补集总相对于一个全集).差集A-B,对称差,AB=(A-B)(B-A),或AB=(AB)-(AB)等运算,并会用文氏图表示.
掌握集合运算律(见教材第9~11页)(运算的性质).
3.掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法.
集合的运算问题:
其一是进行集合运算;其二是运算式的化简;其三是恒等式证明.
证明方法有二:
(1)要证明A=B,只需证明AB,又AB;
(2)通过运算律进行等式推导.
重点:
集合概念,集合的运算,集合恒等式的证明.
第2章关系与函数
复习要点
1.了解有序对和笛卡儿积的概念,掌握笛卡儿积的运算.
有序对就是有顺序二元组,如
注意:
有序对,以a,b为元素的集合{a,b}={b,a};有序对(a,a)有意义,而集合{a,a}是单元素集合,应记作{a}.
集合A,B的笛卡儿积A×B是一个集合,规定A×B={
2.理解关系的概念:
二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图,掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法.
二元关系是一个有序对集合,
,记作xRy.
关系的表示方法有三种:
集合表示法,
关系矩阵:
RA×B,R的矩阵
.
关系图:
R是集合上的二元关系,若
空关系是唯一、是任何关系的子集的关系;
全关系
;
恒等关系
,恒等关系的矩阵MI是单位矩阵.
关系的集合运算有并、交、补、差和对称差.
复合关系
;
复合关系矩阵:
(按布尔运算);
有结合律:
(RS)T=R(ST),一般不可交换.
逆关系
;
逆关系矩阵满足:
;
复合关系与逆关系存在:
(RS)-1=S-1R-1.
3.理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示),掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图,充分条件),知道关系闭包的定义和求法.
注:
(1)关系性质的充分必要条件:
R是自反的IAR;
R是反自反的IAR=;
R是对称的R=R-1;
R是反对称的RR-1IA;
R是传递的RRR.
(2)IA具有自反性,对称性、反对称性和传递性.EA具有自反性,对称性和传递性.故IA,EA是等价关系.具有反自反性、对称性、反对称性和传递性.IA也是偏序关系.
4.理解等价关系和偏序关系概念,掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法.知道极大(小)元,最大(小)元的概念,会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界.
等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.
知道等价关系图的特点和等价类定义,会求等价类.
一个子集的极大(小)元可以有多个,而最大(小)元若有,则惟一.且极元、最元只在该子集内;而上界与下界可以在子集之外.由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元,极大(小)元.
5.理解函数概念:
函数(映射),函数相等,复合函数和反函数.理解单射、满射和双射等概念,掌握其判别方法.
设f是集合A到B的二元关系,aA,存在惟一bB,使得f,且Dom(f)=A,f是一个函数(映射).函数是一种特殊的关系.
集合A×B的任何子集都是关系,但不一定是函数.函数要求对于定义域A中每一个元素a,B中有且仅有一个元素与a对应,而关系没有这个限制.
二函数相等是指:
定义域相同,对应关系相同,而且定义域内的每个元素的对应值都相同.
函数有:
单射——若
;
满射——f(A)=B或
使得y=f(x);
双射——单射且满射.
复合函数
即
.
复合成立的条件是:
.一般
,但
.
反函数——若f:
AB是双射,则有反函数f-1:
BA,
,
重点:
关系概念与其性质,等价关系和偏序关系,函数.
第3章图的基本概念
复习要点
1.理解图的概念:
结点、边、有向图,无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理.
图是一个有序对
掌握无向边与无向图,有向边与有向图,混合图,零图,平凡图、自回路(环),无向平行边,有向平行边等概念.
简单图,不含平行边和环(自回路)的图、
在无向图中,与结点v(V)关联的边数为结点度数
(v);在有向图中,以v(V)为终点的边的条数为入度
-(v),以v(V)为起点的边的条数为出度
+(v),deg(v)=deg+(v)+deg-(v).
无向完全图Kn以其边数
;有向完全图以其边数
.
了解子图、真子图、补图和生成子图的概念.
生成子图——设图G=
知道图的同构概念,更应知道图同构的必要条件,用其判断图不同构.
重要定理:
(1)握手定理设G=
;
(2)在有向图D=
;
(3)奇数度结点的个数为偶数个.
2.了解通路与回路概念:
通路(简单通路、基本通路和复杂通路),回路(简单回路、基本回路和复杂回路).会求通路和回路的长度.基本通路(回路)必是简单通路(回路).
了解无向图的连通性,会求无向图的连通分支.了解点割集、边割集、割点、割边等概念.了解有向图的强连通强性;会判别其类型.
设图G=
无向图G中,结点u,v存在通路,u,v是连通的,G中任意结点u,v连通,G是连通图.P(G)表示图G连通分支的个数.
在无向图中,结点集VV,使得P(G-V)>P(G),而任意VV,有P(G-V)=P(G),V为点割集.若V是单元集,该结点v叫割点;边集EE,使得P(G-V)>P(G),而任意EE,有P(G-E)=P(G),E为边割集.若E是单元集,该边e叫割边(桥).
要知道:
强连通
单侧连通
弱连通,反之不成立.
3.了解邻接矩阵和可达矩阵的概念,掌握其构造方法及其应用.
重点:
图的概念,握手定理,通路、回路以及图的矩阵表示.
第4章几种特殊图
复习要点
1.理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念,掌握欧拉图的判别方法.
通过连通图G的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路).存在欧拉回路的图是欧拉图.
欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复.笔不离开纸,不重复地走完所有的边,走过所有结点,就是所谓的一笔画.
欧拉图或通路的判定定理
(1)无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(即G的所有结点为偶数度);
(2)非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇数度的结点;
(3)连通有向图D含有有向欧拉回路D中每个结点的入度=出度.
连通有向图D含有有向欧拉通路D中除两个结点外,其余每个结点的入度=出度,且此两点满足deg-(u)-deg+(v)=1.
2.理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念,会做简单判断.
通过连通图G的每个结点一次,且仅一次的通路(回路),是汉密尔顿通路(回路).存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.
汉密尔顿图的充分条件和必要条件
(1)在无向简单图G=
,则G是汉密尔顿图.(充分条件)
(2)有向完全图D=
,则图D是汉密尔顿图.(充分条件)
(3)设无向图G=
若此条件不满足,即存在V1V,使得P(G-V!
)>V1,则G一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件).
3.了解平面图概念,平面图、面、边界、面的次数和非平面图.掌握欧拉公式的应用.
平面图是指一个图能画在平面上,除结点之外,再没有边与边相交.
面、边界和面的次数
等概念.
重要结论:
(1)平面图
.
(2)欧拉公式:
平面图
面数为r,则
(结点数与面数之和=边数+2)
(3)平面图
.
会用定义判定一个图是不是平面图.
4.理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用,掌握求对偶图的方法.
给定平面图G=〈V,E〉,它有面F1,F2,…,Fn,若有图G*=〈V*,E*〉满足下述条件:
⑴对于图G的任一个面Fi,内部有且仅有一个结点vi*∈V*;
⑵对于图G的面Fi,Fj的公共边ek,存在且仅存在一条边ek*∈E*,使ek*=(vi*,vj*),且ek*和ek相交;
⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时,vi*存在一个环ek*和ek相交;
则图G*是图G的对偶图.
若G*是G的对偶图,则G也是G*的对偶图.一个连通平面图的对偶图也必是平面图.
5.掌握图论中常用的证明方法.
重点:
欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别.
第5章树及其应用
复习要点
1.了解树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念,掌握求最小生成树的方法.
连通无回路的无向图是树.树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义).
注意:
(1)树T是连通图;
(2)树T满足m=n-1(即边数=顶点数-1).
图G的生成子图是树,该树就是生成树.
每边指定一正数,称为权,每边带
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